Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

Ключевые слова: основные линии треугольника, медиана, биссектриса, высота, средния линия, серединные перпендикуляры

Рассмотрим произвольный треугольник ABC:

a, b, c — стороны треугольника

$$m_a$$ — медиана к стороне a угла A

$$h_a$$ — высота к стороне a угла A

$$l_a$$ — биссектриса к стороне a угла A

Как центр вписанной окружности делит медиану

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

  • Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  • Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

  • Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
  • Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам.
  • Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

  • В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
  • В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
  • Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон
  • Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

  • Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
  • Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

  • Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Все, что нужно знать о треугольнике

Как центр вписанной окружности делит медиануПри решении геометрических задач полезно следовать такому алгоритму. Во время чтения условия задачи необходимо

  • Сделать чертеж. Чертеж должен максимально соответствовать условию задачи, так его основная задача помочь найти ход решения
  • Нанести все данные из условия задачи на чертеж
  • Выписать все геометрические понятия, которые встречаются в задаче
  • Вспомнить все теоремы, которые относятся к этим понятию
  • Нанести на чертеж все соотношения между элементами геометрической фигуры, которые следуют из этих теорем

Например, если в задаче встречается слова биссектриса угла треугольника, нужно вспомнить определение и свойства биссектрисы и обозначить на чертеже равные или пропорциональные отрезки и углы.

В этой статье вы найдете основные свойства треугольника, которые необходимо знать для успешного решения задач.

ТРЕУГОЛЬНИК.

Площадь треугольника.

1. Как центр вписанной окружности делит медиану,

здесь Как центр вписанной окружности делит медиану— произвольная сторона треугольника, Как центр вписанной окружности делит медиану— высота, опущенная на эту сторону.

Как центр вписанной окружности делит медиану

2. Как центр вписанной окружности делит медиану,

здесь Как центр вписанной окружности делит медиануи Как центр вписанной окружности делит медиану— произвольные стороны треугольника, Как центр вписанной окружности делит медиану— угол между этими сторонами:

Как центр вписанной окружности делит медиану

3. Формула Герона:

Как центр вписанной окружности делит медиану

— здесь Как центр вписанной окружности делит медиану— длины сторон треугольника, Как центр вписанной окружности делит медиану— полупериметр треугольника, Как центр вписанной окружности делит медиану

4. Как центр вписанной окружности делит медиану,

здесь Как центр вписанной окружности делит медиану— полупериметр треугольника, Как центр вписанной окружности делит медиану— радиус вписанной окружности.

Как центр вписанной окружности делит медиану

Пусть Как центр вписанной окружности делит медиану— длины отрезков касательных.

Как центр вписанной окружности делит медиану

Тогда формулу Герона можно записать в таком виде:

5. Как центр вписанной окружности делит медиану

6. Как центр вписанной окружности делит медиану,

здесь Как центр вписанной окружности делит медиану— длины сторон треугольника, Как центр вписанной окружности делит медиану— радиус описанной окружности.

Как центр вписанной окружности делит медиану

Если на стороне треугольника взята точка, которая делит эту сторону в отношении m:n, то отрезок, соединяющий эту точку с вершиной противолежащего угла делит треугольник на два треугольника, площади которых относятся как m:n:

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Медиана треугольника

— это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Как центр вписанной окружности делит медиану

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Как центр вписанной окружности делит медиану

Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший — радиусу описанной окружности.

Как центр вписанной окружности делит медиануРадиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: R=2r

Длина медианы произвольного треугольника вычисляется по формуле:

Как центр вписанной окружности делит медиану,

здесь Как центр вписанной окружности делит медиану— медиана, проведенная к стороне Как центр вписанной окружности делит медиану, Как центр вписанной окружности делит медиану— длины сторон треугольника.

Биссектриса треугольника

— это отрезок биссектрисы любого угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с противоположной стороной.

Как центр вписанной окружности делит медиану

Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

Как центр вписанной окружности делит медиану

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Как центр вписанной окружности делит медиану

Все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла.

Как центр вписанной окружности делит медиану

Высота треугольника

— это отрезок перпендикуляра, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону, или ее продолжение. В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла лежит вне треугольника.

Как центр вписанной окружности делит медиану

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Чтобы найти высоту треугольника, проведенную к стороне Как центр вписанной окружности делит медиану, нужно любым доступным способом найти его площадь, а затем воспользоваться формулой:

Как центр вписанной окружности делит медиану

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

Как центр вписанной окружности делит медиану

Радиус описанной окружности треугольника можно найти по таким формулам:

Как центр вписанной окружности делит медиану

— здесь Как центр вписанной окружности делит медиану— длины сторон треугольника, Как центр вписанной окружности делит медиану— площадь треугольника.

Как центр вписанной окружности делит медиану,

где Как центр вписанной окружности делит медиану— длина стороны треугольника, Как центр вписанной окружности делит медиану— противолежащий угол. (Эта формула вытекает из теоремы синусов).

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других.

Сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны:

Как центр вписанной окружности делит медиануc» title=»a+b>c»/> Как центр вписанной окружности делит медиану

Напротив большей стороны лежит больший угол; напротив большего угла лежит большая сторона:

Если Как центр вписанной окружности делит медиануКак центр вписанной окружности делит медиану, то Как центр вписанной окружности делит медиану Как центр вписанной окружности делит медиануи наоборот.

Теорема синусов:

стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

Теорема косинусов:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Как центр вписанной окружности делит медиану

Прямоугольный треугольник

это треугольник, один из углов которого равен 90°.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Гипотенуза — это сторона, которая лежит против угла 90°. Гипотенуза является наибольшей стороной.

Теорема Пифагора:

квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен

Как центр вписанной окружности делит медиану,

здесь Как центр вписанной окружности делит медиану— радиус вписанной окружности, Как центр вписанной окружности делит медиану— катеты, Как центр вписанной окружности делит медиану— гипотенуза:

Как центр вписанной окружности делит медиану

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы:

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Определение синуса, косинуса , тангенса и котангенса прямоугольного треугольника смотрите здесь.

Соотношение элементов в прямоугольном треугольнике:

Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

Как центр вписанной окружности делит медиану

Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию катета на гипотенузу:

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану:

Как центр вписанной окружности делит медиану

Катет, лежащий против угла Как центр вписанной окружности делит медиануравен половине гипотенузы:

Как центр вписанной окружности делит медиануКак центр вписанной окружности делит медиану

Равнобедренный треугольник.

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану— угол при вершине.

Как центр вписанной окружности делит медиануи Как центр вписанной окружности делит медиану— боковые стороны, Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиануи Как центр вписанной окружности делит медиану— углы при основании. Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану— высота, биссектриса и медиана.

Внимание! Высота, биссектриса и медиана, проведенные к боковой стороне не совпадают.

Правильный треугольник

(или равносторонний треугольник ) — это треугольник, все стороны и углы которого равны между собой.

Как центр вписанной окружности делит медиану

Площадь правильного треугольника равна

Как центр вписанной окружности делит медиану,

где Как центр вписанной окружности делит медиану— длина стороны треугольника.

Центр окружности, вписанной в правильный треугольник, совпадает с центром окружности, описанной около правильного треугольника и лежит в точке пересечения медиан.

Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший — радиусу описанной окружности.

Если один из углов равнобедренного треугольника равен 60°, то этот треугольник правильный.

Средняя линия треугольника

— это отрезок, соединяющий середины двух сторон.

На рисунке DE — средняя линия треугольника ABC.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине: DE||AC, AC=2DE

Как центр вписанной окружности делит медиану

Внешний угол треугольника

— это угол, смежный какому либо углу треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

Как центр вписанной окружности делит медиану

Тригонометрические функции внешнего угла:

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

Признаки равенства треугольников:

1 . Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Как центр вписанной окружности делит медиану

2 . Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Как центр вписанной окружности делит медиану

3 Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Как центр вписанной окружности делит медиану

Важно: поскольку в прямоугольном треугольнике два угла заведомо равны, то для равенства двух прямоугольных треугольников требуется равенство всего двух элементов: двух сторон, или стороны и острого угла.

Признаки подобия треугольников:

1 . Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами равны, то эти треугольники подобны.

2 . Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

3 . Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Важно: в подобных треугольниках сходственные стороны лежат против равных углов.

Теорема Менелая

Пусть прямая пересекает треугольник Как центр вписанной окружности делит медиану, причем Как центр вписанной окружности делит медиану– точка ее пересечения со стороной Как центр вписанной окружности делит медиану, Как центр вписанной окружности делит медиану– точка ее пересечения со стороной Как центр вписанной окружности делит медиану, и Как центр вписанной окружности делит медиану– точка ее пересечения с продолжением стороны Как центр вписанной окружности делит медиану. Тогда

Видео:Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Как центр вписанной окружности делит медиануСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Как центр вписанной окружности делит медиануФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Как центр вписанной окружности делит медиануВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Как центр вписанной окружности делит медиану

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Как центр вписанной окружности делит медиану

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Как центр вписанной окружности делит медиану

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Как центр вписанной окружности делит медиану

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Как центр вписанной окружности делит медиану

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Как центр вписанной окружности делит медиану

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.Скачать

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Как центр вписанной окружности делит медиану

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Как центр вписанной окружности делит медиану.

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как центр вписанной окружности делит медиану

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникКак центр вписанной окружности делит медиану
Равнобедренный треугольникКак центр вписанной окружности делит медиану
Равносторонний треугольникКак центр вписанной окружности делит медиану
Прямоугольный треугольникКак центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как центр вписанной окружности делит медиану.

Как центр вписанной окружности делит медиану

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как центр вписанной окружности делит медиану.

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как центр вписанной окружности делит медиану

Произвольный треугольник
Как центр вписанной окружности делит медиану
Равнобедренный треугольник
Как центр вписанной окружности делит медиану
Равносторонний треугольник
Как центр вписанной окружности делит медиану
Прямоугольный треугольник
Как центр вписанной окружности делит медиану
Произвольный треугольник
Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как центр вписанной окружности делит медиану.

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как центр вписанной окружности делит медиану.

Равнобедренный треугольникКак центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

Равносторонний треугольникКак центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникКак центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Как центр вписанной окружности делит медиану

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Как центр вписанной окружности делит медиану– полупериметр (рис. 6).

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

с помощью формулы Герона получаем:

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Как центр вписанной окружности делит медиану

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Как центр вписанной окружности делит медиану

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Как центр вписанной окружности делит медиану

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Как центр вписанной окружности делит медиану

Как центр вписанной окружности делит медиану

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

🔥 Видео

Геометрия Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту, проведеннуюСкачать

Геометрия Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту, проведенную

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

№690. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружностиСкачать

№690. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Почему геометрия — это красиво?Скачать

Почему геометрия —  это красиво?

егэ по математике c4, биссектрисы и медианыСкачать

егэ по математике c4, биссектрисы и медианы

Теория по планиметрии №3: Биссектриса, медиана, высотаСкачать

Теория по планиметрии №3: Биссектриса, медиана, высота

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Центр вписанной окружности.Скачать

Центр вписанной окружности.

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Медиана, биссектриса, высота треугольника | ВидеоурокСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Медиана, биссектриса, высота треугольника | Видеоурок

ОПИСАННАЯ и ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 классСкачать

ОПИСАННАЯ и  ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 класс
Поделиться или сохранить к себе: