Какие векторы образуют базис в r2 и r3

Как найти координаты вектора в базисе

Решение:
Записываем матрицу перехода А:

и находим ее определитель
0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f1 , f2 , f3 линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R 3 .
Находим обратную матрицу А -1 .
Транспонированная матрица:

Обратная матрица А -1

Находим координаты вектора х относительно нового базиса.

Пример №1 . Даны векторы a, b, c и d . Установить, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 — β*2 — γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c :
d = 1/2a + 1/2b — 3/2c

Пример №2 . Даны векторы Какие векторы образуют базис в r2 и r3. Показать, что векторы Какие векторы образуют базис в r2 и r3образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора Какие векторы образуют базис в r2 и r3в этом базисе:

Какие векторы образуют базис в r2 и r3

Какие векторы образуют базис в r2 и r3

Какие векторы образуют базис в r2 и r3

Пример №3 . Даны два линейных преобразования:
х’1 = a11x1 + a12x2 + a13x3, х»1 = b11x’1 + b12x’2 + b13x’3,
х’2 = a21x1 + a22x2 + a23x3, х»2 = b21x’1 + b22x’2 + b23x’3,
х’3 = a31x1 + a32x2 + a33x3, х»3 = b31x’1 + b32x’2 + b33x’3,
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х»1, x»2, x»3 через х1, х2, х3.
х’1 = 4x1 + 3x2 + 5x3, х»1 = — x’1 + 3x’2 — 2x’3,
х’2 = 6x1 + 7x2 + x3, х»2 = — 4x’1 + x’2 + 2x’3,
х’3 = 9x1 + x2 + 8x3, х»3 = 3x’1 — 4x’2 + 5x’3,
Решение. Используя калькулятор, получаем:
Обозначим:

A =
435
671
918

B =
-13-2
-412
3-45

Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 4*(7*8 — 1*1) — 6*(3*8 — 1*5) + 9*(3*1 — 7*5) = -182
Определитель матрицы А равен detA=-182
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1 : A -1 ·A·X = A -1 ·B, тогда получим E·X = A -1 ·B, или X = A -1 ·B.
Найдем обратную матрицу A -1 .

A -1 = -1/182
55-19-32
-39-1326
-572310

Матрицу Х ищем по формуле:

X = A -1 ·B = -1/182
55-19-32
-39-1326
-572310
*
-13-2
-412
3-45
=
75 /182-1 46 /911 9 /13
-13 /141 2 /7-1
5 /1821 3 /91-1 2 /13

Пример №4 . В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e 1= AB , e 2= AC , e 3= AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e 1, e 2, e 3)

Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.

Задание 1 . Разложить вектор d =(8;-5) по векторам a =(1;-2) и b =(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (Какие векторы образуют базис в r2 и r3, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = α a +β b , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид Какие векторы образуют базис в r2 и r3 Какие векторы образуют базис в r2 и r3
Решим полученную систему уравнений.

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Онлайн калькулятор. Проверить образуют ли вектора базис.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто проверить образует ли заданый набор векторов базис (проверить линейную независимость векторов).

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на определение образует ли заданый набор векторов базис и закрепить пройденый материал.

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Калькулятор для проверки образуют ли вектора базис (проверить линейную независимость векторов)

Выберите размерность пространства

Количество координат в векторе:

Введите значение векторов:

Инструкция использования калькулятора для проверки образуют ли вектора базис (проверки линейной независимости векторов)

  • Для того чтобы проверить образуют ли вектора базис (проверить линейную независимость векторов) онлайн:
  • выберите необходимую вам размерность пространства;
  • введите значение векторов;
  • Нажмите кнопку «Проверить образуют ли вектора базис» и вы получите детальное решение задачи.

Ввод данных в калькулятор для проверки образуют ли вектора базис (проверить линейную независимость векторов)

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора проверки образуют ли вектора базис (проверить линейную независимость векторов)

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Видео:Образуют ли данные векторы базисСкачать

Образуют ли данные векторы базис

Тема 2. Лекция 6. Векторное пространство

Какие векторы образуют базис в r2 и r3

Лекция 6. Векторное пространство.

1. Векторное линейное пространство.

2. Базис и размерность пространства.

3. Ориентация пространства.

4. Разложение вектора по базису.

5. Координаты вектора.

1. Векторное линейное пространство.

Множество, состоящее из элементов какой угодно природы, в которых определены линейные операции : сложение двух элементов и умножение элемента на число называются пространствами, а их элементы – векторами этого пространства и обозначаются так же, как и векторные величины в гео-метрии : Какие векторы образуют базис в r2 и r3. Векторы таких абстрактных пространств, как правило, ничего общего не имеют с обычными геометрическими векторами. Элемен-тами абстрактных пространств могут быть функции, система чисел, матрицы и т. д., а в частном случае и обычные векторы. Поэтому такие пространства принято называть векторными пространствами .

Векторными пространствами являются, например , множество колли-неарных векторов, обозначаемое V1 , множество компланарных векторов V2, множество векторов обычного (реального пространства) V3 .

Для этого частного случая можно дать следующее определение век-торного пространства.

Определение 1. Множество векторов называется векторным прост-ранством , если линейная комбинация любых векто-ров множества также является вектором этого мно-жества. Сами векторы называются элементами век-торного пространства.

Более важным как в теоретическом, так и в прикладном отношении яв-ляется общее (абстрактное) понятие векторного пространства.

Определение 2. Множество R элементов Какие векторы образуют базис в r2 и r3, в котором для лю-бых двух элементов Какие векторы образуют базис в r2 и r3и Какие векторы образуют базис в r2 и r3определена сум-ма Какие векторы образуют базис в r2 и r3и для любого элемента Какие векторы образуют базис в r2 и r3и любого действительного числа λ определено произведение Какие векторы образуют базис в r2 и r3называется векторным (или линейным) про-странством , а его элементы – векторами, если опера-ции сложения векторов и умножение вектора на число удовлетворяют следующим условиям (аксиомам) :

1) сложение коммутативно, т. е. Какие векторы образуют базис в r2 и r3;

2) сложение ассоциативно, т. е. Какие векторы образуют базис в r2 и r3;

3) существует такой элемент Какие векторы образуют базис в r2 и r3(нулевой вектор), что Какие векторы образуют базис в r2 и r3для любого Какие векторы образуют базис в r2 и r3;

4) для каждого вектора Какие векторы образуют базис в r2 и r3существует противопо-ложный вектор —Какие векторы образуют базис в r2 и r3, такой что Какие векторы образуют базис в r2 и r3;

5) для любых векторов Какие векторы образуют базис в r2 и r3и Какие векторы образуют базис в r2 и r3и любого чис-ла λ имеет место равенство Какие векторы образуют базис в r2 и r3;

6) для любых векторов Какие векторы образуют базис в r2 и r3и любых чисел λ и µ справедливо равенство Какие векторы образуют базис в r2 и r3;

7) для любого Какие векторы образуют базис в r2 и r3и любых чисел λ и µ справедли-во Какие векторы образуют базис в r2 и r3;

8) Какие векторы образуют базис в r2 и r3для любого Какие векторы образуют базис в r2 и r3.

Из аксиом, определяющих векторное пространство, вытекают прос-тейшие следствия :

1. В векторном пространстве существует только один нуль – элемент – нулевой вектор.

2. В векторном пространстве каждый вектор имеет единственный проти-воположный вектор.

3. Для каждого элемента Какие векторы образуют базис в r2 и r3выполняется равенство Какие векторы образуют базис в r2 и r3.

4. Для любого действительного числа λ и нулевого вектора Какие векторы образуют базис в r2 и r3выпол-няется равенство Какие векторы образуют базис в r2 и r3.

5. Из равенства Какие векторы образуют базис в r2 и r3следует одно из двух равенств: Какие векторы образуют базис в r2 и r3

6. Вектор Какие векторы образуют базис в r2 и r3является противоположным для любого вектора Какие векторы образуют базис в r2 и r3Какие векторы образуют базис в r2 и r3.

Существование противоположного вектора определяет возможность вве-дения для вектора рассматриваемого пространства операцию вычитания как операцию, обратную операции сложения.

Разностью векторов Какие векторы образуют базис в r2 и r3называется вектор Какие векторы образуют базис в r2 и r3, удовлетворяющий равенству Какие векторы образуют базис в r2 и r3.

Разность векторов обозначается так : Какие векторы образуют базис в r2 и r3.

Итак, действительно, и множество всех геометрических векторов являет-ся линейным (векторным) пространством, так как для элементов этого мно-жества определены действия сложения и умножения на число, удовлетворя-ющие сформулированным аксиомам.

2. Базис и размерность пространства.

Существенными понятиями векторного пространства являются понятия базиса и размерность.

Определение. Совокупность линейно независимых векторов, взятых в определенном порядке, через которые линейно выражается любой вектор пространства, называется базисом этого пространства. Векторы. Составляющие базис пространства, называется базисным .

Базисом множества векторов, расположенных на произвольной прямой, можно считать один коллинеарный этой прямой вектор Какие векторы образуют базис в r2 и r3.

Базисом на плоскости назовем два неколлинеарных вектора на этой пло-скости, взятые в определенном порядке Какие векторы образуют базис в r2 и r3.

Базисом в обычном пространстве – три некомпланарных вектора, взя-тые в определенном порядке Какие векторы образуют базис в r2 и r3.

Если базисные векторы попарно перпендикулярны (ортогональны), то базис называется ортогональным , а если эти векторы имеют длину, равную единице, то базис называется ортонормированным .

Наибольшее число линейно независимых векторов пространства называ-ется размерностью этого пространства, т. е. размерность пространства сов-падает с числом базисных векторов этого пространства.

Итак, в соответствии с данными определениями :

1. Одномерным пространством V1 является прямая линия, а базис состо-ит из одного коллинеарного вектора Какие векторы образуют базис в r2 и r3.

2. Двумерным пространством V2 является плоскость, базис этого прост-ранства состоит из двух неколлинеарных векторов Какие векторы образуют базис в r2 и r3.

3. Обычное пространство является трехмерным пространством V3 , базис которого состоит из трех некомпланарных векторов Какие векторы образуют базис в r2 и r3.

Отсюда мы видим, что число базисных векторов на прямой, на плос-кости, в реальном пространстве совпадает с тем, что в геометрии принято на-зывать числом измерений (размерностью) прямой, плоскости, пространства. Поэтому естественно ввести более общее определение.

Определение. Векторное пространство R называется n – мерным, если в нем существует не более n линейно неза-висимых векторов и обозначается R n . Число n на-зывается размерностью пространства.

В соответствии с размерностью пространства делятся на конечномерные и бесконечномерные . Размерность нулевого пространства по определению считается равной нулю.

Замечание 1. В каждом пространстве можно указать сколько угодно базисов, но при этом все базисы данного пространства состоят из одного и того же числа векторов.

Замечание 2. В n – мерном векторном пространстве базисом назы-вают любую упорядоченную совокупность n линейно независимых векторов.

3. Ориентация пространства.

Пусть базисные векторы в пространстве V3 имеют общее начало и упорядочены, т. е. указано какой вектор считается первым, какой – вторым и какой – третьим. Например, в базисе Какие векторы образуют базис в r2 и r3век-торы упорядочены согласно индек-сации.

Какие векторы образуют базис в r2 и r3

Какие векторы образуют базис в r2 и r3

Какие векторы образуют базис в r2 и r3Какие векторы образуют базис в r2 и r3

Какие векторы образуют базис в r2 и r3

Какие векторы образуют базис в r2 и r3

Для того чтобы ориентировать пространство, необходимо задать какой-нибудь базис и объявить его положительным .

Можно показать, что множество всех базисов пространства распадается на два класса, т. е. на два непересекающихся подмножества.

а) все базисы, принадлежащие одному подмножеству (классу), имеют одинаковую ориентацию (одноименные базисы) ;

б) всякие два базиса, принадлежащие различным подмножествам (кла-ссами), имеют противоположную ориентацию, (разноименные базисы) .

Если один из двух классов базисов пространства объявлен положитель-ным, а другой – отрицательным, то говорят, что это пространство ориенти-ровано .

Часто при ориентации пространства одни базисы называют правыми , а другие – левыми .

Какие векторы образуют базис в r2 и r3Согласно критерию наблюдателя базис Какие векторы образуют базис в r2 и r3называют правым , если при наблюдении с конца третьего вектора Какие векторы образуют базис в r2 и r3кратчайший поворот пер-вого вектора Какие векторы образуют базис в r2 и r3ко второму вектору Какие векторы образуют базис в r2 и r3осуществляется против часовой стрелки (рис. 1.8, а).

Какие векторы образуют базис в r2 и r3Какие векторы образуют базис в r2 и r3

Какие векторы образуют базис в r2 и r3Какие векторы образуют базис в r2 и r3

Какие векторы образуют базис в r2 и r3Какие векторы образуют базис в r2 и r3

Какие векторы образуют базис в r2 и r3Какие векторы образуют базис в r2 и r3

Какие векторы образуют базис в r2 и r3Какие векторы образуют базис в r2 и r3

Какие векторы образуют базис в r2 и r3Какие векторы образуют базис в r2 и r3

Рис. 1.8. Правый базис (а) и левый базис (б)

Обычно положительным базисом объявляется правый базис пространства

Правый (левый) базис пространства может быть определен и с помощью правила «правого» («левого») винта или буравчика.

По аналогии с этим вводится понятие правой и левой тройки некомпла-нарных векторов Какие векторы образуют базис в r2 и r3, которые должны быть упорядочены (рис.1.8).

Таким образом, в общем случае две упорядоченные тройки некомпла-нарных векторов имеют одинаковую ориентацию (одноименны) в пространстве V3 если они обе правые или обе левые, и – противоположную ориентацию (разноименны), если одна из них правая, а другая левая.

Аналогично поступают и в случае пространства V2 (плоскости).

4. Разложение вектора по базису.

Этот вопрос для простоты рассуждений рассмотрим на примере трех-мерного векторного пространства R3 .

Пусть Какие векторы образуют базис в r2 и r3— линейно независимые векторы (базис) пространства R3 а Какие векторы образуют базис в r2 и r3— произвольный вектор этого пространства.

Теорема. Любой вектор Какие векторы образуют базис в r2 и r3пространства R3 однозначно представим в виде линейной комбинации трех линейно независимых век-торов Какие векторы образуют базис в r2 и r3этого пространства, т. е.

Какие векторы образуют базис в r2 и r3 (3)

Представление произвольного вектора в виде линейной комбинации ба-зисных векторов называется разложением этого вектора по базису.

Например, выражение Какие векторы образуют базис в r2 и r3 означает, что вектор Какие векторы образуют базис в r2 и r3разложен по базису Какие векторы образуют базис в r2 и r3.

5. Координаты вектора.

5.1. Понятие о координатах вектора.

Из рассмотренного выше следует, что фиксированный базис позволяет сопоставить каждому вектору пространства R 3 упорядоченную тройку чисел (а пространству R 2 – плоскости, — упорядоченную двойку чисел), которые являются коэффициентами разложения этого вектора по векторам базиса. Наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел Какие векторы образуют базис в r2 и r3при помощи бази-са Какие векторы образуют базис в r2 и r3сопоставляется единственный вектор пространства, если составим линейную комбинацию Какие векторы образуют базис в r2 и r3(аналогично и для пространства R 2 и вообще R n ).

Определение. Если Какие векторы образуют базис в r2 и r3— базис и вектор Какие векторы образуют базис в r2 и r3, то числа Какие векторы образуют базис в r2 и r3называются координатами вектора Какие векторы образуют базис в r2 и r3в данном базисе.

Обозначение : Какие векторы образуют базис в r2 и r3или, в конкретном случае Какие векторы образуют базис в r2 и r3.

Вполне очевидно, что если в пространстве R выбрать другой базис, то тот же вектор Какие векторы образуют базис в r2 и r3будет иметь другие координаты.

5.2. Условие коллинеарности двух векторов.

Пусть векторы Какие векторы образуют базис в r2 и r3и Какие векторы образуют базис в r2 и r3разложены по базису Какие векторы образуют базис в r2 и r3:

Какие векторы образуют базис в r2 и r3

Какие векторы образуют базис в r2 и r3

Известно, что два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы, т. е. Какие векторы образуют базис в r2 и r3, где хотя бы одно из чисел λ1 или λ2 отличны от нуля.

Для определенности положим Какие векторы образуют базис в r2 и r3. Тогда

Какие векторы образуют базис в r2 и r3

Откуда соотношение между координатами векторов (на основе аксиомы 5)

Какие векторы образуют базис в r2 и r3

или их отношения

Какие векторы образуют базис в r2 и r3(7) Следовательно, необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат в данном базисе.

1. Векторное пространство характеризуется размерностью, базисом и ориентацией.

2. Каждый вектор пространства R n разлагается по его базису единствен-

ственным способом, коэффициенты при базисных векторах в этом разложе-нии называются координатами вектора.

🎦 Видео

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

Семинар 3 - Задача 3 (Какие из векторов образуют базис?)Скачать

Семинар 3 - Задача 3 (Какие из векторов образуют базис?)

Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Базис. Разложение вектора по базису.Скачать

Базис. Разложение вектора по базису.

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 1Скачать

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 1

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 3Скачать

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 3

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространстве

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.

Решение, убедиться что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 9Скачать

Решение, убедиться что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 9

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 2Скачать

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 2

Решение, показать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d пример 8Скачать

Решение, показать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d пример 8

Решение убедиться что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 10Скачать

Решение убедиться что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 10

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?
Поделиться или сохранить к себе: