Внутри квадрата расположены две окружности (3 видео)

Внутри квадрата расположены две окружности

2021-11-23
В полуокружности расположены две окружности, касающиеся друг друга, полуокружности и её диаметра.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах окружностей и полуокружности равен диаметру полуокружности.
б) Известно, что радиус полуокружности равен 8, а радиус одной из окружностей равен 4. Найдите радиус другой.

а) Пусть $AB$ — диаметр полуокружности, $O$ — её центр, $O_$ — центр окружности радиуса $r$, $C$ — точка её касания с полуокружностью, $O_$ — центр окружности радиуса $R$, $D$ — точка её касания с полуокружностью, $E$ — точка касания окружностей с центрами $O_$ и $O_$.
Точки $O$, $O_$ и $C$ лежат на одной прямой, поэтому $OO_=OC-O_C=OC-r$. Аналогично $OO_=OD-O_D=OD-R$ и $O_O_=O_E+O_E=r+R$. Следовательно, периметр треугольника $OO_O_$ равен

б) Пусть $R=4$, $OC=OD=8$. Тогда диаметр окружности с центром $O_$ равен радиусу полуокружности, значит, $ODperp AB$, а $O$ — точка касания этой окружности с прямой $AB$.
Пусть окружность с центром $O_$ касается $AB$ в точке $P$, $F$ — проекция точки $O_$ на $O_O$. Тогда

Из прямоугольных треугольников $OO_P$ и $O_O_F$ находим, что

а т.к. $O_F=OP$, то $64-16r=16r$. Следовательно, $r=2$.

Содержание

Внутри квадрата расположены две окружности
Планиметрические задачи по математике на ЕГЭ
«Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
Выберите документ из архива для просмотра:
🌟 Видео

Видео:Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

Внутри квадрата расположены две окружности

Окружность с центром O, расположенном внутри прямоугольной трапеции ABCD, проходит через вершины B и C большей боковой стороны этой трапеции и касается боковой стороны AD в точке T.

а) Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BTC.

б) Найдите расстояние от точки T до прямой BC, если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.

а) Угол BTC вписан в окружность, а угол BOC — соответствующий ему центральный угол. Следовательно, ∠BOC = 2∠BTC.

б) Из условия касания окружности и стороны AD следует, что прямые OT и AD перпендикулярны. Пусть окружность вторично пересекает прямую AB в точке L и сторону CD — в точке M. Тогда диаметр окружности, перпендикулярный стороне AB, делит каждую из хорд BL и CM пополам. Обозначим OT = r, тогда

По теореме Пифагора По теореме о касательной и секущей Следовательно,

Аналогично

Из теоремы синусов следует, что BC = 2r · sin&nbsp∠BTC. Пусть h — искомое

расстояние от точки T до прямой BC . Выразим площадь треугольника BTC двумя способами:

Отсюда получаем, что Следовательно,

Заметим, что AL больше радиуса окружности, а DC меньше диаметра, поэтому DC Ответ: 6.

Видео:Взаимное расположение окружностей. 7 класс.Скачать

Планиметрические задачи по математике на ЕГЭ

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Планиметрические задачи С4.doc

Планиметрические задачи на ЕГЭ (С4)

Халиуллин Асхат Адельзянович, Республика Башкортостан, г. Уфа, почетный работник общего образования Российской Федерации, преподаватель математики Башкирского архитектурно-строительного колледжа .

Обучение решению планиметрических задач является одной из важнейших составляющих практики преподавания математики. Задачи используются как материал, способствующий развитию математического мышления, геометрической интуиции, творческой активности учащихся, формированию умения применять теоретические знания на практике.

Однако, как показывает практика обучения и анализ результатов ЕГЭ выпускников, умение решать планиметрические задачи оставляет желать много лучшего. Задачи С4 по планиметрии вызывают у учащихся наибольшее затруднения. Причиной является сложившаяся и ставшая традиционной практика обучения решению задач по планиметрии по образцу.

Обычно, приступая к решению задачи по планиметрии, учитель предлагает выполнить рисунок аккуратно, с четкими обозначениями, выясняет, что известно и что нужно найти. В процессе выполнения рисунка анализируется условие задачи, устанавливается взаимное расположение отдельных элементов геометрической фигуры и взаимосвязь между этими элементами. Выполнение рисунка требует знания свойств геометрических фигур, умения применять эти свойства на практике.

Если в условии задачи оказывается недостаточно данных для решения, тогда возникает вопрос о выполнении дополнительного построения, которое преобразовало бы условие задачи и направило мысль учащихся в нужном направлении.

Также имеется немало задач, процесс решения которых состоит в последовательном уточнении особенностей рассматриваемой конфигурации с соответствующими переделками и изменениями рисунка, так что окончательный вид рисунок принимает лишь одновременно с окончанием решения.

В данной работе предлагается несколько планиметрических задач, детальный анализ которых позволит убедиться в реальной и существенной пользе проделанной работы.

Проиллюстрируем сказанное выше на наиболее интересных элементарно геометрических задачах на взаимное расположение окружностей и на взаимное расположение прямой и окружности, которые могут быть изучены на факультативных или внеурочных занятиях с наиболее успевающими учащимися с большим интересом, поскольку в школьном преподавании окружность и ее дуги интересны учащимся как представители класса кривых линий.

Решение нижерассматриваемых задач, как и большого класса других задач на вычисление сводится к последовательному рассмотрению и решению ряда прямоугольных треугольников, с которыми проще всего иметь дело. Но в рисунках нижерассматриваемых задач их сразу не видно, поэтому учителю необходимо обучать учащихся умению точно и логично мыслить, видеть, чего в рисунке не достает и какие линии надо провести дополнительно, чтобы можно было создать прямоугольные треугольники и с помощью хорошо известной из школьного курса элементарной геометрии теоремы Пифагора составить уравнения, из которых будут найдены искомые величины.

Поскольку здесь мы имеем дело с окружностями и ее дугами, то является очевидным использование следующих утверждений:

если две окружности касаются внешне или внутренне, то точка касания и центры этих окружностей лежат на одной прямой;

расстояние между центрами двух внешне касающихся окружностей равно сумме радиусов этих окружностей, а расстояние между центрами двух внутренне касающихся окружностей равно разности радиусов большей и меньшей окружностей;

касательная к окружности или ее дуге перпендикулярна к радиусу окружности или ее дуги, проведенному в точку касания.

В процессе решения нижерассматриваемых задач придется много вычислять, что способствует более высокому развитию у учащихся определенных вычислительных навыков. Из всего вышесказанного ясно, что эти задачи окажут учащимся двоякую пользу: во-первых, они получат возможность более глубже понять и прочнее усвоить тему «Окружность», во-вторых, эти задачи разовьют у учащихся умение быстро и безошибочно выполнять различные алгебраические действия.

Задача 1. В квадрате АВСD, сторона которого равна а, из точки А как из центра проведена внутри квадрата дуга через вершины В и D. На стороне DС как на диаметре построена внутри квадрата полуокружность. Найти радиус окружности, касающейся проведенной дуги, полуокружности и одной из сторон квадрата.

Решение.

Поскольку в условии данной задачи конкретно не указано, какой же, именно, сторон квадрата касается искомая окружность, то мы должны рассмотреть три случая, схематически изображенные на рисунке 1(а,б,в).

I.Рассмотрим сначала случай, когда искомая

окружность касается стороне АВ квадрата АВСD (Рис. 1, а). Обозначим радиус этой окружности через х.

Соединим центр окружности О с центром

полуокружности О₁ и с центром дуги А, опустим из центра окружности О перпендикуляры ОМ и О N на противоположные стороны АВ и СD и рассмотрим полученные при этом построении прямоугольные треугольники.

Из прямоугольного треугольника АМО

следует, что неизвестный катет АМ равен

, то есть АМ = или АМ = .

Теперь рассмотрим треугольник ОО₁ N , в котором гипотенуза

OO ₁ = OK ₁ + K ₁ O ₁ = , катет О N = М N – ОМ = а – х и катет О ₁ N = DN – D О ₁ ,

где DN = АМ = _и D О ₁ = поэтому О ₁ N = .

откуда получаем искомый радиус х = OK = .

II. Пусть теперь искомая окружность касается стороне ВС (Рис. 1, б). Обозначим радиус этой окружности через у . Сделаем необходимые дополнительные построения и получаем прямоугольные треугольники АОМ и О₁О N . Из прямоугольного треугольника АОМ по теореме Пифагора найдем катет ОМ.

Он равен ОМ = . Аналогично найдем из прямоугольного треугольника О ₁ О N катет О N = . Подставляя найденные значения величин ОМ и О N в соотношение ВС = ОМ + О N , получаем а = + . Решая это уравнение, находим y = OK = .

II. Искомая окружность касается стороне DC (Рис.1, в).Обозначим радиус этой окружности через z. Опустим из центра О искомой окружности перпендикуляры ОМ и О N соответственно на стороны АВ и CD квадрата АВСD и соединим центр О с центром полуокружности О₁ и с вершиной А квадрата АВСD . Из полученного при этом построении прямоугольного треугольника

ОО ₁ N по теореме Пифагора имеем О ₁ N = . Следовательно, катет АМ прямоугольного треугольника АМО равен

откуда и находится искомый радиус z = OK = .

Задача 2. Дан круговой сектор АОВ радиуса R с центральным углом в 90 ○ . На радиусах АО и ОВ этого сектора как на диаметрах построены полуокружности, расположенные внутри данного сектора. Полуокружность с центром О₁на радиусе ОВ сектора АОВ, радиуса О₁В касается полуокружности, построенной на радиусе АО, и дуги АВ в точке В. Определить радиус окружности, касающейся этих трех полуокружностей.

а) Рис.2 б)

О ₁ О ₂ 2 = О ₁ О 2 + О ₂ О 2 или, так как О ₁ О ₂ = О ₂ К+ О ₁ К = О ₁ В ,

О ₁ О = ОВ — О ₁ В = R — О ₁ В и О ₂ О = , отсюда получаем

Следовательно, высота

Теперь мы должны определить стороны прямоугольного треугольника О ₂ О ₄ М . Гипотенуза О ₂ О ₄ = О ₂ К ₂ + К ₂ О ₄ = , катет

О ₂ М = ОО ₂ — ОМ = и катет О ₄ М = .

откуда

адача 3. На отрезке АВ, равном R , точка Q – середина; на АQ и на ВQ как на диаметрах по одну сторону от АВ построены полуокружности. С центрами в точках А и В радиусами, равными АВ, проведены дуги до их взаимного пересечения в точке F , находящиеся по ту же сторону от АВ, что и полуокружности. Проведена окружность, которая касается проведенных дуг и полуокружностей. Найти радиус окружности, касающейся окружности, полуокружности, построенной на отрезке ВQ, и дуги В F .

О ₁ О ₂ = О ₁ К ₄ + К ₄ О ₂ =

Поэтому o ткуда

и высота .

Для окончательного решения задачи осталось определить стороны прямоугольного треугольника OPO₂ и подставить в уравнение

катет

Отсюда получаем

После необходимых преобразований находим искомый радиус

Подводя итог, заметим, что ознакомление с предложенными задачами способствует дальнейшему совершенствованию навыков построения и чтения геометрических рисунков, расширению математического кругозора учащихся и поможет им самостоятельно найти решения ряда других, более сложных задач.

Сделаем ещё одно существенное замечание: рассмотрев решение одной – двух задач, изложенное выше, необходимо попытаться решить следующую задачу самостоятельно. Если это не получится, то разобравшись в решении этой задачи, сделать попытку на последующей. Эти попытки не только нужны, но и необходимы, ибо без практики, без тренировки в решении этих задач невозможно научиться решать аналогичные им задачи. Поэтому в заключение работы приведем достаточное количество задач, которых можно предложить для самостоятельного решения ученикам, проявляющим особый интерес к математике.

Задача 1. В квадрате АВСD из точки А как из центра проведена внутри квадрата дуга, проходящая через вершины В и D. На сторонах ВС и СD как на диаметрах построены внутри квадрата полуокружности. Найти радиус окружности, касающейся построенных полуокружностей и дуги ВD, если стороны квадрата равны а.

Ответ. Надо рассмотреть отдельно три случая:

Задача 2. Окружность вписана в квадрат со стороной 1.

Из одной его вершины проведена дуга окружности радиуса 1 до пересечения с другими двумя противоположными вершинами. Проведена окружность, которая касается вписанной окружности и проведенной дуги. Найти радиус окружности, касающейся этой окружности, вписанной окружности и дуги.

Ответ. Два случая:

Задача 3 . Около окружности описан квадрат со стороной а. На двух смежных сторонах этого квадрата построены полуокружности, расположенные внутри квадрата. Найти радиус окружности, касающейся этих двух полуокружностей и окружности.

твет. Четыре случая:

Задача 4. Две окружности радиусов a и b ( a b ) имеют внутреннее касание. Внутри большей окружности проведена касательная к меньшей окружности, перпендикулярная к общему диаметру этих окружностей. Доказать, что отношение радиуса окружности S ₁, касающейся двух данных окружностей

проведенной касательной, к радиусу окружности S ₂, касающейся большей окружности, проведенной каса-

тельной и общего диаметра двух данных окружностей,

равно
Задача 5 . Внутри квадрата со стороной a на двух его смежных сторонах как на диаметрах построены полуокружности. Найти радиус окружности, касающейся этих двух построенных полуокружностей