Какие векторы называют координатными

Координаты вектора в декартовой системе координат (ДСК)

Для начала дадим определение координат вектора в заданной системе координат. Чтобы ввести данное понятие, определим что мы называем прямоугольной или декартовой системой координат.

Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.

С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.

Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач

Прямоугольная система координат на плоскости обычно обозначается O x y , где O x и O y – оси коорднат. Ось O x называют осью абсцисс, а ось O y – осью ординат (в пространстве появляется ещё одна ось O z , которая перпендикулярна и O x и O y ).

Итак, нам дана прямоугольная декартова система координат O x y на плоскости если мы отложим от начала координат векторы i → и j → , направление которых соответственно совпадет с положительными направлениями осей O x и O y , и их длина будет равна условной единице, мы получим координатные векторы. То есть в данном случае i → и j → являются координатными векторами.

Содержание
  1. Координатные векторы
  2. Разложение вектора
  3. Равные и противоположные векторы
  4. Координаты радиус-вектора точки
  5. Геометрия для новичков. Часть 1: координаты и векторы — теория
  6. О чем данная статья
  7. На кого рассчитана статья
  8. Введение
  9. Зачем нужны координаты точек в играх
  10. Пример координат вектора
  11. Векторы
  12. Что такое направленный отрезок
  13. Что такое вектор
  14. Равенство векторов
  15. Длина вектора
  16. Коллинеарные векторы
  17. Нулевой вектор
  18. Единичные векторы
  19. Обратный вектор
  20. Арифметические операции над векторами
  21. Координаты вектора
  22. Разложение вектора по 2 неколлинеарным векторам
  23. Определение координат вектора
  24. Арифметические операции над координатами векторов
  25. Радиус-вектор
  26. Связь между координатами вектора и координатами концов отрезка
  27. Нахождение длины вектора по его координатам
  28. Заключение
  29. Литература
  30. PS: корректность определения вектора в статье
  31. Знакомимся с вектором
  32. Линейная алгебра
  33. Что такое вектор
  34. Как записывать
  35. Скаляр
  36. Как изображать
  37. И зачем нам это всё
  38. Что дальше

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Координатные векторы

Векторы i → и j → называются координатными векторами для заданной системы координат.

Откладываем от начала координат произвольный вектор a → . Опираясь на геометрическое определение операций над векторами, вектор a → может быть представлен в виде a → = a x · i → + a y · j → , где коэффициенты a x и a y — единственные в своем роде, их единственность достаточно просто доказать методом от противного.

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Разложение вектора

Разложением вектора a → по координатным векторам i → и j → на плоскости называется представление вида a → = a x · i → + a y · j → .

Коэффициенты a x и a y называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Координаты вектора в данной системе координат принято записывать в круглых скобках, через запятую, при этом заданные координаты следует отделять от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись a → = ( 2 ; — 3 ) означает, что вектор a → имеет координаты ( 2 ; — 3 ) в данной системе координат и может быть представлен в виде разложения по координатным векторам i → и j → как a → = 2 · i → — 3 · j → .

Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.

Опираясь на определения координат вектора и их разложения становится очевидным, что единичные векторы i → и j → имеют координаты ( 1 ; 0 ) и ( 0 ; 1 ) соответственно, и они могут быть представлены в виде следующих разложений i → = 1 · i → + 0 · j → ; j → = 0 · i → + 1 · j → .

Также имеет место быть нулевой вектор 0 → с координатами ( 0 ; 0 ) и разложением 0 → = 0 · i → + 0 · j → .

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Равные и противоположные векторы

Векторы a → и b → равны тогда, когда их соответствующие координаты равны.

Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.

Отсюда следует, что координаты такого вектора будут противоположны координатам данного вектора, то есть, — a → = ( — a x ; — a y ) .

Все вышеизложенное можно аналогично определить и для прямоугольной системы координат, заданной в трехмерном пространстве. В такой системе координат имеет место быть тройка координатных векторов i → , j → , k → , а произвольный вектор a → раскладывается не по двум, а уже по трем координатам, причем единственным образом и имеет вид a → = a x · i → + a y · j → + a z · k → , а коэффициенты этого разложения ( a x ; a y ; a z ) называются координатами вектора в данной (трехмерной) системе координат.

Следовательно, координатные векторы в трехмерном пространстве принимают также значение 1 и имеют координаты i → = ( 1 ; 0 ; 0 ) , j → = ( 0 ; 1 ; 0 ) , k → = ( 0 ; 0 ; 1 ) , координаты нулевого вектора также равны нулю 0 → = ( 0 ; 0 ; 0 ) , и в таком случае два вектора будут считаться равными, если все три соответствующие координаты векторов между собой равны a → = b → ⇔ a x = b x , a y = b y , a z = b z , и координаты противоположного вектора a → противоположны соответствующим координатам вектора a → , то есть, — a → = ( — a x ; — a y ; — a z ) .

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Координаты радиус-вектора точки

Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.

Пусть нам дана некоторая прямоугольная декартова система координат O x y и на ней задана произвольная точка M с координатами M ( x M ; y M ) .

Вектор O M → называется радиус-вектором точки M .

Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки

Вектор O M → имеет вид суммы O M → = O M x → + O M y → = x M · i → + y M · j → , где точки M x и M y это проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (данные рассуждения следуют из определения проекция точки на прямую), а i → и j → — координатные векторы, следовательно, вектор O M → имеет координаты ( x M ; y M ) в данной системе координат.

Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.

Какие векторы называют координатными

Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки M ( x M ; y M ; z M ) разлагается по координатным векторам как O M → = O M x → + O M y → + O M z → = x M · i → + y M · j → + z M · k → , следовательно, O M → = ( x M ; y M ; z M ) .

Видео:ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)Скачать

ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)

Геометрия для новичков. Часть 1: координаты и векторы — теория

Внимание! Этот документ ещё не опубликован.

Видео:Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси.  9 класс.

О чем данная статья

В данной статье дается теоретическое описание векторов, координат векторов и операций над ними.

Видео:Коллинеарность векторовСкачать

Коллинеарность векторов

На кого рассчитана статья

Прежде чем читать эту статью, нужно знать:

  • что такое прямоугольная система координат и координаты точки на плоскости
  • что такое теорема Пифагора

Видео:Урок 9. Проекции вектора на координатные осиСкачать

Урок 9. Проекции вектора на координатные оси

Введение

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Зачем нужны координаты точек в играх

В любой игре положение игрового объекта задается координатами какой-либо точки, привязанной к этому объекту, т.е. эта точка перемещается вместе с объектом. Например, мы можем задать координаты объектов в «Супер Марио» следующим образом:

Какие векторы называют координатными

На этом рисунке крупные черные точки — это точки, привязанные к игровым объектам. Координаты этих точек мы и будем считать координатами игровых объектов.
Итак, на этом рисунке:

  • координаты Марио равны (-0.5, -2)
  • координаты улитки равны (3, -2)
  • координаты кубика равны (4, 1)

Видео:Построение проекции вектора на осьСкачать

Построение проекции вектора на ось

Пример координат вектора

Какие векторы называют координатными

Я намеренно не написал конкретные значения для координат точек – пусть они будут произвольными.

Зададим себе вопрос «Как нужно изменить начальные координаты Марио, что получить конечные?» Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно найти пару чисел (x, y), таких, чтобы:

Ax + x = Bx
Ay + y = By

Решая эти 2 уравнения, получаем:

x = Bx — Ax
y = By — Ay

Пара (x, y) в нашей задаче является координатами вектора перемещения Марио. Но это — лишь конкретный пример координат вектора. Что такое вектор и что такое его координаты в общем случае? Сейчас узнаем.

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Векторы

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Что такое направленный отрезок

Какие векторы называют координатными

Стрелка показывает, что А – начало отрезка, а B – конец.

Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

Что такое вектор

Какие векторы называют координатными

Что у этих отрезков общего? Хм, пожалуй 2 вещи:

  • Направление
  • Длина

Так вот, вектор – это как раз и есть совокупность направления и длины.
Направленный отрезок – не вектор, который мы изучаем в геометрии. Направленный отрезок задает, или как еще говорят, представляет вектор. Но это — не вектор.
В нашем примере направленный отрезок Какие векторы называют координатнымипредставляет вектор Какие векторы называют координатными. Разницу в черточках наверху заметили? Еще часто вектор обозначают 1 буквой, например: Какие векторы называют координатными

Примечание: о тонкостях приведенного мной определения — в конце статьи.

Видео:Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

Равенство векторов

Если задуматься, все направленные отрезки одинаковой длины, которые лежат на параллельных прямых и указывают в одну сторону, имеют одинаковое направление и длину. Следовательно, все эти направленные отрезки представляют один и тот же вектор. Из этого следует определение равенства 2 векторов:

Два вектора Какие векторы называют координатнымии Какие векторы называют координатными, представленные направленными отрезками Какие векторы называют координатнымии Какие векторы называют координатныминазываются равными, если:

  • Какие векторы называют координатнымии Какие векторы называют координатнымилежат на параллельных прямых
  • Какие векторы называют координатнымии Какие векторы называют координатныминаправлены в одну сторону
  • Какие векторы называют координатнымии Какие векторы называют координатнымиимеют одинаковую длину

Из данного определения следует, что при параллельном переносе произвольный направленный отрезок продолжает представлять тот же вектор, что он представлял до переноса. Это свойство активно используется для операций над векторами.

Видео:Разложение вектора по координатным осям. Единичный и координатные векторы. Геометрия 8-9 классСкачать

Разложение вектора по координатным осям. Единичный и координатные векторы. Геометрия 8-9 класс

Длина вектора

Видео:Вектора с равными координатамиСкачать

Вектора с равными координатами

Коллинеарные векторы

Какие векторы называют координатными

На рисунке любая пара из векторов Какие векторы называют координатными, Какие векторы называют координатными, Какие векторы называют координатнымиявляется коллинеарными векторами

Если отрезки, представляющие коллинеарные векторы, имеют одинаковое направления, то векторы называют сонаправленными:

Какие векторы называют координатными

Пишут: Какие векторы называют координатнымиКакие векторы называют координатнымиКакие векторы называют координатными
Если отрезки, представляющие коллинеарные векторы, имеют противоположное направления, то векторы, представленные данными отрезками, называют противоположно направленными:

Какие векторы называют координатными

Пишут: Какие векторы называют координатнымиКакие векторы называют координатнымиКакие векторы называют координатными

Видео:9 класс, 3 урок, Связь между координатами вектора и координатами его начала и концаСкачать

9 класс, 3 урок, Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

Нулевой вектор

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№8 - Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№8 - Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.)

Единичные векторы

Какие векторы называют координатными=1

Видео:Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?

Обратный вектор

Какие векторы называют координатными

Видео:Коллинеарные векторы.Скачать

Коллинеарные векторы.

Арифметические операции над векторами

  1. Вектор можно умножать на число. Вектор Какие векторы называют координатными, умноженный на число, записывается как k*Какие векторы называют координатными. Вектор будет сонаправлен (противоположно направлен) с вектором Какие векторы называют координатными, если k — положительное (отрицательное) число. Вектор k* Какие векторы называют координатнымибудет иметь длину |k|*|Какие векторы называют координатными|:

|k*Какие векторы называют координатными| = |k|*|Какие векторы называют координатными|
k* Какие векторы называют координатными Какие векторы называют координатнымиКакие векторы называют координатными, если k>0
k* Какие векторы называют координатными Какие векторы называют координатнымиКакие векторы называют координатными, если k 0, такое, что:
|k * Какие векторы называют координатными|=1

Т.е. в результате нормализации мы получаем единичный вектор, сонаправленный с исходным вектором Какие векторы называют координатными
Важно: нулевой вектор НЕЛЬЗЯ нормализовать, так как для любого числа k:

|k*Какие векторы называют координатными| = |k|*|Какие векторы называют координатными| = k * 0 = 0

Итак, как же найти это число k?
Распишем |k * Какие векторы называют координатными| по определению:

|k * Какие векторы называют координатными| = |k| * |Какие векторы называют координатными| = k * |Какие векторы называют координатными| = 1

Здесь мы убрали с k знак модуля, так как по определению k > 0.
Итак:

k * |Какие векторы называют координатными| = 1

Из этого следует, что:

k = 1 / |Какие векторы называют координатными|

Т.е. чтобы нормализовать произвольный ненулевой вектор, нам нужно разделить вектор на его длину.

Координаты вектора

Вроде бы из примера, приведенного в начале статьи, все понятно: координаты вектора — разность координат конца и начала направленного отрезка, представляющего вектор.

Но это не так. Действительно, значения координат вектора численно равны этой разности. Но определение координат вектора в корне отличается от определения координат точки.

Разложение вектора по 2 неколлинеарным векторам

В геометрии доказывается следующий факт.

Ecли мы возьмем 2 неколлинеарных вектора Какие векторы называют координатнымии Какие векторы называют координатными,
то для каждого вектора Какие векторы называют координатнымиможно подобрать 2 числа k и s, для которых выполняется равенство:

Какие векторы называют координатными= k* Какие векторы называют координатными+ s*Какие векторы называют координатными

Теперь возьмем в качестве таких неколлинеарных векторов Какие векторы называют координатнымии Какие векторы называют координатнымиследующие векторы:

  • вектор Какие векторы называют координатными– направление – вдоль оси Ox, длина равна 1
  • вектор Какие векторы называют координатными– направление – вдоль оси Oy, длина равна 1

Какие векторы называют координатными

Векторы Какие векторы называют координатнымии Какие векторы называют координатныминазывают координатными векторами.

Определение координат вектора

Какие векторы называют координатными= x* Какие векторы называют координатными+ y*Какие векторы называют координатными

то пара чисел (x, y) будет называться координатами вектора Какие векторы называют координатными.
Часто пишут:

Какие векторы называют координатными= (x, y)

Эта запись означает, что вектор Какие векторы называют координатнымиимеет координаты x и y.

Арифметические операции над координатами векторов

Какие векторы называют координатными= (-ax, -ay)

Координаты вектора, умноженного на число, равны координатам исходного вектора, умноженными на это число:

k* Какие векторы называют координатными= (k*ax, k*ay)

Пусть у нас есть 2 произвольных вектора Какие векторы называют координатными=(ax, ay) и Какие векторы называют координатными=(bx, by). Тогда:

  1. кoординаты суммы 2 векторов равны сумме x- и y-координат векторов:
    Какие векторы называют координатными+ Какие векторы называют координатными= (ax + bx, ay + by)
  2. как следствие из предыдущих свойств, координаты разности 2 векторов равны разности координат этих векторов:
    Какие векторы называют координатнымиКакие векторы называют координатными= (ax — bx, ay — by)

Т.е. арифметика для координат векторов – такая же, как и для обычных чисел, только все считается покоординатно.

Радиус-вектор

Какие векторы называют координатными

Можно доказать, что численные значения координат точки совпадают со значения координат ее радиус-вектора. Здесь примем это как факт:
Какие векторы называют координатными=(Ax, Ay)
где (Ax, Ay) — координаты точки A

Связь между координатами вектора и координатами концов отрезка

если Какие векторы называют координатными– направленный отрезок, представляющий вектор Какие векторы называют координатными, то значения координат вектора Какие векторы называют координатными(x, y) вычисляются по формуле:

(x, y) = (Bx — Ax, By — Ay)

где (Ax, Ay), (Bx, By) — координаты точек А и B соответственно.

Докажем это.
Мы можем записать простое равенство для произвольного вектора Какие векторы называют координатными:

Какие векторы называют координатными= Какие векторы называют координатнымиКакие векторы называют координатными

Какие векторы называют координатными

Заметим, что Какие векторы называют координатнымии Какие векторы называют координатными— радиус векторы.
Из равенства значений координат точки и радиус-вектора и предыдущей формулы следует, что:

(x, y) = (Bx — Ax, By — Ay)

Нахождение длины вектора по его координатам

Пусть у нас есть вектор Какие векторы называют координатными, представленный отрезком Какие векторы называют координатными. Координаты вектора Какие векторы называют координатнымиравны (x, y).
Чтобы найти длину вектора Какие векторы называют координатнымичерез его координаты, воспользуемся теоремой Пифагора и равенством:

Какие векторы называют координатными= Какие векторы называют координатными+ Какие векторы называют координатными

Какие векторы называют координатными

По теореме Пифагора:

Какие векторы называют координатными

AC = |Какие векторы называют координатными| = |x|,
СB = |Какие векторы называют координатными| = |y|

то в итоге получаем равенство:

Какие векторы называют координатными

Заключение

Применению векторов в реальных задачах игровой разработки будет посвящена следующая моя статья. В ней практически не будет математики и будет много программирования.

Здесь же я описал то, что будет необходимо для понимания практических приемов использования векторов.
Если не иметь представления, как связаны координаты точек и координаты векторов, очень сложно понять, как работают алгоритмы определения расстояний от точки до геометрической фигуры, алгоритмы обнаружения столкновений и т.д.

Так что не жалейте, если вы (о ужас!) кое-что запомнили из «всей этой математики». Все это вам пригодится очень скоро, обещаю.

Литература

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. «Геометрия», 7-9 классы»
Главы: «Векторы», «Метод координат».

PS: корректность определения вектора в статье

Вся хитрость в том, что существует несколько определений вектора даже в рамках геометрии.

Направленный отрезок – тоже вектор, так называемый фиксированный вектор. Но нужно учитывать один важный факт – 2 фиксированных вектора равны тогда и только тогда, когда их концы и начала совпадают. А это не то определение равенства 2 векторов, что дает учебник геометрии.

Определение вектора, данное в этой статье – определение так называемого свободного вектора.
Каждый свободный вектор – это множество фиксированных векторов, которые имеют равную длину и одинаковое направление.

Именно это определение учебник геометрии и пытается дать в неявном виде, когда вводит понятие равенства векторов. Но здесь возникает нестыковка – учебник объясняет, как работать со свободными векторами, изначально дав определение фиксированного вектора.

Надеюсь, вышесказанное объясняет, почему я привел в данной статье «свое» определение вектора.

Знакомимся с вектором

Основы линейной алгебры для тех, кого это миновало в универе.

Вы наверняка слышали много историй о программистах, которые учились в технических вузах, изучали высшую математику и теперь пользуются этими знаниями в программировании. И если кого-то это не коснулось, может быть ощущение, что он пропустил в жизни что-то важное.

Будем это исправлять. Попробуем разобрать некоторые базовые понятия из математики за пределами школьной программы. И заодно покажем, как оно связано с программированием и для каких задач полезно.

⚠️ Математики, помогайте. Мы тут многое упростили, поэтому будем рады увидеть ваши уточнения и замечания в комментариях.

Линейная алгебра

Есть математика: она изучает абстрактные объекты и их взаимосвязи. Благодаря математике мы знаем, что если сложить два объекта с ещё двумя такими же объектами, то получится четыре объекта. И неважно, что это были за объекты: яблоки, козы или ракеты. Математика берёт наш вещественный мир и изучает его более абстрактные свойства.

Внутри математики есть алгебра: если совсем примитивно, то в алгебре мы вместо чисел начинаем подставлять буквы и изучать ещё более абстрактные свойства объектов.

Например, мы знаем, что если a + b = c , то a = c − b . Мы не знаем, что стоит на местах a, b или c, но для нас это такой абстрактный закон, который подтверждается практикой.

Внутри алгебры есть линейная алгебра — она изучает векторы, векторные пространства и другие абстрактные понятия, которые в целом относятся к некой упорядоченной информации. Например, координаты ракеты в космосе, биржевые котировки, расположение пикселей в изображении — всё это примеры упорядоченной информации, которую можно описывать векторами. И вот их изучает линейная алгебра.

В программировании линейная алгебра нужна в дата-сайенс, где из упорядоченной информации создаются алгоритмы машинного обучения.

Если представить линейную алгебру в виде дома, то вектор — это кирпич, из которого всё состоит. Сегодня разберёмся, что такое вектор и как его понимать.

Что такое вектор

Вы наверняка помните вектор из школьной программы — это такая стрелочка. Она направлена в пространство и измеряется двумя параметрами: длиной и направлением. Пока длина и направление не меняются, вектор может перемещаться в пространстве.

Какие векторы называют координатнымиФизическое представление вектора: есть длина, направление и нет начальной точки отсчёта. Такой вектор можно как угодно двигать в пространстве

У аналитиков вектор представляется в виде упорядоченного списка чисел: это может быть любая информация, которую можно измерить и последовательно записать. Для примера возьмём рынок недвижимости, который нужно проанализировать по площади и цене домов — получаем вектор, где первая цифра отвечает за площадь, а вторая — за цену. Аналогично можно сортировать любые данные.

Какие векторы называют координатнымиАналитическое представление вектора: данные можно перевести в числа

Математики обобщают оба подхода и считают вектор одновременно стрелкой и числом — это связанные понятия, перетекающие друг в друга в зависимости от задачи. В одних случаях удобней считать, а в других — показать всё графически. В обоих случаях перед нами вектор.

Какие векторы называют координатнымиМатематическое представление вектора: данные можно перевести в числа или график

В дата-сайенс используется математическое представление вектора — программист может обработать данные и визуализировать результат. В отличие от физического представления, стрелки векторов в математике привязаны к системе координат Х и У — они не блуждают в пространстве, а исходят из нулевой точки.

Какие векторы называют координатнымиВекторная система координат с базовыми осями Х и Y. Место их пересечения — начало координат и корень любого вектора. Засечки на осях — это отрезки одной длины, которые мы будем использовать для определения векторных координат

👉 Получается, вектор – это такой способ записывать, хранить и обрабатывать не одно число, а какое-то организованное множество чисел. Благодаря векторам мы можем представить это множество как единый объект и изучать его взаимодействие с другими объектами.

Например, можно взять много векторов с ценами на недвижимость, как-то их проанализировать, усреднить и обучить на них алгоритм. Без векторов это были бы просто «рассыпанные» данные, а с векторами — порядок.

Как записывать

Вектор можно записать в строку или в столбец. Для строчной записи вектор обозначают одной буквой, ставят над ней черту, открывают круглые скобки и через запятую записывают координаты вектора. Для записи в столбец координаты вектора нужно взять в круглые или квадратные скобки — допустим любой вариант.

Строгий порядок записи делает так, что каждый набор чисел создаёт только один вектор, а каждый вектор ассоциируется только с одним набором чисел. Это значит, что если у нас есть координаты вектора, то мы их не сможем перепутать.

Какие векторы называют координатнымиСпособы записи вектора

Скаляр

Помимо понятия вектора есть понятие скаляра. Скаляр — это просто одно число. Можно сказать, что скаляр — это вектор, который состоит из одной координаты.

Помните физику? Есть скалярные величины и есть векторные. Скалярные как бы описывают просто состояние, например, температуру. Векторные величины ещё и описывают направление.

Как изображать

Вектор из одного числа (скаляр) отображается в виде точки на числовой прямой.

Какие векторы называют координатнымиГрафическое представление скаляра. Записывается в круглых скобках

Вектор из двух чисел отображается в виде точки на плоскости осей Х и Y. Числа задают координаты вектора в пространстве — это такая инструкция, по которой нужно перемещаться от хвоста к стрелке вектора. Первое число показывает расстояние, которое нужно пройти вдоль оси Х; второе — расстояние по оси Y. Положительные числа на оси Х обозначают движение вправо; отрицательные — влево. Положительные числа на оси Y — идём вверх; отрицательные — вниз.

Представим вектор с числами −5 и 4. Для поиска нужной точки нам необходимо пройти влево пять шагов по оси Х, а затем подняться на четыре этажа по оси Y.

Какие векторы называют координатнымиГрафическое представление числового вектора в двух измерениях

Вектор из трёх чисел отображается в виде точки на плоскости осей Х, Y и Z. Ось Z проводится перпендикулярно осям Х и У — это трёхмерное измерение, где вектор с упорядоченным триплетом чисел: первые два числа указывают на движение по осям Х и У, третье — куда нужно двигаться вдоль оси Z. Каждый триплет создаёт уникальный вектор в пространстве, а у каждого вектора есть только один триплет.

Если вектор состоит из четырёх и более чисел, то в теории он строится по похожему принципу: вы берёте координаты, строите N-мерное пространство и находите нужную точку. Это сложно представить и для обучения не понадобится.

Какие векторы называют координатнымиГрафическое представление числового вектора в трёх измерениях. Для примера мы взяли координаты −5, 2, 4

Помните, что все эти записи и изображения с точки зрения алгебры не имеют отношения к нашему реальному трёхмерному пространству. Вектор — это просто какое-то количество абстрактных чисел, собранных в строгом порядке. Вектору неважно, сколько там чисел и как их изображают люди. Мы же их изображаем просто для наглядности и удобства.

Например, в векторе спокойно может быть 99 координат. Для его изображения нам понадобилось бы 99 измерений, что очень проблематично на бумаге. Но с точки зрения вектора это не проблема: перемножать и складывать векторы из двух координат можно так же, как и векторы из 9999999 координат, принципы те же.

И зачем нам это всё

Вектор — это «кирпичик», из которого строится дата-сайенс и машинное обучение. Например:

  • На основании векторов получаются матрицы. Если вектор — это как бы линия, то матрица — это как бы плоскость или таблица.
  • Машинное обучение в своей основе — это перемножение матриц. У тебя есть матрица с данными, которые машина знает сейчас; и тебе нужно эту матрицу «дообучить». Ты умножаешь существующую матрицу на какую-то другую матрицу и получаешь новую матрицу. Делаешь так много раз по определённым законам, и у тебя обученная модель, которую на бытовом языке называют искусственным интеллектом.

Кроме того, векторы используются в компьютерной графике, работе со звуком, инженерном и просто любом вычислительном софте.

И давайте помнить, что вектор — это не какая-то сложная абстрактная штука, а просто сумка, в которой лежат числа в определённом порядке. То, что мы называем это вектором, — просто нюанс терминологии.

Что дальше

В следующий раз разберём операции с векторами. Пока мы готовим материал — рекомендуем почитать интервью с Анастасией Никулиной. Анастасия ведёт ютуб-канал по дата-сайнс и работает сеньором дата-сайентистом в Росбанке.

Поделиться или сохранить к себе: