Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,Скачать

№16. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите,

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, но не принадлежит прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. Говорят, что прямые Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтопересекаются в точке М.
Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Это можно записать так: Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что— знак принадлежности точки прямой, «Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтопараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоперпендикулярны (рис. 12), то пишут Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоb.
  2. Если Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 = 90°, то а Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоАВ и b Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоb.
  3. Если Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоОFА = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2). Из равенства этих треугольников следует, что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоЗ = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что4 и Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что5 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что6.
  6. Так как Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что5 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что6 следует, что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что6 = 90°. Получаем, что а Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоFF1 и b Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоFF1, а аПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что
2) Заметим, что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 и Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3 следует, что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоAOF = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 + Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3 + Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоl + Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 = 180° и Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3 + Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 = 180° следует, что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоF и Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3. Кроме того, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3 и Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3 следует, что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что4 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоBAF. Действительно, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что4 и Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоFAC равны как соответственные углы, a Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоFAC = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 + Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 = 180° (рис. 97, а).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 + Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3= 180°.

4) Из равенств Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что= Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3 и Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 + Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3 = 180° следует, что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 + Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоBAF + Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Так как Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 = 90°, то и Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 = 90°, а, значит, сПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтопараллельны, то есть Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, лучи АВ и КМ.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, то Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что(рис. 161).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, перпендикулярную прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои строят другую перпендикулярную прямую Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, затем — третью прямую Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои т. д. Поскольку прямые Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоперпендикулярны одной прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, то из указанной теоремы следует, что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, параллельной прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, то Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтотретьей прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3 иПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что5,Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что4 иПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 иПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что8,Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 иПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 иПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что6,Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3 иПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что7,Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 иПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что5,Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что4 иПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что8 — соответственные углы;
  • Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3 иПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что6,Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что4 иПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что5 — внутренние односторонние углы;
  • Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 иПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что7,Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 иПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что— данные прямые, АВ — секущая, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 (рис. 166).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Доказать: Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои продлим его до пересечения с прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтов точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 по условию, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоBMK =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоANM =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоBKM = 90°. Тогда прямые Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 (рис. 167).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Доказать: Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои секущей Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоl +Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 = 180° (рис. 168).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Доказать: Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои секущей Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоAOB = Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоBAO=Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоBAK = 26°, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоBAC = 2 •Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоADK +Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1=Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2. Так как Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что||Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что.

Реальная геометрия

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтопроходит через точку М и параллельна прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтов некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что||Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что(рис. 187).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Доказать: Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что||Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что.

Доказательство:

Предположим, что прямые Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, параллельные третьей прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что||Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2,Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3 =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что4. Доказать, что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтопо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. Так как Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, то Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтопо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, которая параллельна прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтопо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, которые параллельны прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтопересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, АВ — секущая,Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 иПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Доказать: Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2.

Доказательство:

Предположим, чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтопо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, параллельные прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что— секущая,Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 иПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 — соответственные (рис. 196).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Доказать:Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что— секущая,Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 иПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Доказать:Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоl +Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 +Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3 = 180°. По свойству параллельных прямыхПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоl =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3 как накрест лежащие. Следовательно,Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоl +Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, т. е.Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 = 90°. Согласно следствию Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, т. е.Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 = 90°.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоАОВ =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоABD =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоADB =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтопараллельны, то пишут: Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что(рис. 211).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2 =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что3. Значит,Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что1 =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что2.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои АВПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, то расстояние между прямыми Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чторавно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, А Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, С Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, АВПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, CDПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоCAD =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чторавны (см. рис. 285). Прямая Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, проходящая через точку А параллельно прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, которая параллельна прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтобудет перпендикуляром и к прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоBAD +Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Тогда Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, параллельную прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Тогда Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что|| Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чторавноудалены от прямых Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтона расстояние Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, то есть расстояние от точки М до прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чторавно Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. Но через точку К проходит единственная прямая Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, параллельная Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. Значит, точка М принадлежит прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что.

Таким образом, все точки прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чторавноудалены от прямых Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. Прямая Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что— параллельны.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:№186. На рисунке 106 прямые а и b пересечены прямой с. Докажите, что a||b, если: a)∠1=37°Скачать

№186. На рисунке 106 прямые а и b пересечены прямой с. Докажите, что a||b, если: a)∠1=37°

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых

Как мы знаем, прямые либо пересекаются (т.е. имеют одну общую точку), либо не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки).

Определение 1. Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

Если прямые a и b параллельны, то это обозначают так:

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что.

На рисунке Рис.1 изображены прямые a и b, которые перпендикулярны к прямой c. В этом случае эти прямые не пересекаются (см. статью Перперндикулярные прямые), т.е. они параллельны (Определение 1).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Понятие параллельности можно распространять и на отрезки.

Определение 2. Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых (Рис.2).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, двух лучей, луча и прямой.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоПрямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

На Рис.3 отрезок AB пераллелен к прямой a поскольку прямая, проходящай через отроезок AB параллельна прямой a. На рисунке Рис.4 отрезок AB пераллелен к лучу a так как прямые, проходящие через отрезок AB и луч a параллельны. Для Рис.5 и Рис.6 можно сделать аналогичные рассуждения.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Признаки параллельности прямых

Определение 3. Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

При пересечении прямой c с a и b образуются восемь углов, некоторые пары из которых имеют специальные названия (Рис.7):

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что
  • накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
  • односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
  • соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Определим признаки параллельности двух прямых, связанные с этими парамы углов.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Предположим, что при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что(Рис.8).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Докажем, что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что.

Если углы 1 и 2 прямые (Рис.9), то получается, что прямые a и b перпендикулярны прямой AB и, следовательно, они параллельны (теорема 1 статьи Перперндикулярные прямые и определение 1 настоящей статьи).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Предположим, что углы 1 и 2 не прямые (Рис.10).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Найдем середину отрезка AB и обозначим через O. Из точки O проведем перпендикуляр OM к прямой a. На прямой b отложим отрезок BN равной отрезку MA. Треугольники OAM и OBN равны по двум сторонам и углу между ними, так как OA=OB, MA=NB, Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. Тогда Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоозначает, что точка N лежит на продолжении луча MO, т.е. точки M, O, N лежат на одной прямой. Угол BNO прямой (поскольку угол AMO прямой). Получается, что прямые a и b перпендикулярны к прямой MN, следовательно они параллельны. Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с соответственные углы равны, например Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что(Рис.11).

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Так как углы 2 и 3 вертикальные, то Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. Тогда из Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоследует, что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1, прямые a и b параллельны. Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что(Рис.11). Из рисунка видно, что углы 4 и 3 смежные, т.е. Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. Из Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтои Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите чтоследует, что Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1 прямые a и b параллельны.Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Видео:№204 Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину ОСкачать

№204 Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину О

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Признаки параллельности прямых

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Параллельные прямые.
  • Накрест лежащие, соответственные, односторонние углы.
  • Признаки параллельности прямых.
  • Решение задач на доказательство параллельности прямых.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признаки параллельности двух прямых:

1. Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже знаете, что при пересечении двух прямых секущей образуются углы:

  • накрест лежащие: 3 и 6, 4 и 5.
  • односторонние: 3 и 5, 4 и 6.
  • соответственные: 1 и 5, 3 и 7, 2 и 6; 4 и 8.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

Рассмотрим и докажем признаки параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠ 1 = ∠ 2 накрест лежащие.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

В этом случае две прямые, перпендикулярные к третьей не пересекаются, т. е. параллельны.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

2 случай: ∠ 1= ∠ 2 ≠ 90°

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

1) Из середины O отрезка AB проведём перпендикуляр OH к прямой а. На прямой b от точки B отложим отрезок BH1, равный отрезку AH и проведем отрезок OH1.

2) AO = OB т. к. O середина AB; AH = BH1 по построению; ∠1 = ∠2 по условию. Тогда ΔOHA = ΔOH1B по первому признаку равенства треугольников.

Далее следует из равенства треугольников: ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6.

3) Из равенства углов ∠3 и ∠4 следует, что точка H1 лежит на продолжении луча OH. Это значит, что точки H1, O, H лежат на одной прямой.

4) Из равенства ∠5 и ∠6 следует, что ∠6 = 90°. Это значит, что прямые a и b перпендикулярны к третьей НН1, а значит, по теореме о двух прямых, перпендикулярных к третьей, не пересекаются, т. е. параллельны.

Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠1 = ∠2 соответственные.

∠1 = ∠2 – по условию и ∠2 = ∠3 – по свойству вертикальных углов.

Значит, ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.

Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

Прямые a и b, секущая AB, ∠1 + ∠2 = 180° ‑ односторонние.

∠3 +∠2 = 180°– по свойству смежных углов, откуда ∠3 = 180° – ∠2.

∠1 + ∠2 = 180 ° по условию, откуда ∠1 = 180° – ∠2.

Тогда ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Дано: ∠1= 60°, ∠2 = 120°.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

  1. ∠2 и ∠3 смежные, ∠3 = 180° – 120° = 60° по свойству смежных углов;
  2. ∠3 = ∠1, это накрест лежащие углы;
  3. Значит, прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.

Ответ: прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.

Дано: ΔABC – равнобедренный, ∠А = 60°. CD – биссектриса ∠BCK.

Докажите: AB ║ CD.

Прямые а и б параллельны а б и с не параллельны докажите что

  1. ∠A = ∠C = 60° – углы при основании равнобедренного Δ–ка равны.
  2. ∠BCK и ∠С смежные. ∠BCK = 180° – 60°= 120° – по свойству смежных углов.
  3. ∠BCD = ∠CDK = 60° т. к. CD – биссектриса делит угол пополам.
  4. Значит, ∠A = ∠DCK = 60° ‑ соответственные, следовательно, AB║CD по 2 признаку параллельности прямых.

Ответ: AB║CD по 2 признаку параллельности прямых.

🎦 Видео

№ 186 - Геометрия 7-9 класс АтанасянСкачать

№ 186 - Геометрия 7-9 класс Атанасян

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

№199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC. Докажите, что прямые ВССкачать

№199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC. Докажите, что прямые ВС

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

№200. На рисунке 115 AD||p и PQ||BC. Докажите, что прямая р пересекает прямые АВ, АЕ, АС, ВС и PQ.Скачать

№200. На рисунке 115 AD||p и PQ||BC. Докажите, что прямая р пересекает прямые АВ, АЕ, АС, ВС и PQ.

№56. Плоскости α и β параллельны, А — точка плоскости α. Докажите, что любая прямая,Скачать

№56. Плоскости α и β параллельны, А — точка плоскости α. Докажите, что любая прямая,

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

№282. Прямые а и b параллельны. Докажите, что середины всех отрезков XY, где Х∈а, Y∈bСкачать

№282. Прямые а и b параллельны. Докажите, что середины всех отрезков XY, где Х∈а, Y∈b

№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисыСкачать

№211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

№202. На рисунке 116 прямые а, b и с пересечены прямой d, ∠1=42°, ∠2=140°, ∠3=138°. Какие из прямыхСкачать

№202. На рисунке 116 прямые а, b и с пересечены прямой d, ∠1=42°, ∠2=140°, ∠3=138°. Какие из прямых

№51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые mСкачать

№51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые m

№60. Две плоскости a и β параллельны плоскости γ. Докажите, что плоскости a и β параллельны.Скачать

№60. Две плоскости a и β параллельны плоскости γ. Докажите, что плоскости a и β параллельны.

№188. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АССкачать

№188. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС

№36. Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую b, параллельную прямой а.Скачать

№36. Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую b, параллельную прямой а.
Поделиться или сохранить к себе: