Как вывести элемент вектора в маткаде (7 видео)

Векторы и матрицы в MathСad

Вы уже наверняка не раз сталкивались с такими понятиями как векторы и матрицы. Вектор – это обыкновенный столбец с числами. Матрица представляет собой сборный блок с объектами. Именно на работе с этими элементами построен принцип функционирования программы Excel. В этом уроке мы расскажем о том, как работать с такими вычислениями в программе Маткад и акцентируем внимание на том, почему процесс работы в данном ПО куда проще и удобнее.

Мы уже рассказывали в своих уроках о том, что все наши векторы начинались с элемента с нулевым значением. Сейчас же мы поставим номером первого элемента цифру один, ведь так нам гораздо проще будет сориентироваться в учебном материале.

Данное значение можно внести прямо в рабочее поле.

Посмотрите на матрицы на рисунке ниже.

Как вы можете заметить, в них входят и числа, и функции. Помимо этого, сюда можно внести и текст. Чтобы вывести элемент матрицы, воспользуйтесь подстрочным индексом.

Матрицы, описанные на скрине повыше, относятся к квадратному типу. Тем не менее, пользователь может самостоятельно устанавливать их размерные рамки.

Примите во внимание, что первое число обозначает общую нумерацию строчки, а второе – номер столбика.

Для векторного столбца второй индекс можно удалить. Для строки же он является обязательным.

Нужные команды, для всевозможного выделения строчек или столбиков вы всегда сможете отыскать во вкладке «Математика».

Большинство операций для векторных и матричных конструкций вполне соответствуют работе со стандартными числами и функциями. Для того, чтобы отыскать обратную матрицу, потребуется действовать по аналогии с операциями деления. Пользователь может записать операторы, задав им наименования матриц и векторов. Например, это может выглядеть так:

Более подробно мы рассмотрим данный опционал немного погодя. Стоит отметить, что такая функция нуждается в девяти операциях умножения и в таком же количестве деления. Согласитесь, что расписывать все эти процессы достаточно скучно. К тому же, с большими матрицами такой подход нерациональный.

Методика применения векторов отличается значительным разнообразием. Чтобы разработать вектор или матрицу, понадобится открыть вкладку «Вставить матрицу». На экране появится сетка с изображением маленьких квадратиков.

Перемещаем указатель на эту сетку. Настраиваем курсор на нужные габариты матрицы. Кликаем дважды ЛКМ.

На экране появляется новая матрица.

Матрица может быть переименована, после того, как пользователь дважды кликнет по левой скобке.

Чтобы быстро вставить или удалить строчки да столбцы, можно вызвать контекстное меню «Операторы с векторамиматрицами» на одноименной вкладке.

Содержание

Работа с матрицами
Добавление и вычитание
Векторы и матрицы в MathCAD
Отображение вывода векторов и матриц MathCAD
💡 Видео

Работа с матрицами

Эффекты от матриц или вектором гораздо проще сообразить, пользуясь специально разработанными символами. Обратите внимание на скрин ниже.

Оператор транспортировки вызывается посредством выполнения операции Математика –> Операторы –> Векторы и матрицы:

Кликаем по правой стороне матрицы и применяем оператор. Он подходит как для символьных, так и численных матриц.

Операции в векторах часто выполняются по одному элементу. В этой ситуации можно воспользоваться очень удобным оператором, который отвечает за разработку вектора. Чтобы перемножить два вектора, понадобится выполнить простой пример.

Теперь нам нужно выбрать нужные параметры и активировать векторизацию.

Вычисляем заданные параметры и смотрим на результат. Первый элемент приумножился на второй, и так далее.

Еще примеры таких опций.

Операции поэлементного типа могут применяться исключительно к массивам одинакового размера.

Добавление и вычитание

Данные операции относятся к поэлементному типу.

Она также применяется к массивам одинакового размерного типа.

Пользуясь оператором, предназначенным для суммирования, можно отыскать сумму всех векторных частей.

Скалярное произведение работает по представленному ниже принципу.

При таком типе умножения матриц, программа занимается умножением данных элементов по столбцам. Данная операция может применяться исключительно к тем матрицам, которые характеризуются равным количеством строчек и столбцов.

Обратите внимание, что немалая роль отводится поочередности множителей.

Только в редких случаях скалярное произведение может стать коммутативным.

Скаляр двух векторов показывает результат как на фотографии ниже.

Данная опция может использоваться исключительно для двух векторных столбов из трех элементов.

Векторное произведение часто используется для механики, гидродинамики и огромного количества подобных сфер деятельности.

Обратная матрица может быть применима для квадратных матриц:

В результате у нас получится матрица единичного типа

Если произвести матрицу и единичную матрицу, мы получим первоначальный вариант.

Определитель может быть разработан исключительно для матрицы квадратного типа. Он может быть нулевым в любых условиях. Обратная матрица имеет в своей структуре дроби, в состав которых входит определитель.

В ситуациях, когда определитель установлен на ноль, к нему нереально подобрать обратную матрицу. Сама матрица автоматически становится сингулярной. О таких изменениях пользователь узнает из оповещения программы.

В ситуациях со скалярами, определитель соответствует их модулям

Команда «определитель» помогает отыскать длину вектора .

Уважаемые пользователи, хотим Вас проинформировать о том, что некоторые антивирусные программы и браузеры ложно срабатывают на дистрибутив программы MediaGet, считая его зараженным. Данный софт не содержит никаких вредоносных программ и вирусов и многие из антивирусов просто Вас предупреждают, что это загрузчик (Downloader). Если хотите избежать подобных проблем, просто добавьте MediaGet в список доверенных программ Вашей антивирусной программы или браузера.

Выбрав нужную версию программы и кликнув ссылку, Вам на компьютер скачивается дистрибутив приложения MediaGet, который будет находиться в папке «Загрузки» для Вашего браузера. Находим этот файл с именем программы и запускаем его. И видим первый этап установки. Нажимаем унопку «Далее»

Далее Вам предлагается прочитать и одобрить лицензионное соглашение. Нажимаем кнопку «Принимаю»

В следующем окне Вам предлагается бесплатное полезное дополнительное программоное обеспечение, будь то антивирус или бразуер. Нажимаем кнопку «Принимаю». Также Вы можете отказаться от установки дополнительного ПО, нажав кнопку «Отклоняю»

Далее происходит процесс установки программы. Вам нужно выбрать папку, в которую будут скачиваться нужные Вам файлы.

Происходит завершение установки. Программа автоматически открывается и скачивает нужные Вам исходные файлы.

Обратите внимание, что предоставляемое программное обеспечение выкладывается исключительно для личного использования и ознакомления. Все файлы, доступные для скачивания, не содержат вирусов и вредоносных программ.

Видео:Функции для работы с матрицами и векторами в MathCAD 14 (21/34)Скачать

Векторы и матрицы в MathCAD

Нижняя граница индексации в MathCAD определена системной переменной ORIGIN. По умолчанию ORIGIN=0. Значение переменной можно переопределить. Например, ORIGIN=1.

Векторы и матрицы в MathCAD можно задавать путем ввода их элементов. Для ввода индекса элемента массива используется символ – [.

Поэлементный ввод массива Х

Вводимые символы	Отображаемые символы
X [ 1 Shift+: 5	X₁:=5
X [ 2 Shift+: 8	X₂:= 8
X [ 3 Shift+: 10	X₃:= 10

Поэлементный ввод матрицы А

Вводимые символы	Отображаемые символы
A [ 1,1 Shift+: 0.1	A₁₁ := 0.1
A [ 1,2 Shift+: -2.5	A₁₂ := -2.5
A [ 2,1 Shift+: -1.0	A₂₁ := -1.0
A [ 2,2 Shift+: 5.2	A₂₂ := 5.2

Для операций с матрицами и векторами предназначена панель Matrix, которая открывается щелчком по кнопке в панели математических инструментов.

ПанельMatrix содержит следующие кнопки:

– определение размеров матрицы;

– ввод элемента массива ;

– вычисление матрицы, обратной к данной ;

– вычисление определителя матрицы ;

– оператор векторизации (поэлементные операции с векторами и матрицами) ;

– определение столбца матрицы ;

– транспонирование матрицы ;

– определение ранжированной переменной;

– вычисление скалярного произведения векторов;

– вычисление векторного произведения векторов;

– вычисление суммы компонент вектора.

– визуализация цифровой информации.

Действия, которые необходимо выполнить, чтобы ввести матрицу в рабочий документ при помощи кнопки панели Matrix:

1. Ввести с клавиатуры имя матрицы и знак присваивания;

2. Щелчком по кнопке открыть окно диалога:

3. Определить число строк (Rows) и число столбцов (Columns) будущей матрицы;

4. Закрыть окно диалога, щелкнув по кнопке OK;

5. Ввести элементы матрицы, установив курсор в поле ввода, которое появится справа от знака присваивания:

Функции определения матриц и операции с блоками матриц:

matrix(m,n,f) – создает и заполняет матрицу A=<a_ij> размерности m на n, каждый элемент которой a_ij равен значению функции f(i,j);

diag(v) – создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;

identity(n) – создает единичную матрицу порядка n;

augment(A,B) – из матриц А и В формируется третья матрица, первые столбцыкоторой содержат матрицу А, а последние — матрицу В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число строк);

stack(A,B) – из матриц А и В формируется третья матрица, первые строкикоторой содержат матрицу А, а последние — матрицу В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число столбцов);

submatrix(A,l,k,p,r) – формирует матрицу, которая является блоком матрицы А, расположенным в строках с l по k и в столбцах с p по r (l

Re(A) – возвращает матрицу (вектор) действительных частей матрицы (вектора) А с комплексными элементами;

Im(A) – возвращает матрицу (вектор) мнимых частей матрицы (вектора) А с комплексными элементами;

Функции вычисления различных числовых характеристик матриц:

last(v) – вычисление номера последнего элемента вектора v;

length(v) – вычисление количества элементов вектора v;

rows(A) – вычисление числа строк в матрице А;

cols(A) – вычисление числа столбцов в матрице А;

max(A) – вычисление наибольшего элемента в матрице (векторе) А;

min(A) – вычисление наименьшего элемента в матрице (векторе) А;

mean(A) – вычисление среднего значения матрицы (вектора) А;

tr(A) – вычисление следа (суммы диагональных элементов) квадратной матрицы А;

ranc(A) – вычисление ранга матрицы А;

Функции, реализующие численные алгоритмы:

rref(A) – приведение матрицы А к ступенчатому виду;

geninv(A) – вычисляет матрицу, левую обратную к матрице А, L∙A=E, где Е – единичная матрица размером n×n, L – прямоугольная матрица размером n×m, А – прямоугольная матрица размером m×n;

lsolve(A,b) – решение системы линейных алгебраических уравнений A∙x=b.

lu(A) – выполняет треугольное разложение матрицы А: A=С∙L∙U, где L и U – соответственно нижняя и верхняя треугольные матрицы, все четыре матрицы квадратные и одного порядка;

qr(A) – выполняет разложение матрицы А: A=Q∙R, где Q – ортогональная матрица, а R – верхняя треугольная матрицы;

cholesky(A) – выполняет разложение матрицы А по схеме Холецкого: А=L∙L T , где А — квадратная, симметричная, положительно определенная матрица, L – треугольная матрица;

sort(v) – сортировка элементов вектора v в порядке возрастания их значений;

reverse(v) – перестановка элементов вектора v в обратном порядке;

csort(A,n) – перестановка строк матрицы А таким образом, чтобы отсортированным оказался n-й столбец;

rsort(A,n) – перестановка столбцов матрицы А таким образом, чтобы отсортированной оказалась n-я строка.

ЗАДАЧА 1. Сформировать матрицу H из элементов матрицы D, исключив третий столбец и вторую строку.

ЗАДАЧА 2. Сформировать матрицу H следующим образом. Первая и последняя строки равны строкам матрицы D, остальные совпадают с матрицей C.

ЗАДАЧА 3. Сформировать матрицу таким образом, чтобы элементы на главной диагонали были равны 1, выше главной диагонали – 2, а ниже – 3.

ЗАДАЧА 4. Элементы матрицы формируются по формуле . Сформировать вектор из максимальных элементов столбцов матрицы А. Найти сумму элементов матрицы, расположенных в четных строках.

ЗАДАЧА 5. Выполнить действия над матрицами А, В, С:

ЗАДАЧА 6. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:

Для решения поставленной задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Сформировать матрицу системы А и вектор правых частей b.

2. Вычислить главный определитель ∆.

3. Сформировать вспомогательные матрицы (удобно скопировать матрицу А несколько раз и последовательно заменять в ней столбцы на вектор b) для вычисления определителей ∆_i;

4. Вычислить определители ∆_i;

5. Найти решение системы по формуле x_i=∆_i/∆.

ЗАДАЧА 7. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

1. Сформировать матрицу коэффициентов и вектор свободных членов системы.

2. Решить систему, представив вектор неизвестных как произведение матрицы, обратной к матрице системы и вектора свободных членов.

ЗАДАЧА 8. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Порядок решения задачи:

1. Сформировать матрицу коэффициентов и вектор свободных членов заданной системы.

2. Сформировать расширенную матрицу системы при помощи функции augment(A,b);

3. Используя функцию rref(A), привести расширенную матрицу к ступенчатому виду.

4. Получить решение системы, выделив последний столбец матрицы, полученной в предыдущем пункте.

5. Выполнить проверку Ax-B=0.

ЗАДАЧА 9. Решить систему при помощи функции lsolve:

Пример системы, которая не имеет решений:

Пример системы, которая имеет бесконечное множество решений

ЗАДАЧА 10. Решить систему при помощи решающего блока.

Решающий блок начинается с ключевого слова Given (Дано), которое необходимо ввести с клавиатуры.

Правее и ниже ключевого слова записываются уравнения системы.

Знак равенства в уравнениях вводится при помощи клавиш Ctrl+= или выбирается на панели инструментов Boolean.

Правее и ниже последнего уравнения системы вводится функция Find(x1,x2,…xn) (Найти), в скобках перечисляются имена переменных, значения которых нужно найти.

Численное решение системы можно получить, поставив знак равенства после функции Find(x1,x2,…xn).

Символьное решение получится, если после функции Find(x1,x2,…xn) указать знак стрелки, который находится в панели инструментов Symbolic (Ctrl+.).

Видео:Основные действия с матрицами и векторами в MathCAD 14 (20/34)Скачать

Отображение вывода векторов и матриц MathCAD

Вы, вероятно, обратили внимание, что матрицы, векторы и ранжированные переменные отображались в различных примерах по-разному. Это связано с автоматическими установками отображения матриц, принятыми в Mathcad по умолчанию. Существуют два стиля отображения массива: в форме матрицы и в форме таблицы (рис. 4.16).

Рис. 4.16. Отображение массивов в форме матрицы (слева) и таблицы (справа)

Изменение стиля отображения какого-либо массива выполняется командой Format/ Result (Формат/ Результат), вызывающей диалог Result Format (Формат результата). В этом диалоге следует перейти на вкладку Display Options (Опции отображения) (рис. 4.17) и в списке Matrix display style (Стиль отображения матриц) выбрать один из стилей:

Automatic (Авто) — стиль выбирается Mathcad;
Matrix (Матрица);
Table (Таблица).

Рис. 4.17. Изменение стиля отображения массива

Стиль отображения в виде таблицы допускает различное выравнивание матрицы относительно выражения слева от оператора вывода (рис. 4.18). Для изменения выравнивания вызовите контекстное меню из области таблицы, наведите в нем указатель мыши на пункт Alignment (Выравнивание) и в подменю выберите тип выравнивания.

Рис. 4.18. Различные стили выравнивания матриц

В диалоговом окне Result Format (Формат результата), помимо стиля отображения матрицы, можно задать стиль отображения тензоров (вложенных массивов). Для того чтобы отображать тензоры в стиле, показанном на рис. 4.19, установите флажок Expand nested arrays (Разворачивать вложенные массивы). Чтобы отображать их в свернутой форме (см. листинг 4.19), снимите этот флажок.