Какому из представленных углов соответствует точка изображенная на единичной окружности

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

Вот что мы видим на этом рисунке:

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Алгебра

План урока:

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Числовая и единичная окружность

В средней школе мы уже познакомились с координатной, или числовой прямой. Так называют абстрактную прямую, на которой выбрана точка отсчета, определен единичный отрезок, а также задано направление, в котором следует откладывать положительные числа. С помощью координатной прямой удается наглядно представлять сложение и вычитание как положительных, так и отрицательных чисел, решать задачи, связанные с перемещением по прямой, и делать многое другое.

Однако порою приходится рассматривать задачи, связанные с движением по окружности, а также складывать и вычитать углы. Здесь математикам помогает другая абстракция – числовая окружность. Пусть два гонщика (Вася и Петя) едут по круговой трассе, чья протяженность составляет 1 км. За минуту Вася проехал 1250 м, а Петя преодолел только 500 м. Попытаемся показать их положение графически.

Построим на координатной плоскости окружность с центром в начале координат длиной 1 км. Будем считать, старт находится в крайней правой точке трассы, на пересечении оси Ох и окружности. Также условимся, что гонщики едут против часовой стрелки. Тогда получим такую картинку:

Петя проедет ровно половину окружности и окажется в крайней левой точке трассы. Вася же за минуту успел сделать полный круг (1 км) и проехать ещё 250 м, а потому оказался в верхней точке.

Теперь предположим, что Петя стоит на месте, а Вася проехал ещё 250 м (четверть круга). В результате оба пилота оказались в одной точке, но проехали они разное расстояние! Получается, что по положению гонщика невозможно однозначно определить, сколько именно метров он проехал.

Заметим, что очень удобно характеризовать положение точки на числовой окружности с помощью угла. Достаточно соединить точку отрезком с началом координат. Полученный отрезок образует с прямой Ох некоторый угол α:

В тригонометрии предпочитают использовать особую числовую прямую, радиус которой равен единице. По ряду причин, которые станут ясны чуть позже, с ней очень удобно работать. Такую фигуру называют единичной окружностью.

Выглядит единичная окружность так:

Видео:9 класс. Геометрия. Тригонометрические функции угла от 0° до 180°. Единичная окружность. Урок #1Скачать

Откладывание углов на единичной окружности

Положение каждой точки на единичной окружности можно указать с помощью угла. Пусть надо найти точку, соответствующую углу 60°. Для этого просто строим угол следующим образом:

Углы, которые откладывают на единичной окружности, называют углами поворота. В данном случае можно утверждать, что точке А соответствует угол поворота, равный 60°.

Отложить можно и угол, больший 90° и даже 180°. Выглядеть они будут примерно так:

Углы можно складывать друг с другом и вычитать. Предположим, нам надо построить угол, равный сумме углов 120° и 110°. Для этого сначала совершить поворот на 120°, а потом от полученного отрезка отложить ещё один угол в 110°:

Ясно, что возможно построить любой угол в диапазоне от 0° до 360°. А можно ли отложить угол, который будет больше 360°? В обычной планиметрии мы не работаем с такими углами, однако в тригонометрии они существуют. Действительно, мы же можем, например, сложить углы 250° и 140°. В итоге получится 250 + 140 = 390°:

В результате мы совершили полный оборот (360°) и вдобавок повернули отрезок ещё на 30°. Получается, что углам в 390° и 30° соответствует одна и та же точка.

Углы можно и вычитать друг из друга. Для этого вычитаемый угол надо отложить в противоположном направлении – не против часовой, а по часовой стрелке. Например, вычитая из 150° угол в 70°, придем в точку, соответствующую 150 – 70 = 80°:

Из арифметики мы помним, что вычитание можно заменить прибавлением противоположного (то есть отрицательного) числа:

Получается, что отложив угол 70° по часовой стрелке, мы прибавили к 150° отрицательный угол (– 70°). То есть на единичной окружности можно откладывать отрицательные углы! Для их получения поворот надо осуществлять по часовой стрелке. Например, угол – 60° будет выглядеть так:

Итак, мы можем откладывать и положительные, и отрицательные углы, а также углы, большие 360°. Вообще в тригонометрии угол может быть равен любому действительному числу. На единичной окружности можно отложить углы величиной 1000°, 1000000° и (– 999999999°) и любые другие, самые большие и самые малые углы. В этом смысле единичная окружность схожа с координатной прямой. Разница лишь в том, что на прямой разным числам всегда соответствуют разные точки, а на окружности разным углам могут соответствовать одни и те же точки.

Ещё раз отметим, что один полный оборот равен 360°. Если отложить на окружности произвольную точку А, которой соответствует угол α, а потом добавить к α ещё 360°, то мы попадем в ту же самую точку:

С точки зрения тригонометрии те углы поворота, которые соответствуют одной точке на единичной окружности, равны друг другу. Поэтому можно записать формулу:

Естественно, при вычитании 360° из угла мы тоже совершим полный поворот, только по часовой стрелке, поэтому верна и другая запись:

Угол, не изменится и в том случае, если мы совершим не один, а два полных оборота, то есть добавим к нему 2•360° = 720°. Можно добавлять к углу два, три, четыре полных поворота, но он не изменится от этого. Обозначим буквой n количество оборотов, которые мы добавляем к углу. Естественно, что n – целое число. Справедливой будет формула:

Например, верны следующие равенства:

15° + 3•360° = 15° + 1080° = 1095°

100° + 10•360° = 100° + 3600° = 3700°

1000° = 1000° – 2•360° = 1000° – 720° = 280°

Очевидно, что любой точке на окружности соответствует какой-то угол α из промежутка 0 ≤ α 1 5

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Рабочая тетрадь по тригонометрии «Работа с единичной окружностью»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

ГБПОУ «Челябинский государственный колледж индустрии питания и торговли»

раздел «Основы тригонометрии»

«Работа с единичной окружностью»

Студента группы № _____________

РАССМОТРЕНА И СОГЛАСОВАНА:

На заседании ЦМК

Протокол № __от _______2021г.

Председатель_______/ Э.С. Нуруллина /

Рабочая тетрадь по математике предназначена для изучения раздела «Основы тригонометрии».

Составитель: А.Я. Амелина, преподаватель математики первой квалификационной категории.

Содержательная и техническая экспертиза проведена ____________________________________

Тема: Тригонометрические уравнения

Задание 11. На листе миллиметровой бумаги построить единичную окружность и касательные к ней в точках (1;0) и (0;1), выбрав за единицу масштаба 5 см. Решить приближенно уравнения.

1 Вариант: tgx =0,7; ctgx =-1,4.

2 Вариант: tgx = -0,5; ctgx =0,9

Ответ:

Тема: Тригонометрические уравнения

Задание 10. С помощью единичной окружности, построенной на миллиметровой бумаге, и транспортира приближенно решить уравнения, ответ записать в радианной мере. За единицу масштаба выбрать 5см. Уточнить ответ с помощью калькулятора.

1 Вариант : sinx=0.32 ; cosx=0.66

2 Вариант : sinx=0.74 ; cosx=0.26

Рекомендации к выполнению: Учитываем, что sinx — это ордината точки числовой окружности, а cosx — абсцисса. Значит, необходимо найти на числовой окружности точки с соответствующими ординатами (абсциссами), учитывая масштаб в котором построена единичная окружность (Напр. 0.32=50мм·0.32=16мм) и с помощью транспортира померить углы, которым они соответствуют. Затем перейти от градусов к радианам по формуле: n °=π· n /180 рад.

Рабочая тетрадь является учебным пособием к сопровождению уроков по учебной дисциплине «Математика» раздела «Основы тригонометрии».

Разработана в соответствии с учебной программой и содержит необходимые рекомендации о порядке выполнения упражнений.

В процессе работы с числовой окружностью у учащихся должны быть сформированы следующие умения:

— находить на числовой окружности точки, соответствующие заданным числам;

— составлять аналитические записи для дуг числовой окружности;

— определять принадлежность точки какой-либо координатной четверти;

— находить координаты точек числовой окружности и отыскивать на числовой окружности точки по заданным координатам;

— определять синус, косинус, тангенс угла;

— решать с помощью единичной окружности простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.

Использование готовых дидактических материалов позволяет экономно расходовать время на уроке, а также способствовать более глубокому освоению знаний раздела «Основы тригонометрии».

Тригонометрическая окружность — окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис.1).

За нулевое положение радиуса, принимается его положение на положительном направлении оси Ox. Угол поворота радиуса отсчитывается от положительного направления оси Ox: с плюсом – против часовой стрелки, с минусом – по часовой стрелке. Полный круг – это 360°. Каждому углу α от 0° до 360° соответствует точка М на единичной окружности.

Углы обычно измеряются либо в градусах, либо в радианах. Перевести градусы в радианы просто: 360 градусов (полный круг) соответствует 2π радиан .

На единичной окружности также можно

находить углы, которые больше 360 градусов.

Поскольку, значения синуса и косинуса на тригонометрическом круге повторяются каждые

Тема: Тригонометрические операции

Задание 9. На листе миллиметровой бумаги построить первую четверть единичной окружности, выбрав за единицу масштаба 10см. Провести ось тангенсов (параллельна оси синусов и проходит через точку (1;0)). Составить таблицу тангенсов углов от 0° до 60° с шагом в 10°. Перевести значения углов в радианную меру. Результаты занести в таблицу. Сравнить полученные значения с табличными, оценить относительную ошибку измерений.

Рекомендации к выполнению: С помощью транспортира отмеряем углы в 0°, 10°, 20° и т.д. Соединяем эти точки с началом координат – точкой (0;0) лучом и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Учитывая масштаб : 1единица-100мм, расчитываем значения тангенса по формуле: tgx =Хмм/100мм. Результаты заносим в таблицу.

Тема: Тригонометрические операции

Задание 8. На миллиметровой бумаге построить единичную окружность, приняв за единицу 5 см, а затем центральный угол α, такой что:

1 вариант: sinα =-0,5; tgα =2.

2 вариант: cosα =0,3; tgα =-1,5.

Рекомендации к выполнению: При выполнении этого задания необходимо знать, что значения sinx — располагаются на оси х, значения cosx — на оси у, а значения tgx — на прямой параллельной оси у, проходящая через точку с координатами (1;0). Учитывая масштаб, в котором построена единичная окружность, находим соответствующие точки на осях. Через эти точки проводим прямые: для синуса — параллельно оси х, для косинуса – параллельно оси у, для тангенса – соединяем полученную точку на прямой тангенса с началом координат. С помощью транспортира измеряем углы, которым они соответствуют.

Тема: Углы и вращательное движение

Задание 1. Отметить на единичной окружности точки, соответствующие данным числам (углам поворота):

1 Вариант :

2 Вариант :

Рекомендации к выполнению: Для отыскания точек, соответствующих положительным числам нужно пройти по окружности путь заданной длинны, двигаясь из точки А против часовой стрелки, для отрицательных чисел – по часовой стрелке. При этом учитываем, что длинна каждой четверти единичной окружности равна π/2.

Тема: Углы и вращательное движение

Задание 2. Отметить на единичной окружности примерное положение точек, соответствующих числам:

1 Вариант : 1, — 2, 3, — 4, 5, — 6

2 Вариант : -1, 2, -3, 4 , -5, 6

Образец решения задачи: Дана точка -7. Необходимо из точки А двигаться в отрицательном направлении (по часовой стрелке), пройти по окружности путь длинной 7. Если мы пройдем одну окружность, то получим (приближенно) 6,28, значит нужно пройти ещё (в том же направлении) путь длинной 0,72. Это дуга, немного меньше половины четверти окружности, т.е. её длинна меньше числа π/4, т.к. π/4≈0,785 т.е. мы немного не дойдем до середины четвертой четверти.

Тема: Тригонометрические операции

Задание 7. Построить на миллиметровой бумаге единичную окружность, приняв за единицу 5 см. С помощью этой окружности и транспортира найти синусы и косинусы данных ниже углов с возможно большей точностью. Проверить полученные результаты по калькулятору (При аккуратных построениях ошибка не должна превышать 0,04).

1 вариант: .

2 вариант: .

Рекомендации к выполнению: См. образец решения задания №3 и рекомендации к выполнению задания №6.

Тема: Тригонометрические операции

Задание 6. Построить на миллиметровой бумаге единичную окружность, приняв за единицу 5см. С помощью этой окружности и транспортира найти синусы и косинусы данных ниже углов с возможно большей точностью.

; ; ; .

Результаты занести в таблицу:

Рекомендации к выполнению: Переходим от радиан к градусам используя равенство: π=180°. С помощью транспортира отмеряем соответствующий угол и обозначаем точку на единичной окружности. Из полученной точки опускаем перпендикуляр на ось х (значения cosx ) и ось y (значения sinx ). Считаем в мм значения sinx и cosx , переходим к единицам по формуле: .

Тема: Углы и вращательное движение

Задание 3. Отметить на единичной окружности точки соответствующие каждому из чисел заданного множества:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Образец решения задачи : Задано множество чисел –π/3+2πk, k є Z . Любые два числа из этого множества чисел отличаются на величину кратную 2π. Значит, результаты поворотов на эти углы совпадают, т. е. всем числам соответствует одна и та же точка. Достаточно найти точку, соответствующую одному из чисел; при k=0 имеем –π/3.

Тема: Углы и вращательное движение

Задание 4. Отметить на единичной окружности точки, соответствующие числам заданного множества:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Тема: Тригонометрические операции

Задание 5 . С помощью единичной окружности составить таблицу синусов и косинусов следующих углов (чисел):

0; ; ; ; ; ; ; ; .

Результаты занести в таблицу:

Краткое описание документа:

Рабочая тетрадь по тригонометрии предназначена для работы со студентами 1 курса колледжа или техникума, также может использоваться на уроках алгебры в 10 классе.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 988 человек из 78 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 672 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 310 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 541 035 материалов в базе

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 24.10.2021
• 69
• 1

• 24.10.2021
• 143
• 1

• 24.10.2021
• 231
• 5

• 24.10.2021
• 132
• 3

• 24.10.2021
• 47
• 0

• 24.10.2021
• 143
• 1

• 24.10.2021
• 172
• 2

• 24.10.2021
• 238
• 7

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 24.10.2021 769
• DOCX 942.5 кбайт
• 44 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Амелина Анна Ярославовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 786
• Всего материалов: 1

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Точки на числовой окружностиСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

У детей на портале госуслуг появятся собственные аккаунты

Время чтения: 1 минута

Во Владивостоке средние классы школ переводят на дистанционное обучение

Время чтения: 1 минута

В Якутии объявили конкурс среди педагогов

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Онлайн-семинар о развитии управляющих функций мозга ребенка

Время чтения: 1 минута

В Томске студентов вузов перевели на дистанционное обучение до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

🎥 Видео

Тригонометрическая окружность для непонимающихСкачать

Радианная мера угла. 9 класс.Скачать

Соответствие чисел точкам числовой окружностиСкачать

В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте Ро(1;0) на угол...Скачать

Отбор корней по окружностиСкачать

Числовая окружность | Алгебра 10 класс #8 | ИнфоурокСкачать

единичная окружностьСкачать

3 Единичная окружность на координатной плоскости 10 классСкачать

10 класс. Алгебра. Числовая окружность.Скачать

10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскостиСкачать

10 класс - Алгебра - Числовая окружностьСкачать

1. Числовая окружность. 10 классСкачать

Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать