Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой

Расстояние между прямыми в пространстве онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между прямыми в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния между прямыми в пространстве, задайте вид уравнения прямых («канонический» или «параметрический» ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

Расстояние между прямыми в пространстве − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой.(1)
Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой,(2)

Прямые (1) и (2) в пространстве могут совпадать, быть паралленьными, пересекаться, или быть скрещивающимся. Если прямые в пространстве пересекаются или совпадают, то расстояние между ними равно нулю. Мы рассмотрим два случая. Первый − прямые параллельны, и второй − прямые скрещиваются. Остальные являются частыми случаями. Если при вычислении расстояния между параллельными прямыми мы получим расстояние равным нулю, то это значит, что эти прямые совпадают. Если же расстояние между скрещивающимися прямыми равно нулю, то эти прямые пересекаются.

1. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве

Рассмотрим два метода вычисления расстояния между прямыми.

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямойПрямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой

которое и является расстоянием между прямыми L1 и L2 (Рис.1).

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой

Пример 1. Найти расстояние между прямыми L1 и L2:

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой(3)
Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой(4)
q1=<m1, p1, l1>=
q2=<m2, p2, l2>=

Найдем проекцию точки M1 на прямую L2. Для этого построим плоскость α, проходящей через точку M1 и перпендикулярной прямойL2.

Для того, чтобы плоскость α было перепендикулярна прямой L2, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L2, т.е. в качестве нормального вектора плоскости α можно взять направляющий вектор прямой L2. Тогда уравнение искомой плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) имеет следующий вид:

m2<xx1)+p2(yy1)+ l2(zz1)=0(5)
2(x−1)−4(y−2)+ 8(z−1)=0

После упрощения получим уравнение плоскости, проходящей через точку M1 и перпендикулярной прямой L2:

2x−4y+ 8z−2=0(6)

Найдем точку пересечения прямой L2 и плоскости α, для этого построим параметрическое уравнение прямой L2.

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой

Выразив переменные x, y, z через параметр t, получим параметрическое уравнение прямой L2:

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой(7)

Чтобы найти точку пересечения прямой L2 и плоскости α, подставим значения переменных x, y, z из (7) в (6):

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой

Решив уравнение получим:

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой(8)

Подставляя полученное значение t в (7), получим точку пересеченияпрямой L2 и плоскости α:

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой

Остается найти расстояние между точками M1 и M3:

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой
Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямойПрямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой

Ответ: Расстояние между прямыми L1 и L2 равно d=7.2506.

Метод 2. Найдем расстояние между прямыми L1 и L2 (уравнения (1) и (2)). Во первых, проверяем параллельность прямых L1 и L2. Если направляющие векторы прямых L1 и L2 коллинеарны, т.е. если существует такое число λ, что выполнено равенство q1=λq2, то прямые L1 и L2 параллельны.

Данный метод вычисления расстояния между параллельными векторами основана на понятии векторного произведения векторов. Известно, что норма векторного произведения векторов Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямойи q1 дает площадь параллелограмма, образованного этими векторами (Рис.2). Узнав площадь параллелограмма, можно найти вершину параллелограмма d, разделив площадь на основание q1 параллелограмма.

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой

Вычислим координаты вектора Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой:

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой

Вычислим векторное произведение векторов Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямойи q1:

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямойПрямая x 52 y 14 z6 параллельна прямойПрямая x 52 y 14 z6 параллельна прямойПрямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой

Вычисляя определители второго порядка находим координаты вектора c:

Далее находим площадь параллелограмма:

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой.

Расстояние между прямыми L1 и L2 равно:

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой,
Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой,

Пример 2. Решим пример 1 методом 2. Найти расстояние между прямыми

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой(25)
Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой(26)
q1=<m1, p1, l1>=
q2=<m2, p2, l2>=

Векторы q1 и q2 коллинеарны. Следовательно прямые L1 и L2 параллельны. Для вычисления расстояния между параллельными прямыми воспользуемся векторным произведением векторов.

Построим вектор Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой=<x2x1, y2y1, z2z1>=.

Вычислим векторное произведение векторов Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямойи q1. Для этого составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямойи q1:

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямойи q1:

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямойПрямая x 52 y 14 z6 параллельна прямойПрямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой

Таким образом, результатом векторного произведения векторов Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямойи q1 будет вектор:

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой

Поскольку векторное произведение векторов Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямойи q1 дает плошадь параллелограмма образованным этими векторами, то расстояние между прямыми L1 и L2 равно :

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямойПрямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой

Ответ: Расстояние между прямыми L1 и L2 равно d=7.25061.

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

Пусть задана декартова прямоугольная симтема координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 (уравнения (1) и (2)).

Пусть прямые L1 и L2 не параллельны (паралельные прямые мы расстотрели в предыдущем параграфе). Чтобы найти расстояние между прямыми L1 и L2 нужно построить параллельные плоскости α1 и α2 так, чтобы прямая L1 лежал на плоскости α1 а прямая L2 − на плоскости α2. Тогда расстояние между прямыми L1 и L2 равно расстоянию между плоскостями L1 и L2 (Рис. 3).

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой

Поскольку плоскость α1, проходит через прямую L1, то он проходит также через M1(x1, y1, z1). Следовательно справедливо следующее равенство:

A1x1+B1y1+C1z1+D1=0.(27)

где n1=<A1, B1, C1> − нормальный вектор плоскости α1. Для того, чтобы плоскость α1 проходила через прямую L1, нормальный вектор n1 должен быть ортогональным направляющему вектору q1 прямой L1, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

A1m1+B1p1+C1l1=0.(28)

Так как плоскость α1 должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:

A1m2+B1p2+C1l2=0.(29)

Решая систему линейных уравнений (27)−(29), с тремя уравнениями и четыремя неизвестными A1, B1, C1, D1, и подставляя в уравнение

A1x+B1y+C1z+D1=0.(30)

получим уравнение плоскости α1. (Как построить уравнение плоскости, проходящей через прямую, параллельно другой прямой подробно изложено здесь).

Аналогичным образом находим уравнение плоскости α2:

A2x+B2y+C2z+D2=0.(31)

Плоскости α1 и α2 параллельны, следовательно полученные нормальные векторыn1=<A1, B1, C1> и n2=<A2, B2, C2> этих плоскостей коллинеарны. Если эти векторы не равны, то можно умножить (31) на некторое число так, чтобы полученный нормальный вектор n2 совпадал с нормальным вектором уравнения (30).

Тогда расстояние между параллельными плоскостями вычисляется формулой:

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой.

Полученное расстояние между плоскостями α1 и α2 является также расстоянием между прямыми L1 и L2.

Пример 3. Найти расстояние между прямыми

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой(32)
Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой(33)

Построим плоскость α1, проходящую через прямую L1, параллельно прямой L2.

Поскольку плоскость α1 проходит через прямую L1 , то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=M1(2, 1, 4) и нормальный вектор n1=<m1, p1, l1> плоскости α1 перпендикулярна направляющему вектору q1 прямой L1. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

A1x1+B1y1+C1z1+D1=0.(34)

а условие параллельности прямой L1 и искомой плоскости α1 представляется следующим условием:

A1m1+B1p1+C1l1=0.(35)

Так как плоскость α1 должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:

A1m2+B1p2+C1l2=0.(36)
A1·2+B1·1+C1·4+D1=0.(37)
A1·1+B1·3+C1·(−2)=0.(38)
A1·2+B1·(−3)+C1·7=0.(39)

Представим эти уравнения в матричном виде:

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой(40)
Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой(41)

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

A1x+B1y+C1z+D1=0.(42)
Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой

Упростим уравнение, умножив на число 17.

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой(43)

Построим плоскость α2, проходящую через прямую L2, параллельно прямой L1.

Поскольку плоскость α2 проходит через прямую L2 , то она проходит также через точку M2(x2, y2, z2)=M2(6, −1, 2) и нормальный вектор n2=<m2, p2, l2> плоскости α2 перпендикулярна направляющему вектору q2 прямой L2. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

A2x2+B2y2+C2z2+D2=0.(44)

а условие параллельности прямой L2 и искомой плоскости α2 представляется следующим условием:

A2m2+B2p2+C2l2=0.(45)

Так как плоскость α2 должна быть параллельной прямой L1, то должна выполнятся условие:

A2m1+B2p1+C2l1=0.(46)
A1·6+B1·(−1)+C1·2+D1=0.(47)
A1·2+B1·(−3)+C1·7=0.(48)
A1·1+B1·3+C1·(−2)=0.(49)

Представим эти уравнения в матричном виде:

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой(50)
Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой(51)

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

A2x+B2y+C2z+D2=0.(52)
Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой

Упростим уравнение, умножив на число −83.

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой(53)

Расстояние между построенными плоскостями (43) и (53) будет расстоянием между прямыми (1) и (2).

Запишем формулы уравнений плоскостей α1 и α2 :

A1x+B1y+C1z+D1=0.
A2x+B2y+C2z+D2=0.

Поскольку нормальные векторы плоскостей α1 и α2 совпадают, то можно найти расстояние между плоскостями α1 и α2, используя следующую формулу:

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой(54)
Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой

Упростим и решим:

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой

Расстояние между прямыми равно: d=4.839339

Видео:№124. Прямая PQ параллельна плоскости α. Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярныеСкачать

№124. Прямая PQ параллельна плоскости α. Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные

показать, что прямые 2х-3у=6 и 4х-6у=25 параллельны и найти расстояние между

Показать, что прямые 2х-3у=6 и 4х-6у=25 параллельны и найти расстояние меж ними.

  • Regina Nikukina
  • Математика 2019-07-30 17:19:13 4 1

Прямая x 52 y 14 z6 параллельна прямой

Прямые, данные уравнениями параллельны, если не существует точки их скрещения.
2x-3y=6 //*2
4x-6y=25

0=-13 тождество не производится, как следует прямые не пересекаются и означает они параллельны.

Найдём точку на прямой 2x-3y=6
x=0 -3y=6 M(0;-2)
расстояние до 2-ой прямой определяется по формуле
d=Ax+By+C/(A+B)
A=4, B=-6, C=-25
d=4*0-2*(-6)-25/(4+(-6))=12-25/(52)=1.802
расстояние меж прямыми одинаково 1.802

📺 Видео

№199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC. Докажите, что прямые ВССкачать

№199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC. Докажите, что прямые ВС

Решение прямой геодезической задачиСкачать

Решение прямой геодезической задачи

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

Уравнение прямой.Скачать

Уравнение прямой.

Угловой коэффициент прямой. Решение задач.Скачать

Угловой коэффициент прямой.  Решение задач.

Параллельные прямые, 6 классСкачать

Параллельные прямые, 6 класс

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Как построить прямую, заданную уравнением. Частные случаи уравнения прямой. Урок 2 Геометрия 8 классСкачать

Как построить прямую, заданную уравнением. Частные случаи уравнения прямой. Урок 2 Геометрия 8 класс

№204 Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину ОСкачать

№204 Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину О

№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,Скачать

№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,

Урок ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕСкачать

Урок ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

№977. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку М (2; 5) и параллельных осям координат.Скачать

№977. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку М (2; 5) и параллельных осям координат.

Симметрические системы / Как решать по шаблону? x/y+y/x=13/6; x+y=5Скачать

Симметрические системы / Как решать по шаблону? x/y+y/x=13/6; x+y=5

Решаем систему по-быстрому ➜ x+y=1; x⁴+y⁴=7 ➜ Как решать симметрические системы уравнений?Скачать

Решаем систему по-быстрому ➜ x+y=1; x⁴+y⁴=7 ➜ Как решать симметрические системы уравнений?

Простое решение сложного уравнения ➜ Решите уравнение ➜ x⁴-2x³-13x²+14x-3=0Скачать

Простое решение сложного уравнения ➜ Решите уравнение ➜ x⁴-2x³-13x²+14x-3=0

3.1 Формула Даламбера, решение волнового уравнения на бесконечной прямойСкачать

3.1 Формула Даламбера, решение волнового уравнения на бесконечной прямой

Линейная функция, квадратичная функция и обратно-пропорциональная функция | Математика | TutorOnlineСкачать

Линейная функция, квадратичная функция и обратно-пропорциональная функция | Математика | TutorOnline

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэ
Поделиться или сохранить к себе: