В этой статье мы рассмотрим свойства медианы в прямоугольном треугольнике, а также их доказательства.
Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Для прямоугольного треугольника это будут медианы, проведённые с острого угла к серединам катетов или с прямого к центру гипотенузы (рис. 1).
Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать
Свойства медианы в прямоугольном треугольнике
- Медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке, а точка пересечения делит их в соотношении два к одному считая от вершины, из которой проведена медиана.
- Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
- Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.
Видео:№234. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузыСкачать
Доказательства свойств
Первое свойство
Доказать, что медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в пропорции 2:1, считая от вершины.
Доказательство:
- Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Проведем две медианы AE и BD, которые пересекаются в точке X (рис. 2).
Середины отрезков AX и BX обозначим, соответственно, буквами F и G (рисунок 3).
Соединим между собой точки (D, F, G и E) и получим четырёхугольник DFGE (рис. 4).
DE || AB и DE = AB / 2.
FG || AB и FG = AB / 2
FX=XE, GX=XD
Что и требовалось доказать.
Второе свойство
Доказать, что медиана, проведённая с вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Доказательство:
- Чтобы доказать это свойство рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и проведём медиану к гипотенузе. Точку ее пересечения с гипотенузой обозначим буквой D (рис. 6).
Отразим симметрично наш треугольник ABC относительно отрезка AB (рисунок 7). В результате получим четырёхугольник AEBC, в котором AD=DB (поскольку CD медиана к стороне AB) и CD=DE (по построению). То есть диагонали четырехугольника AEBC пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что AEBC является параллелограммом (по признаку параллелограмма).
Что и требовалось доказать.
Третье свойство
Доказать, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.
Доказательство:
- Опишем вокруг прямоугольного треугольника ABC окружность.
Что и требовалось доказать.
Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:
Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать
Свойства прямоугольного треугольника
Фигура | Рисунок | Формулировка | ||||||||
Прямоугольный треугольник | ||||||||||
Равнобедренный прямоугольный треугольник | ||||||||||
Прямоугольный треугольник с углом в 30° |
Прямоугольный треугольник |
Равнобедренный прямоугольный треугольник |
Определение равнобедренного прямоугольного треугольника: Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты. Свойство углов прямоугольного треугольника: Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45° . |
Прямоугольный треугольник с углом в 30° |
Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30° : Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы. Признак прямоугольного треугольника с углом в 30° : Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30° . |
Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника |
Свойство медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника: Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Признак прямоугольного треугольника: Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным. |
Центр описанной окружности |
Свойство окружности, описанной около прямоугольного треугольника: Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности. Признак прямоугольного треугольника: Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы. |
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов Обратная теорема Пифагора: Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным Видео:Определение длины гипотенузыСкачать Медиана в прямоугольном треугольникеМедиана в прямоугольном треугольнике — это отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны, то есть вершину острого угла с серединой противолежащего катета или вершину прямого угла с серединой гипотенузы. Все медианы прямоугольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении два к одному, считая от вершины: Из всех медиан прямоугольного треугольника в задачах чаще всего речь идет о медиане, проведенной к гипотенузе. Это связано с ее свойствами. Свойства медианы, проведенной к гипотенузе: 1) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
(в следующий раз рассмотрим доказательство этого свойства) 2) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна радиусу описанной около прямоугольного треугольника окружности. Пользуясь свойствами прямоугольного треугольника, длины медиан прямоугольного треугольника можно выразить через катеты и острые углы. Например: Видео:Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математикеСкачать 12 CommentsИнформация очень хорошая. Правда не помогла мне решить задачу, которую мой сын не решил на контрольной. приведу условие: Петр, данных для определения катетов недостаточно. Длина гипотенузы в 2 раза больше длины медианы — 12 см. Это всё, что можно сказать по данным условия. не правда надо провести высоту из прямого угла дальше все получится. один катет равен 6 а второй 2 корня из 22 Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Проверим 6^2+(2*корень из 22)^2 попробуйте составить уравнение,обозначив 1 из катетов через х а 2-ой катет обозначьте буквами…x^2+BC^2=12^2…да числа не очень,но это 1 способ..решаю дальше:BC^2=12^2-x^2 задача имеет бесконечное кол-во решений. решение возможно только в виде формулы или графика, где описана зависимость между катетами и гипотенузой Да просто треугольник медианой делится на два треугольника с одинаковыми катетами, а дальше как уже предлагалось выше Пифагор во спасение)) А кто вам сказал, что медиана в прямоугольном треугольнике является еще и высотой? Откуда у вас два треугольника с одинаковыми катетами? Спасибо за понятное объяснение, но у нас задача немного другая. 1) Рассмотрим треугольник BB1C. В нём угол С равен 90 градусов, BB1=10 см, B1C=6 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим BC: BC=8 см. 2) Рассмотрим треугольник AA1C. В нём угол С равен 90 градусов, AC=12 см, AA1=4 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим AA1: AA1=4√10 см.3) Из треугольника ABC по теореме Пифагора найдём AB: AB=4√13 см. 4) CC1=1/2 AB (как медиана, проведённая к гипотенузе), CC1=2√13 см. 🎦 ВидеоКак найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?Скачать №952. Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.Скачать Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать №256. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетовСкачать №171. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскостиСкачать 7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольниковСкачать Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать Найдите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, площадь которого равна 1Скачать ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать №199. Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этогоСкачать Свойства прямоугольного треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК §17 геометрия 7 классСкачать |