Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

Свойства медианы в прямоугольном треугольнике с доказательствами

В этой статье мы рассмотрим свойства медианы в прямоугольном треугольнике, а также их доказательства.

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Для прямоугольного треугольника это будут медианы, проведённые с острого угла к серединам катетов или с прямого к центру гипотенузы (рис. 1).

Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Свойства медианы в прямоугольном треугольнике

  1. Медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке, а точка пересечения делит их в соотношении два к одному считая от вершины, из которой проведена медиана.
  2. Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
  3. Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.

Видео:№234. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузыСкачать

№234. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы

Доказательства свойств

Первое свойство

Доказать, что медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в пропорции 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

  1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Проведем две медианы AE и BD, которые пересекаются в точке X (рис. 2).

Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

Середины отрезков AX и BX обозначим, соответственно, буквами F и G (рисунок 3).

Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

Соединим между собой точки (D, F, G и E) и получим четырёхугольник DFGE (рис. 4).

Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

  • Сторона DE этого четырёхугольника будет средней линией треугольника ABC. Согласно определению: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией. При этом по свойству средняя линия параллельна не пересекающейся с ней стороне и равна половине этой стороны, то есть.
    DE || AB и DE = AB / 2.
  • Аналогично сторона FG треугольника AXB будет его средней линией.
    FG || AB и FG = AB / 2
  • Отсюда следует, что отрезки DE и FG являются параллельными и равными. Следовательно, четырехугольник DFGE – параллелограмм (по признаку параллелограмма).
  • Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то
    FX=XE, GX=XD

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

  • Так как AF = FX (по построению), то и AF = FX = XE, аналогично DX = XG = GB.
  • Получается, что точка X делит обе медианы AE и BD в соотношении 2 к 1 считая от вершины треугольника.
  • Аналогично, мы сможем доказать, что точка пересечения 3-ей медианы, проведенной из прямого угла к гипотенузе, с медианой AE (или BD) будет делить ее в соотношении 2 к 1, считая от вершины. То есть наша 3-я медиана также пройдет через точку X. Отсюда следует, что все 3 наши медианы пересекаются в одной точке.
  • Что и требовалось доказать.

    Второе свойство

    Доказать, что медиана, проведённая с вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

    Доказательство:

    1. Чтобы доказать это свойство рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и проведём медиану к гипотенузе. Точку ее пересечения с гипотенузой обозначим буквой D (рис. 6).

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    Отразим симметрично наш треугольник ABC относительно отрезка AB (рисунок 7). В результате получим четырёхугольник AEBC, в котором AD=DB (поскольку CD медиана к стороне AB) и CD=DE (по построению). То есть диагонали четырехугольника AEBC пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что AEBC является параллелограммом (по признаку параллелограмма).

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

  • Один из признаков прямоугольника говорит о том, что параллелограмм является прямоугольником, если хотя бы один из его углов прямой. Поскольку ∠ACB прямой (по построению), то AEBC — прямоугольник.
  • Поскольку диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам (свойство прямоугольника), то AB = CE и AD = DB = CD = DE.

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

  • Так как AB = AD + DB, AD = BD и СD = AD = BD, то получается, что медиана AD, проведенная к гипотенузе AB равна половине ее длины.
  • Что и требовалось доказать.

    Третье свойство

    Доказать, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.

    Доказательство:

    1. Опишем вокруг прямоугольного треугольника ABC окружность.

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

  • Поскольку точка C уже лежит на окружности, то для того, чтобы доказать, что медиана CM является радиусом, нам надо доказать, что точка M – центр описанной окружности (т.е. равноудалена от нее).
  • Так как медиана делит отрезок пополам, а медиана проведенная к гипотенузе равна ее половине (согласно доказанному выше свойству), то точка M будет равноудалена от всех вершин треугольника, которые в свою очередь касаются окружности (рисунок 8).
  • Отсюда следует, что окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника ABC будет иметь центр на середине гипотенузы (в точке M), а медиана CM будет радиусом описанной окружности.
  • Что и требовалось доказать.

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:

    Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

    Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

    Свойства прямоугольного треугольника

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    Треугольник, у которого один из углов равен 90°, называют прямоугольным треугольником. Сторону, лежащую против угла в 90°, называют гипотенузой , две другие стороны называют катетами .

    Катеты прямоугольного треугольника

    Длины катетов прямоугольного треугольника меньше длины гипотенузы.

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты.
    Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45°.

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.

    Катет, равный половине гипотенузы

    Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30° .

    Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

    Медиана треугольника, равная половине стороны, к которой она проведена

    Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным.

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности.

    Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

    Обратная теорема Пифагора

    Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным

    ФигураРисунокФормулировка
    Прямоугольный треугольник
    Равнобедренный прямоугольный треугольник
    Прямоугольный треугольник с углом в 30°

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    Определение прямоугольного треугольника:

    Треугольник, у которого один из углов равен 90° , называют прямоугольным треугольником .

    Сторону, лежащую против угла в 90° , называют гипотенузой , две другие стороны называют катетами .

    Свойство катетов прямоугольного треугольника:

    Длины катетов прямоугольного треугольника меньше длины гипотенузы.

    Прямоугольный треугольник
    Равнобедренный прямоугольный треугольник
    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    Определение равнобедренного прямоугольного треугольника:

    Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты.

    Свойство углов прямоугольного треугольника:

    Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45° .

    Прямоугольный треугольник с углом в 30°
    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30° :

    Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.

    Признак прямоугольного треугольника с углом в 30° :

    Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30° .

    Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника
    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    Свойство медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника:

    Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

    Признак прямоугольного треугольника:

    Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным.

    Центр описанной окружности
    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    Свойство окружности, описанной около прямоугольного треугольника:

    Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности.

    Признак прямоугольного треугольника:

    Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

    Обратная теорема Пифагора:

    Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным

    Видео:Определение длины гипотенузыСкачать

    Определение длины гипотенузы

    Медиана в прямоугольном треугольнике

    Медиана в прямоугольном треугольнике — это отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны, то есть вершину острого угла с серединой противолежащего катета или вершину прямого угла с серединой гипотенузы.

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузыВсе медианы прямоугольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении два к одному, считая от вершины:

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    Из всех медиан прямоугольного треугольника в задачах чаще всего речь идет о медиане, проведенной к гипотенузе. Это связано с ее свойствами.

    Свойства медианы, проведенной к гипотенузе:

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы1) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    (в следующий раз рассмотрим доказательство этого свойства)

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы2) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна радиусу описанной около прямоугольного треугольника окружности.

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    Пользуясь свойствами прямоугольного треугольника, длины медиан прямоугольного треугольника можно выразить через катеты и острые углы.

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузыНапример:

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    Прямоугольный треугольник середина гипотенузы

    Видео:Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математикеСкачать

    Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математике

    12 Comments

    Информация очень хорошая. Правда не помогла мне решить задачу, которую мой сын не решил на контрольной. приведу условие:
    Из прямого угла треугольника проведена медиана на гипотенузу. Длина медианы 6см. Определить катеты.

    Петр, данных для определения катетов недостаточно. Длина гипотенузы в 2 раза больше длины медианы — 12 см. Это всё, что можно сказать по данным условия.

    не правда надо провести высоту из прямого угла дальше все получится. один катет равен 6 а второй 2 корня из 22

    Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Проверим 6^2+(2*корень из 22)^2
    =36+4*22=36+88=124. Квадрат гипотенузы 12^2=144

    попробуйте составить уравнение,обозначив 1 из катетов через х а 2-ой катет обозначьте буквами…x^2+BC^2=12^2…да числа не очень,но это 1 способ..решаю дальше:BC^2=12^2-x^2
    BC^2=11x
    X^2+11X=144
    X^2=12
    x(1 катет)=корню из 12,а «-ой катет=11 корней из 12….решал на основе теоремы пифагора

    задача имеет бесконечное кол-во решений. решение возможно только в виде формулы или графика, где описана зависимость между катетами и гипотенузой

    Да просто треугольник медианой делится на два треугольника с одинаковыми катетами, а дальше как уже предлагалось выше Пифагор во спасение))

    А кто вам сказал, что медиана в прямоугольном треугольнике является еще и высотой? Откуда у вас два треугольника с одинаковыми катетами?

    Спасибо за понятное объяснение, но у нас задача немного другая.
    В прямоугольном треугольнике АВС угол С= 90 градусов,медиана ВВ1 равна 10 см.Найдите медианы АА1 СС1, если известно, что АС=12 см.( используя т.Пифагора.

    1) Рассмотрим треугольник BB1C. В нём угол С равен 90 градусов, BB1=10 см, B1C=6 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим BC: BC=8 см. 2) Рассмотрим треугольник AA1C. В нём угол С равен 90 градусов, AC=12 см, AA1=4 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим AA1: AA1=4√10 см.3) Из треугольника ABC по теореме Пифагора найдём AB: AB=4√13 см. 4) CC1=1/2 AB (как медиана, проведённая к гипотенузе), CC1=2√13 см.
    Где-то так.

    🎦 Видео

    Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?Скачать

    Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?

    №952. Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.Скачать

    №952. Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

    Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

    Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

    Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

    Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

    №256. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетовСкачать

    №256. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов

    №171. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскостиСкачать

    №171. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости

    7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольниковСкачать

    7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольников

    Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать

    Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 класс

    Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

    Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

    Найдите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, площадь которого равна 1Скачать

    Найдите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, площадь которого равна 1

    ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

    ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

    №199. Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этогоСкачать

    №199. Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого

    Свойства прямоугольного треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать

    Свойства прямоугольного треугольника. Практическая часть.  7 класс.

    Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

    Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

    ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК §17 геометрия 7 классСкачать

    ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК §17 геометрия 7 класс
    Поделиться или сохранить к себе: