Если основание пирамиды равнобедренный треугольник

Решение.
Поскольку в основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник, то для нахождения площади равнобедренного треугольника, воспользуемся приведенными в соответствующем уроке формулами.

При желании можно разбить треугольник ABC на два прямоугольных треугольника AKB и AKC. Но в результате формулы будут все равно тождественны. Действительно,

AK = AB sin ß = b sin β
BK = AB cos β = b cos β
S_ABK = AK * BK / 2 = b 2 sin β cos β / 2

откуда
S_ABС = 2S_ABK = b 2 sin β cos β
(примем за искомую площадь основания, далее справочно приведем к той же формуле, которая указана по ссылке выше)

Если воспользоваться основными тригонометрическими тождествами, то
b 2 sin β cos β = 1/2 b 2 sin 2β = 1/2 b 2 sin 2β
или как по основной формуле (площади равнобедренного треугольника)
1/2 b 2 sin 2β = 1/2 b 2 sin (180 — α) = 1/2 b 2 sin α

Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды.
Сначала найдем высоту боковых граней, прилежащих к равным сторонам равнобедренного треугольника, лежащего в основании пирамиды. При этом учтем, что высота пирамиды проецируется в точку О основания, которая одновременно является центром вписанной окружности. Вместе с радиусом вписанной окружности, высота боковой грани образует прямоугольный треугольник. Откуда высота боковой грани пирамиды равна:
h = r / sin φ

Учитывая, что BC = 2BK, то BC = 2b cos β
откуда
p = ( b + b + 2b cos β ) / 2
p = ( 2b + 2b cos β ) / 2
p = 2b ( 1 + cos β ) / 2
p = b ( 1 + cos β )

Таким образом, радиус вписанной окружности в основание пирамиды будет равен
r = S / p
r = b 2 sin β cos β / b ( 1 + cos β ) = b sin β cos β / ( 1 + cos β )

Теперь определим высоту боковых граней пирамиды. Зная, что
l / r = cos φ, то
l = r cos φ

Тогда площадь грани пирамиды, прилегающей к равным сторонам основания (а в основании пирамиды у нас лежит равнобедренный треугольник) будет равна:
S1 = lb / 2
S1 = r cos φ * b / 2
S1 = b sin β cos β / ( 1 + cos β ) cos φ * b / 2
S1 = b 2 sin β cos β / ( 1 + cos β ) cos φ / 2
S1 = b 2 sin β cos β cos φ / ( 2 ( 1 + cos β ) )

Площадь боковой грани, прилегающей к основанию, равна:
S2 = BC * l / 2
S2 = 2b cos β * r cos φ / 2
S2 = b cos β * r cos φ
S2 = b cos β * b sin β cos β / ( 1 + cos β ) * cos φ
S2 = b 2 cos 2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β )

Площадь боковой поверхности пирамиды равна:
Sбок = 2S1 + S2
Sбок = 2 * b 2 sin β cos β / ( 2 ( 1 + cos β ) cos φ ) + b 2 cos 2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β )
Sбок = b 2 sin β cos β cos φ / ( 1 + cos β ) + b 2 cos 2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β )
Sбок = ( b 2 sin β cos β cos φ + b 2 cos 2 β sin β cos φ ) / ( 1 + cos β )
Sбок = b 2 sin β cos β cos φ ( 1 + cos β ) / ( 1 + cos β )
Sбок = b 2 sin β cos β cos φ

Откуда площадь полной поверхности пирамиды с равнобедренным треугольником в основании составит:
S = Sбок + Sосн
S = b 2 sin β cos β cos φ + b 2 cos 2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β )

Видео:№107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметрСкачать

Решение задач с использованием свойств различных видов пирамид

Разделы: Математика

Изучение пирамиды и ее элементов представляет широкие возможности для составления и решения задач на различных видах пирамид по следующим темам:

• Пирамиды, в которых основание высоты является центром описанной или вписанной окружности основания пирамиды.
• Пирамиды, в которых одна или две боковые грани перпендикулярны плоскости основания.
• Пирамиды, в которых заданы расстояния между точками и элементами пирамиды.

Действующие учебники геометрии либо не содержат , либо содержат в недостаточном количестве задачи по этим темам.

Как показала практика, учащиеся с большим интересом принимают участие не только в решении данных задач, но и в их составлении. Они с удовольствием предлагают различные решения придуманных ими задач.

К этому учащихся необходимо подводить хорошо продуманной системой теоретических положений и практических упражнений.

Учебники Л.С. Атанасяна и др. “Геометрия 10–11” и А.В.Погорелова “Геометрия 10–11” содержат опорный теоретический материал по теме “Пирамида и ее элементы”.

В дополнение к нему можно рассмотреть следующие свойства часто встречающихся видов пирамид.

Теория.

Теоремы о пирамидах, в которых основание высоты является центром описанной или вписанной окружности основания пирамиды.

• Если все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы, то:

а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды;

б) все боковые ребра пирамиды равны между собой.

• Если основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около ее основания, то:

а) все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы;

в) все боковые ребра пирамиды равны между собой.

• Если все боковые ребра пирамиды равны, то:

а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды;

б) все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью ее основания равные между собой углы.

• Если высота пирамиды пересекает ее основание и все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в ее основание.
• Если вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды, то боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы.
• Если у треугольной пирамиды все боковые ребра равны, а в основании лежит прямоугольный треугольник, то грань, содержащая его гипотенузу, перпендикулярна основанию. Основание высоты данной пирамиды является середина гипотенузы.

Теоремы о пирамидах, в которых одна или две боковые грани перпендикулярны плоскости основания.

• Если пирамида содержит ровно одну боковую грань, которая перпендикулярна плоскости основания, то высота такой пирамиды лежит в этой боковой грани.
• Если пирамида содержит две смежные боковые грани, перпендикулярные плоскости основания, то высотой такой пирамиды является боковое ребро, общее для этих граней.
• Если в пирамиде две не смежные боковые грани перпендикулярны плоскости основания, то высота такой пирамиды лежит на прямой пересечения плоскостей этих граней.
• Если боковое ребро пирамиды перпендикулярно основанию, то и боковые грани, содержащие это ребро, перпендикулярны основанию.
• Если в четырехугольной пирамиде в основании ромб, и две смежные боковые грани перпендикулярны основанию, то боковые грани данной пирамиды – две пары равных треугольников.

Задачи для решения.

Задания из книги “Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 11-го класса” Ершовой А.П., Голобородько В.В.

Пирамиды, в которых основание высоты является центром описанной или вписанной окружности основания пирамиды.

Вариант А.

1. Основание пирамиды SABCD – прямоугольник АВСД со сторонами 6 и 8 см. Все боковые ребра пирамиды равны 13 см.

а) Опишите построение высоты пирамиды SO.

б) Докажите равенство отрезков АО, ВО, СО и ДО.

в) Обоснуйте положение точки О в прямоугольнике АВСД и найдите длину высоты SO.

1. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с основанием а и углом при вершине . Все двугранные углы при основании пирамиды равны .

а) Опишите построение высоты пирамиды, высот боковых граней и их проекций на плоскость основания. Обоснуйте двугранные углы при основании пирамиды.

б) обоснуйте положение основания высоты пирамиды в данном равнобедренном треугольнике.

в) Найдите высоту пирамиды.

Вариант Б.

1. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с боковой стороной b и углом при основании . Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом .

а) Обоснуйте положение основания высоты пирамиды в данном равнобедренном треугольнике.

б) Определите, при каких значениях ? высота пирамиды будет находиться вне пирамиды.

в) Найдите высоту пирамиды.

1. Основание пирамиды – ромб с большей диагональю d и острым углом . Все двугранные углы при основании пирамиды равны .

а) Обоснуйте данные двугранные углы и положение основания высоты пирамиды в ромбе.

б) Найдите высоту пирамиды.

в) Двумя способами – путем вычисления площадей боковых граней и с помощью теоремы об ортогональной проекции многоугольника – найдите боковую поверхность пирамиды. Сравните полученные результаты.

Вариант В.

1. Основание пирамиды – треугольник с углами и . Точка высоты пирамиды, удаленная от плоскости основания на расстояние d, равноудалена от концов бокового ребра. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом .

а) Обоснуйте положение основания высоты пирамиды.

б) При каких условиях высота пирамиды лежит внутри пирамиды?

в) Найдите высоту пирамиды.

г) Найдите площадь основания пирамиды.

1. В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция с острым углом . Высота пирамиды равна Н, а все двугранные углы при основании равны .

а) обоснуйте положение основания высоты пирамиды.

б) Найдите высоту трапеции, лежащей в основании пирамиды.

в) Не вычисляя площадей боковых граней, найдите боковую поверхность пирамиды.

Пирамиды, в которых одна или две боковые грани перпендикулярны плоскости основания.

Вариант А.

1. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с боковой стороной b и углом при вершине . Боковые грани пирамиды, содержащие стороны данного угла перпендикулярны плоскости основания, а третья боковая грань наклонена к ней под углом .

а) Обоснуйте положение высоты пирамиды.

б) Обоснуйте угол .

в) Найдите площадь третьей боковой грани.

г) Найдите боковую поверхность пирамиды.

1. Основание пирамиды – правильный треугольник со стороной а. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а две другие – наклонены к ней под углом .

а) Из вершины пирамиды в плоскости грани, перпендикулярной основанию, проведите перпендикуляр к ребру основания и обоснуйте, почему он будет высотой пирамиды.

б) Обоснуйте углы наклона, равные .

в) Докажите, что основание высоты пирамиды равноудалено от двух сторон правильного треугольника, и обоснуйте положение основания высоты на стороне правильного треугольника.

г) Найдите боковую поверхность пирамиды.

Вариант Б.

1. Основание пирамиды – квадрат со стороной а, две смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, а две другие – наклонены к ней под углом .

а ) Обоснуйте положение высоты пирамиды.

б ) Обоснуйте углы, равные .

в ) Докажите, что боковые грани пирамиды попарно равны.

г ) Найдите боковую поверхность пирамиды.

1. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом . Боковая грань, содержащая катет, противолежащий данному углу , перпендикулярна плоскости основания, а две другие грани наклонены к ней под углом .

а) Обоснуйте положение высоты пирамиды.

б) Обоснуйте положение основания высоты пирамиды.

в) Найдите высоту пирамиды.

г) Найдите боковую поверхность пирамиды.

Вариант В.

1. Основание пирамиды – ромб с тупым углом . Две боковые грани, содержащие стороны этого угла, перпендикулярны плоскости основания, а две другие – наклонены к ней под углом . Высота пирамиды равна Н.

а) Обоснуйте положение высоты пирамиды.

б) Обоснуйте углы, равные .

в) Найдите боковую поверхность пирамиды.

1. Основание пирамиды – прямоугольная трапеция с острым углом ? и прилежащей к нему боковой стороной . Боковая грань, содержащая большее основание трапеции, перпендикулярна плоскости основания, а три другие грани наклонены к ней под углом .

а ) Обоснуйте положение высоты пирамиды.

б) Обоснуйте положение основания высоты пирамиды.

в) Найдите площадь основания пирамиды.

г) Найдите боковую поверхность пирамиды.

Пирамиды, в которых заданы расстояния между точками и элементами пирамиды.

Вариант А.

1. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом . Расстояние от середины высоты пирамиды до середины бокового ребра равно d.

б ) Найдите площадь основания пирамиды.

1. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен . Расстояние от середины высоты пирамиды до ее апофемы равно l . Найдите боковую поверхность пирамиды.

Вариант Б.

1. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен . Расстояние от основания высоты пирамиды до середины апофемы равно l . Найдите полную поверхность пирамиды.
2. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с углом при вершине. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом . Биссектриса этого угла пересекает высоту пирамиды в точке, удаленной от бокового ребра на расстояние d.

б ) Найдите площадь основания пирамиды.

Вариант В.

1. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с углом при основании . Все двугранные углы при основании пирамиды равны . Отрезок, соединяющий точки пересечения медиан боковых граней, содержащих боковые стороны треугольника, равен m. Найдите боковую поверхность пирамиды.
2. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с острым углом . Боковые грани пирамиды, содержащие катеты треугольника, перпендикулярны плоскости основания, а третья боковая грань наклонена к ней под углом . Расстояние от основания высоты пирамиды до этой грани равно l. Найдите боковую поверхность пирамиды.

Указанный в статье перечень задач может быть расширен Вами и вашими учениками.

📸 Видео

Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать

Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

№243. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, у которого АВ = АС= 13 см, ВС=10 см; реброСкачать

№239. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналейСкачать

№253. Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 4√6 смСкачать

№255. В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ проведена высота CF.Скачать

№251. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. БоковыеСкачать

Сможешь найти основание? Задача про медиану равнобедренного треугольникаСкачать

Равнобедренный треугольникСкачать

Пирамиды, в которых высота проходит через центр описанной около основания окружностиСкачать

Делаем модель пирамиды для решения задачи по стереометрииСкачать

№249. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая равна 10 см. Какая изСкачать

Построение равнобедренного треугольникаСкачать

№109. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС проведена медиана AM. Найдите медиану AMСкачать