- Онлайн калькулятор. Модуль вектора. Длина вектора
- Калькулятор для вычисления длины вектора (модуля вектора) по двум точкам
- Инструкция использования калькулятора для вычисления длины вектора
- Ввод даных в калькулятор для вычисления длины вектора (модуля вектора)
- Дополнительные возможности калькулятора для вычисления длины вектора (модуля вектора)
- Вычисления длины вектора (модуля вектора)
- Нахождение длины вектора, примеры и решения
- Длина вектора — основные формулы
- Длина вектора через координаты точек его начала и конца
- Нахождение длины вектора по теореме косинусов
- Характеристики вектора: длина, направление, координаты
- Что такое координаты вектора
- Длина вектора (в чем измеряется, как посчитать)
- Как вычислить длину вектора по его координатам
- Как вычислить длину вектора с помощью рисунка
- Как указать направление вектора
- Для двумерного вектора
- Для трехмерного вектора
- Нахождение длины вектора, примеры и решения
- Длина вектора — основные формулы
- Длина вектора через координаты точек его начала и конца
- Нахождение длины вектора по теореме косинусов
- Характеристики вектора: длина, направление, координаты
- Что такое координаты вектора
- Длина вектора (в чем измеряется, как посчитать)
- Как вычислить длину вектора по его координатам
- Как вычислить длину вектора с помощью рисунка
- Как указать направление вектора
- Для двумерного вектора
- Для трехмерного вектора
- 💡 Видео
Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать
Онлайн калькулятор. Модуль вектора. Длина вектора
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти длину вектора для плоских и пространственных задач.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление модуля вектора и закрепить пройденный материал.
Видео:Длина вектора через координаты. 9 класс.Скачать
Калькулятор для вычисления длины вектора (модуля вектора) по двум точкам
Размерность вектора:
Форма представления вектора:
Инструкция использования калькулятора для вычисления длины вектора
Ввод даных в калькулятор для вычисления длины вектора (модуля вектора)
В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел..
Дополнительные возможности калькулятора для вычисления длины вектора (модуля вектора)
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.
Видео:Радиус и диаметрСкачать
Вычисления длины вектора (модуля вектора)
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать
Нахождение длины вектора, примеры и решения
Видео:Радиус векторСкачать
Длина вектора — основные формулы
Длину вектора a → будем обозначать a → . Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.
Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат O x y . Пусть в ней задан некоторый вектор a → с координатами a x ; a y . Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a → через координаты a x и a y .
От начала координат отложим вектор O A → = a → . Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как A x и A y . Теперь рассмотрим прямоугольник O A x A A y с диагональю O A .
Из теоремы Пифагора следует равенство O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , откуда O A = O A x 2 + O A y 2 . Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что O A x 2 = a x 2 и O A y 2 = a y 2 , а по построению длина O A равна длине вектора O A → , значит, O A → = O A x 2 + O A y 2 .
Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y имеет соответствующий вид: a → = a x 2 + a y 2 .
Если вектор a → дан в виде разложения по координатным векторам a → = a x · i → + a y · j → , то вычислить его длину можно по той же формуле a → = a x 2 + a y 2 , в данном случае коэффициенты a x и a y выступают в роли координат вектора a → в заданной системе координат.
Вычислить длину вектора a → = 7 ; e , заданного в прямоугольной системе координат.
Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатам a → = a x 2 + a y 2 : a → = 7 2 + e 2 = 49 + e
Формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y ; a z по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)
В данном случае O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Из определения координат вектора можем записать следующие равенства O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .
Отсюда следует, что длина вектора a → = a x ; a y ; a z равна a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .
Вычислить длину вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной системы координат.
Дано разложение вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , его координаты равны a → = 4 , — 3 , 5 . Используя выше выведенную формулу получим a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + ( — 3 ) 2 + 5 2 = 5 2 .
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Длина вектора через координаты точек его начала и конца
Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.
Итак, даны точки с заданными координатами A ( a x ; a y ) и B ( b x ; b y ) , отсюда вектор A B → имеет координаты ( b x — a x ; b y — a y ) значит, его длина может быть определена по формуле: A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2
А если даны точки с заданными координатами A ( a x ; a y ; a z ) и B ( b x ; b y ; b z ) в трехмерном пространстве, то длину вектора A B → можно вычислить по формуле
A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2
Найти длину вектора A B → , если в прямоугольной системе координат A 1 , 3 , B — 3 , 1 .
Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 : A B → = ( — 3 — 1 ) 2 + ( 1 — 3 ) 2 = 20 — 2 3 .
Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: A B → = ( — 3 — 1 ; 1 — 3 ) = ( — 4 ; 1 — 3 ) ; A B → = ( — 4 ) 2 + ( 1 — 3 ) 2 = 20 — 2 3 . —
Ответ: A B → = 20 — 2 3 .
Определить, при каких значениях длина вектора A B → равна 30 , если A ( 0 , 1 , 2 ) ; B ( 5 , 2 , λ 2 ) .
Для начала распишем длину вектора A B → по формуле: A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2 = ( 5 — 0 ) 2 + ( 2 — 1 ) 2 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 26 + ( λ 2 — 2 ) 2
Затем полученное выражение приравняем к 30 , отсюда найдем искомые λ :
26 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 30 26 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 30 ( λ 2 — 2 ) 2 = 4 λ 2 — 2 = 2 и л и λ 2 — 2 = — 2 λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .
Ответ: λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .
Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Нахождение длины вектора по теореме косинусов
Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.
Пусть заданы длины двух векторов A B → , A C → и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора B C → или C B → . В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ A B C , вычислить длину стороны B C , которая и равна искомой длине вектора.
Рассмотрим такой случай на следующем примере.
Длины векторов A B → и A C → равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π 3 . Вычислить длину вектора B C → .
Длина вектора B C → в данном случае равна длине стороны B C треугольника △ A B C . Длины сторон A B и A C треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов: B C 2 = A B 2 + A C 2 — 2 · A B · A C · cos ∠ ( A B , → A C → ) = 3 2 + 7 2 — 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Таким образом, B C → = 37 .
Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a → = a x 2 + a y 2 или a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , по координатам точек начала и конца вектора A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 или A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2 , в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
Характеристики вектора: длина, направление, координаты
У любого вектора есть 2 главные характеристики:
- длина (математики говорят «модуль вектора»)
- направление (в какую сторону вектор на рисунке направлен)
Третья характеристика вектора – это его координаты.
Примечание:
Зная координаты вектора, можно найти его длину и направление. Поэтому, задавать информацию о векторе можно двояко: либо указав его длину и направление, либо его координаты.
Видео:2.4. Радиус-вектор и вектор перемещенияСкачать
Что такое координаты вектора
Координаты вектора – это длины его теней на осях координат (его проекции на оси).
Координаты вектора указывают так:
( a_ ) – это «x» координата вектора, проекция вектора ( vec ) на ось Ox;
( a_ ) — это «y» координата вектора, проекция вектора ( vec ) на ось Oy;
Координаты вектора можно получить из координат его начальной и конечной точек:
«координата вектора» = «конец» — «начало»
Пример:
( A left( 1;1 right) ) — начальная точка,
( B left( 4;3 right) ) — конечная точка,
[ begin AB_ = 4 – 1; AB_ = 3 \ AB_ = 3 – 1; AB_ = 2 end ]
Видео:Как измерить радиус детали по длине хорды и высоте сегментаСкачать
Длина вектора (в чем измеряется, как посчитать)
Длину вектора (его модуль) обозначают так:
Как вычислить длину вектора по его координатам
Когда известны координаты вектора, его длину считают так:
( a_ ) и ( a_ ) — это числа, координаты вектора ( vec )
Для двухмерного вектора:
Для трехмерного вектора:
Как вычислить длину вектора с помощью рисунка
Если вектор нарисован на клетчатой бумаге, длину считаем так:
1). Если вектор лежит на линиях клеточек тетради:
— считаем количество клеточек.
Зная масштаб клеток, легко получить длину вектора – умножаем масштаб на количество клеток.
2). Если вектор не лежит вдоль линий:
— проводим вертикаль и горизонталь пунктиром.
( Delta x ) — горизонталь; ( Delta y ) — вертикаль;
— затем применяем формулу:
Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать
Как указать направление вектора
Указать направление вектора можно с помощью его координат. Так как в его координатах уже содержится информация о длине и направлении вектора.
Бывает так, что координаты вектора неизвестны, а известна только лишь его длина. Тогда направление можно указать с помощью угла между вектором и какой-либо осью.
Для двумерного вектора
Если вектор двумерный, то для указания направления (см. рис. 10) можно использовать один из двух углов:
- угол ( alpha ) между вектором и горизонталью (осью Ox),
- или угол ( beta ) вежду вектором и вертикалью (осью Oy).
Словами указать направление вектора можно так:
- вектор длиной 5 единиц направлен под углом 30 градусов к горизонтали;
- Или же: вектор длиной 5 единиц направлен под углом 60 градусов к вертикали.
Такой способ указания координат используют в полярной системе координат.
Для трехмерного вектора
Когда вектор располагается в трехмерном пространстве, чтобы указать, куда вектор направлен, используют два угла.
- угол между вектором и осью Oz;
- и один из углов: между вектором и осью Oy, или между вектором и осью Ox;
Такой способ указания координат используют в сферической системе координат.
Считаем Землю шаром. Расположим ее центр в начале трехмерной системы координат – точке (0 ; 0 ; 0).
Тогда координаты любой точки на поверхности планеты можно указать с помощью радиус-вектора этой точки.
Для указания сферических координат принято использовать:
- длину вектора,
- угол между осью Ox и вектором и
- угол между осью Oz и вектором.
Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать
Нахождение длины вектора, примеры и решения
Видео:КАК НАЙТИ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ДИАМЕТР ИЛИ РАДИУС? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать
Длина вектора — основные формулы
Длину вектора a → будем обозначать a → . Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.
Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат O x y . Пусть в ней задан некоторый вектор a → с координатами a x ; a y . Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a → через координаты a x и a y .
От начала координат отложим вектор O A → = a → . Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как A x и A y . Теперь рассмотрим прямоугольник O A x A A y с диагональю O A .
Из теоремы Пифагора следует равенство O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , откуда O A = O A x 2 + O A y 2 . Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что O A x 2 = a x 2 и O A y 2 = a y 2 , а по построению длина O A равна длине вектора O A → , значит, O A → = O A x 2 + O A y 2 .
Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y имеет соответствующий вид: a → = a x 2 + a y 2 .
Если вектор a → дан в виде разложения по координатным векторам a → = a x · i → + a y · j → , то вычислить его длину можно по той же формуле a → = a x 2 + a y 2 , в данном случае коэффициенты a x и a y выступают в роли координат вектора a → в заданной системе координат.
Вычислить длину вектора a → = 7 ; e , заданного в прямоугольной системе координат.
Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатам a → = a x 2 + a y 2 : a → = 7 2 + e 2 = 49 + e
Формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y ; a z по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)
В данном случае O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Из определения координат вектора можем записать следующие равенства O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .
Отсюда следует, что длина вектора a → = a x ; a y ; a z равна a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .
Вычислить длину вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной системы координат.
Дано разложение вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , его координаты равны a → = 4 , — 3 , 5 . Используя выше выведенную формулу получим a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + ( — 3 ) 2 + 5 2 = 5 2 .
Видео:Лекция 4.1 | Радиус-вектор, скорость и ускорение | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать
Длина вектора через координаты точек его начала и конца
Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.
Итак, даны точки с заданными координатами A ( a x ; a y ) и B ( b x ; b y ) , отсюда вектор A B → имеет координаты ( b x — a x ; b y — a y ) значит, его длина может быть определена по формуле: A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2
А если даны точки с заданными координатами A ( a x ; a y ; a z ) и B ( b x ; b y ; b z ) в трехмерном пространстве, то длину вектора A B → можно вычислить по формуле
A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2
Найти длину вектора A B → , если в прямоугольной системе координат A 1 , 3 , B — 3 , 1 .
Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 : A B → = ( — 3 — 1 ) 2 + ( 1 — 3 ) 2 = 20 — 2 3 .
Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: A B → = ( — 3 — 1 ; 1 — 3 ) = ( — 4 ; 1 — 3 ) ; A B → = ( — 4 ) 2 + ( 1 — 3 ) 2 = 20 — 2 3 . —
Ответ: A B → = 20 — 2 3 .
Определить, при каких значениях длина вектора A B → равна 30 , если A ( 0 , 1 , 2 ) ; B ( 5 , 2 , λ 2 ) .
Для начала распишем длину вектора A B → по формуле: A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2 = ( 5 — 0 ) 2 + ( 2 — 1 ) 2 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 26 + ( λ 2 — 2 ) 2
Затем полученное выражение приравняем к 30 , отсюда найдем искомые λ :
26 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 30 26 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 30 ( λ 2 — 2 ) 2 = 4 λ 2 — 2 = 2 и л и λ 2 — 2 = — 2 λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .
Ответ: λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .
Видео:Радиус-векторыСкачать
Нахождение длины вектора по теореме косинусов
Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.
Пусть заданы длины двух векторов A B → , A C → и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора B C → или C B → . В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ A B C , вычислить длину стороны B C , которая и равна искомой длине вектора.
Рассмотрим такой случай на следующем примере.
Длины векторов A B → и A C → равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π 3 . Вычислить длину вектора B C → .
Длина вектора B C → в данном случае равна длине стороны B C треугольника △ A B C . Длины сторон A B и A C треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов: B C 2 = A B 2 + A C 2 — 2 · A B · A C · cos ∠ ( A B , → A C → ) = 3 2 + 7 2 — 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Таким образом, B C → = 37 .
Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a → = a x 2 + a y 2 или a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , по координатам точек начала и конца вектора A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 или A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2 , в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.
Видео:Длина окружности. 9 класс.Скачать
Характеристики вектора: длина, направление, координаты
У любого вектора есть 2 главные характеристики:
- длина (математики говорят «модуль вектора»)
- направление (в какую сторону вектор на рисунке направлен)
Третья характеристика вектора – это его координаты.
Примечание:
Зная координаты вектора, можно найти его длину и направление. Поэтому, задавать информацию о векторе можно двояко: либо указав его длину и направление, либо его координаты.
Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать
Что такое координаты вектора
Координаты вектора – это длины его теней на осях координат (его проекции на оси).
Координаты вектора указывают так:
( a_ ) – это «x» координата вектора, проекция вектора ( vec ) на ось Ox;
( a_ ) — это «y» координата вектора, проекция вектора ( vec ) на ось Oy;
Координаты вектора можно получить из координат его начальной и конечной точек:
«координата вектора» = «конец» — «начало»
Пример:
( A left( 1;1 right) ) — начальная точка,
( B left( 4;3 right) ) — конечная точка,
[ overrightarrow = left< AB_; AB_ right> ]
[ begin AB_ = 4 – 1; AB_ = 3 \ AB_ = 3 – 1; AB_ = 2 end ]
Видео:Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать
Длина вектора (в чем измеряется, как посчитать)
Длину вектора (его модуль) обозначают так:
Как вычислить длину вектора по его координатам
Когда известны координаты вектора, его длину считают так:
( a_ ) и ( a_ ) — это числа, координаты вектора ( vec )
Для двухмерного вектора:
Для трехмерного вектора:
Как вычислить длину вектора с помощью рисунка
Если вектор нарисован на клетчатой бумаге, длину считаем так:
1). Если вектор лежит на линиях клеточек тетради:
— считаем количество клеточек.
Зная масштаб клеток, легко получить длину вектора – умножаем масштаб на количество клеток.
2). Если вектор не лежит вдоль линий:
— проводим вертикаль и горизонталь пунктиром.
( Delta x ) — горизонталь; ( Delta y ) — вертикаль;
— затем применяем формулу:
Видео:+Как найти длину окружностиСкачать
Как указать направление вектора
Указать направление вектора можно с помощью его координат. Так как в его координатах уже содержится информация о длине и направлении вектора.
Бывает так, что координаты вектора неизвестны, а известна только лишь его длина. Тогда направление можно указать с помощью угла между вектором и какой-либо осью.
Для двумерного вектора
Если вектор двумерный, то для указания направления (см. рис. 10) можно использовать один из двух углов:
- угол ( alpha ) между вектором и горизонталью (осью Ox),
- или угол ( beta ) вежду вектором и вертикалью (осью Oy).
Словами указать направление вектора можно так:
- вектор длиной 5 единиц направлен под углом 30 градусов к горизонтали;
- Или же: вектор длиной 5 единиц направлен под углом 60 градусов к вертикали.
Такой способ указания координат используют в полярной системе координат.
Для трехмерного вектора
Когда вектор располагается в трехмерном пространстве, чтобы указать, куда вектор направлен, используют два угла.
- угол между вектором и осью Oz;
- и один из углов: между вектором и осью Oy, или между вектором и осью Ox;
Такой способ указания координат используют в сферической системе координат.
Считаем Землю шаром. Расположим ее центр в начале трехмерной системы координат – точке (0 ; 0 ; 0).
Тогда координаты любой точки на поверхности планеты можно указать с помощью радиус-вектора этой точки.
Для указания сферических координат принято использовать:
- длину вектора,
- угол между осью Ox и вектором и
- угол между осью Oz и вектором.
💡 Видео
Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать