Ключевые слова: основные линии треугольника, медиана, биссектриса, высота, средния линия, серединные перпендикуляры
Рассмотрим произвольный треугольник ABC:
a, b, c — стороны треугольника
$$m_a$$ — медиана к стороне a угла A
$$h_a$$ — высота к стороне a угла A
$$l_a$$ — биссектриса к стороне a угла A
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.
Свойства медиан треугольника
- Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
- Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
- Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.
Свойства биссектрис треугольника
- Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
- Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам.
- Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.
Свойства высот треугольника
- В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
- В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
- Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон
- Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.
Свойства серединных перпендикуляров треугольника
- Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
- Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойство средней линии треугольника
- Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
- Все, что нужно знать о треугольнике
- ТРЕУГОЛЬНИК.
- Площадь треугольника.
- Медиана треугольника
- Биссектриса треугольника
- Высота треугольника
- Теорема синусов:
- Прямоугольный треугольник
- Соотношение элементов в прямоугольном треугольнике:
- Равнобедренный треугольник.
- Правильный треугольник
- Средняя линия треугольника
- Внешний угол треугольника
- Признаки равенства треугольников:
- Признаки подобия треугольников:
- Теорема Менелая
- Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
- Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
- Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
- Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
- 🔥 Видео
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Все, что нужно знать о треугольнике
При решении геометрических задач полезно следовать такому алгоритму. Во время чтения условия задачи необходимо
- Сделать чертеж. Чертеж должен максимально соответствовать условию задачи, так его основная задача помочь найти ход решения
- Нанести все данные из условия задачи на чертеж
- Выписать все геометрические понятия, которые встречаются в задаче
- Вспомнить все теоремы, которые относятся к этим понятию
- Нанести на чертеж все соотношения между элементами геометрической фигуры, которые следуют из этих теорем
Например, если в задаче встречается слова биссектриса угла треугольника, нужно вспомнить определение и свойства биссектрисы и обозначить на чертеже равные или пропорциональные отрезки и углы.
В этой статье вы найдете основные свойства треугольника, которые необходимо знать для успешного решения задач.
ТРЕУГОЛЬНИК.
Площадь треугольника.
1. ,
здесь — произвольная сторона треугольника, — высота, опущенная на эту сторону.
2. ,
здесь и — произвольные стороны треугольника, — угол между этими сторонами:
3. Формула Герона:
— здесь — длины сторон треугольника, — полупериметр треугольника,
4. ,
здесь — полупериметр треугольника, — радиус вписанной окружности.
Пусть — длины отрезков касательных.
Тогда формулу Герона можно записать в таком виде:
5.
6. ,
здесь — длины сторон треугольника, — радиус описанной окружности.
Если на стороне треугольника взята точка, которая делит эту сторону в отношении m:n, то отрезок, соединяющий эту точку с вершиной противолежащего угла делит треугольник на два треугольника, площади которых относятся как m:n:
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Медиана треугольника
— это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.
Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший — радиусу описанной окружности.
Радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: R=2r
Длина медианы произвольного треугольника вычисляется по формуле:
,
здесь — медиана, проведенная к стороне , — длины сторон треугольника.
Биссектриса треугольника
— это отрезок биссектрисы любого угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с противоположной стороной.
Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла.
Высота треугольника
— это отрезок перпендикуляра, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону, или ее продолжение. В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла лежит вне треугольника.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.
Чтобы найти высоту треугольника, проведенную к стороне , нужно любым доступным способом найти его площадь, а затем воспользоваться формулой:
Центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.
Радиус описанной окружности треугольника можно найти по таким формулам:
— здесь — длины сторон треугольника, — площадь треугольника.
,
где — длина стороны треугольника, — противолежащий угол. (Эта формула вытекает из теоремы синусов).
Неравенство треугольника
Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других.
Сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны:
c» title=»a+b>c»/>
Напротив большей стороны лежит больший угол; напротив большего угла лежит большая сторона:
Если , то и наоборот.
Теорема синусов:
стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
Теорема косинусов:
квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:
Прямоугольный треугольник
— это треугольник, один из углов которого равен 90°.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Гипотенуза — это сторона, которая лежит против угла 90°. Гипотенуза является наибольшей стороной.
Теорема Пифагора:
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен
,
здесь — радиус вписанной окружности, — катеты, — гипотенуза:
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы:
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Определение синуса, косинуса , тангенса и котангенса прямоугольного треугольника смотрите здесь.
Соотношение элементов в прямоугольном треугольнике:
Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:
Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию катета на гипотенузу:
:
Катет, лежащий против угла равен половине гипотенузы:
Равнобедренный треугольник.
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию является медианой и высотой.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
— угол при вершине.
и — боковые стороны,
и — углы при основании.
— высота, биссектриса и медиана.
Внимание! Высота, биссектриса и медиана, проведенные к боковой стороне не совпадают.
Правильный треугольник
(или равносторонний треугольник ) — это треугольник, все стороны и углы которого равны между собой.
Площадь правильного треугольника равна
,
где — длина стороны треугольника.
Центр окружности, вписанной в правильный треугольник, совпадает с центром окружности, описанной около правильного треугольника и лежит в точке пересечения медиан.
Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший — радиусу описанной окружности.
Если один из углов равнобедренного треугольника равен 60°, то этот треугольник правильный.
Средняя линия треугольника
— это отрезок, соединяющий середины двух сторон.
На рисунке DE — средняя линия треугольника ABC.
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине: DE||AC, AC=2DE
Внешний угол треугольника
— это угол, смежный какому либо углу треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
Тригонометрические функции внешнего угла:
Признаки равенства треугольников:
1 . Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2 . Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3 Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Важно: поскольку в прямоугольном треугольнике два угла заведомо равны, то для равенства двух прямоугольных треугольников требуется равенство всего двух элементов: двух сторон, или стороны и острого угла.
Признаки подобия треугольников:
1 . Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами равны, то эти треугольники подобны.
2 . Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.
3 . Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.
Важно: в подобных треугольниках сходственные стороны лежат против равных углов.
Теорема Менелая
Пусть прямая пересекает треугольник , причем – точка ее пересечения со стороной , – точка ее пересечения со стороной , и – точка ее пересечения с продолжением стороны . Тогда
Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать
Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла |
Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник |
Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник |
Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать
Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.
Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).
Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,
что и требовалось доказать.
Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).
Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,
что и требовалось доказать.
Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.
Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.
Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).
Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно
что и требовалось доказать.
Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.
Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).
Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Следовательно, справедливо равенство:
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать
Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .
Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.
Видео:Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.Скачать
Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.
Фигура | Рисунок | Формула | Обозначения | |||||||||||||||||||
Произвольный треугольник | ||||||||||||||||||||||
Равнобедренный треугольник | ||||||||||||||||||||||
Равносторонний треугольник | ||||||||||||||||||||||
Прямоугольный треугольник |
Произвольный треугольник | ||
Равнобедренный треугольник | ||
Равносторонний треугольник | ||
Прямоугольный треугольник | ||
Произвольный треугольник |
где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.
где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.
где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство
где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).
с помощью формулы Герона получаем:
что и требовалось.
Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство
где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).
то, в случае равнобедренного треугольника, когда
что и требовалось.
Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство
где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).
то, в случае равностороннего треугольника, когда
что и требовалось.
Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.
Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство
Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.
Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,
В силу теоремы 3 справедливы равенства
Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем
что и требовалось.
Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.
🔥 Видео
Геометрия Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту, проведеннуюСкачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Построение медианы в треугольникеСкачать
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
№690. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружностиСкачать
#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать
Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Почему геометрия — это красиво?Скачать
егэ по математике c4, биссектрисы и медианыСкачать
Теория по планиметрии №3: Биссектриса, медиана, высотаСкачать
Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать
8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать
Центр вписанной окружности.Скачать
ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Медиана, биссектриса, высота треугольника | ВидеоурокСкачать
ОПИСАННАЯ и ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 классСкачать