Линейная функция |
График линейной функции |
Прямые, параллельные оси ординат |
Уравнения вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые |
- Линейная функция
- График линейной функции
- Прямые, параллельные оси ординат
- Уравнение вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые
- Напишите уравнение прямой, проходящей через точку N( — 2 ; 3) и параллельной оси абсцисс?
- Запишите уравнения прямых, параллельных осям координат и проходящим через точку А( — 2 ; 7)?
- Дано уравнение окружности (x — 3) ^ 2 + (y + 5) ^ 2 = 25, проходящей через точку М?
- Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А( — 2 ; — 1) и В(3 ; 1)?
- Напишите уравнение прямой проходящей через точки А( — 5 ; 3), В(3 ; 6)?
- Составьие уравнение прямой, проходящей через точку А(1 ; — 2), если она : а) параллельна оси абцисс ; б) перпендикулярна оси абцисс?
- Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(1 ; — 2), если она : 1) параллельна оси абсцисс ; 2)перпендикулярна оси абсцисс?
- Составьте уравнение прямой проходящей через точку А(1 ; — 2) если она 1)параллельна оси абсцисс, 2)перпендикулярна оси абсцисс?
- Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(1 ; — 2), если она : а) параллельна оси абсцисс ; б) перпендикулярна оси абсцисс?
- Запишите уравнение прямой, проходящей через точку А(3 ; — 1) параллельно прямой у = 2х — 5?
- Даны прямая и точка В , не лежащая на этой прямой , провести прямую АВ , проходящую через эту точку параллельно прямой МК?
- Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач
- Общее уравнение прямой: основные сведения
- Неполное уравнение общей прямой
- Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости
- Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно
- Составление общего уравнения прямой
Видео:Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно OX, OY или через начало координат. Урок 5. 8 клСкачать
Линейная функция
Линейной функцией называют функцию, заданную формулой
y = kx + b, | (1) |
где k и b – произвольные (вещественные) числа.
При любых значениях k и b графиком линейной функции является прямая линия .
Число k называют угловым коэффициентом прямой линии (1), а число b – свободным членом .
Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать
График линейной функции
При k > 0 линейная функция (1) возрастает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 1, 2 и 3.
Рис.1 |
Рис.2 |
Рис.3 |
При k = 0 линейная функция (1) принимает одно и тоже значение y = b при всех значениях x , а её график представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, и изображен на рис. 4, 5 и 6.
Рис.4 |
Рис.5 |
Рис.6 |
При k линейная функция (1) убывает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 7, 8 и 9.
k y = kx + b1 и y = kx + b2 , имеющие одинаковые угловые коэффициенты и разные свободные члены , параллельны . имеющие разные угловые коэффициенты , пересекаются при любых значениях свободных членов. y = kx + b1 и перпендикулярны при любых значениях свободных членов. Угловой коэффициент прямой линии
равен тангенсу угла φ , образованному (рис. 10) при повороте положительной полуоси абсцисс против часовой стрелки вокруг начала координат до прямой (2).
Прямая (1) пересекает ось Oy в точке, ордината которой (рис. 11) равна b . При прямая (1) пересекает ось Ox в точке, абсцисса которой (рис. 12) вычисляется по формуле Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать Прямые, параллельные оси ординатПрямые, параллельные оси Oy , задаются формулой
где c – произвольное число, и изображены на рис. 13, 14, 15.
Замечание 1 . Из рис. 13, 14, 15 вытекает, что зависимость, заданная формулой (3), функцией не является, поскольку значению аргумента x = c соответствует бесконечное множество значений y .; Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать Уравнение вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые
где p, q, r – произвольные числа. В случае, когда уравнение (4) можно переписать в виде (1), откуда вытекает, что оно задаёт прямую линию . что и требовалось. В случае, когда получаем: откуда вытекает, что уравнение (4) задает прямую линию вида (3). В случае, когда q = 0, p = 0, уравнение (4) имеет вид
и при r = 0 его решением являются точки всей плоскости: В случае, когда уравнение (5) решений вообще не имеет. Замечание 2 . При любом значении r1 , не совпадающем с r прямая линия, заданная уравнением
параллельна прямой, заданной уравнением (4) . Замечание 3 . При любом значении r2 прямая линия, заданная уравнением
перпендикулярна прямой, заданной уравнением (4) . Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (2; – 3) и
В соответствии с формулой (6), будем искать уравнение прямой, параллельной прямой (8), в виде
где r1 – некоторое число. Поскольку прямая (9) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство Итак, уравнение прямой, параллельной к прямой В соответствии с формулой (7), будем искать уравнение прямой, перпендикулярной прямой (8), в виде
где r2 – некоторое число. Поскольку прямая (10) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство Видео:Линейная функция. Составить уравнение прямой проходящей через точку и перпендикулярно прямой.Скачать Напишите уравнение прямой, проходящей через точку N( — 2 ; 3) и параллельной оси абсцисс?Геометрия | 5 — 9 классы Напишите уравнение прямой, проходящей через точку N( — 2 ; 3) и параллельной оси абсцисс. Функция параллельна оси абсцисс, то нам нужен только y точки. В данном случае он равен 3, следовательно функция = > ; y = 3. Видео:Уравнение параллельной прямойСкачать Запишите уравнения прямых, параллельных осям координат и проходящим через точку А( — 2 ; 7)?Запишите уравнения прямых, параллельных осям координат и проходящим через точку А( — 2 ; 7). Видео:1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать Дано уравнение окружности (x — 3) ^ 2 + (y + 5) ^ 2 = 25, проходящей через точку М?Дано уравнение окружности (x — 3) ^ 2 + (y + 5) ^ 2 = 25, проходящей через точку М. Найдите координатту этой точки, если она принадлежит : а)оси абсцисс б)оси ординат. Видео:12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А( — 2 ; — 1) и В(3 ; 1)?Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А( — 2 ; — 1) и В(3 ; 1). Видео:Уравнение прямой в пространстве через 2 точки. 11 класс.Скачать Напишите уравнение прямой проходящей через точки А( — 5 ; 3), В(3 ; 6)?Напишите уравнение прямой проходящей через точки А( — 5 ; 3), В(3 ; 6). Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать Составьие уравнение прямой, проходящей через точку А(1 ; — 2), если она : а) параллельна оси абцисс ; б) перпендикулярна оси абцисс?Составьие уравнение прямой, проходящей через точку А(1 ; — 2), если она : а) параллельна оси абцисс ; б) перпендикулярна оси абцисс. Видео:Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(1 ; — 2), если она : 1) параллельна оси абсцисс ; 2)перпендикулярна оси абсцисс?Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(1 ; — 2), если она : 1) параллельна оси абсцисс ; 2)перпендикулярна оси абсцисс. Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать Составьте уравнение прямой проходящей через точку А(1 ; — 2) если она 1)параллельна оси абсцисс, 2)перпендикулярна оси абсцисс?Составьте уравнение прямой проходящей через точку А(1 ; — 2) если она 1)параллельна оси абсцисс, 2)перпендикулярна оси абсцисс. Видео:5. Нормальное уравнение плоскости выводСкачать Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(1 ; — 2), если она : а) параллельна оси абсцисс ; б) перпендикулярна оси абсцисс?Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(1 ; — 2), если она : а) параллельна оси абсцисс ; б) перпендикулярна оси абсцисс. Видео:3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскостиСкачать Запишите уравнение прямой, проходящей через точку А(3 ; — 1) параллельно прямой у = 2х — 5?Запишите уравнение прямой, проходящей через точку А(3 ; — 1) параллельно прямой у = 2х — 5. Видео:Составляем уравнение прямой по точкамСкачать Даны прямая и точка В , не лежащая на этой прямой , провести прямую АВ , проходящую через эту точку параллельно прямой МК?Даны прямая и точка В , не лежащая на этой прямой , провести прямую АВ , проходящую через эту точку параллельно прямой МК. На этой странице сайта вы найдете ответы на вопрос Напишите уравнение прямой, проходящей через точку N( — 2 ; 3) и параллельной оси абсцисс?, относящийся к категории Геометрия. Сложность вопроса соответствует базовым знаниям учеников 5 — 9 классов. Для получения дополнительной информации найдите другие вопросы, относящимися к данной тематике, с помощью поисковой системы. Или сформулируйте новый вопрос: нажмите кнопку вверху страницы, и задайте нужный запрос с помощью ключевых слов, отвечающих вашим критериям. Общайтесь с посетителями страницы, обсуждайте тему. Возможно, их ответы помогут найти нужную информацию. Так , смотри . Угол АВС = 30 градусов как смежный . Тоесть Треугольник АВС прямоугольный , АА1 бисектриса делит угол попалам , сума углов треугольника 180 градусов . С этого следует , что (180 — 90 — 30) = 60 и АА1 детит угол 60 градусов попалам т.. Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон и равна половине третьей стороны, таким образом : DF — средняя линия ΔAOC и AC = 2DF. DE — средняя линия ΔAOB и AB = 2DE. EF — средняя линия ΔBOC и BC = 2EF. ΔABC ΔDFE по трём сторонам (они.. Осевое сечение цилиндра — квадрат т. Е 2R = 5 R = 2. 5 H = 5 S(полн) = 2πR² + 2πRH = 12. 5π + 25π = 37. 5π. 3400мм + 24мм + 1600мм + 93мм = 5117мм = 51 дм 17мм. Вот если пригодиться). Решение смотри на фото. 1)14х2 = 28 см(катет, лежащий напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы). 28 так как сторона AC лежит напротив угла B = 30 град. Если внешний 130, внутренний у основания будет 180 — 130 = 50 (смежные углы) значит второй у основания тоже 50, тк равнобедренный треугольник. Угол при вершине будет 180 — 50 — 50 = 80 (сумма всех углов любого треугольника 180) Ответ : 80 ; 50 ; 50. Видео:10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задачДанная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач. Видео:Консультация по решению задач по аналитической геометрии 2019-2020Скачать Общее уравнение прямой: основные сведенияПусть на плоскости задана прямоугольная система координат O x y . Любое уравнение первой степени, имеющее вид A x + B y + C = 0 , где А , В , С – некоторые действительные числа ( А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид A x + B y + C = 0 при некотором наборе значений А , В , С . указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.
Пусть существует некоторая точка М 0 ( x 0 , y 0 ) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C = 0 . Таким образом: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Вычтем из левой и правой частей уравнений A x + B y + C = 0 левую и правую части уравнения A x 0 + B y 0 + C = 0 , получим новое уравнение, имеющее вид A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 . Оно эквивалентно A x + B y + C = 0 . Полученное уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) . Таким образом, множество точек M ( x , y ) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора n → = ( A , B ) . Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 не было бы верным. Следовательно, уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение A x + B y + C = 0 определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.
Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую a ; точку M 0 ( x 0 , y 0 ) , через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой n → = ( A , B ) . Пусть также существует некоторая точка M ( x , y ) – плавающая точка прямой. В таком случае, векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) являются перпендикулярными друг другу, и их скалярное произведение есть нуль: n → , M 0 M → = A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 Перепишем уравнение A x + B y — A x 0 — B y 0 = 0 , определим C : C = — A x 0 — B y 0 и в конечном результате получим уравнение A x + B y + C = 0 . Так, мы доказали и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом. Уравнение, имеющее вид A x + B y + C = 0 – это общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y . Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая. Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются координатами нормального вектора прямой, которая задана общим уравнением прямой A x + B y + C = 0 . Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой. Пусть задано уравнение 2 x + 3 y — 2 = 0 , которому соответствует прямая линия в заданной прямоугольной системе координат. Нормальный вектор этой прямой – это вектор n → = ( 2 , 3 ) . Изобразим заданную прямую линию на чертеже. Также можно утверждать и следующее: прямая, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением 2 x + 3 y — 2 = 0 , поскольку координаты всех точек заданной прямой отвечают этому уравнению. Мы можем получить уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 , умножив обе части общего уравнения прямой на число λ , не равное нулю. Полученное уравнение является эквивалентом исходного общего уравнения, следовательно, будет описывать ту же прямую на плоскости. Видео:Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать Неполное уравнение общей прямойПолное общее уравнение прямой – такое общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , в котором числа А , В , С отличны от нуля. В ином случае уравнение является неполным. Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.
Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой. Известно, что заданная прямая параллельна оси ординат и проходит через точку 2 7 , — 11 . Необходимо записать общее уравнение заданной прямой. Решение Прямая, параллельная оси ординат, задается уравнением вида A x + C = 0 , в котором А ≠ 0 . Также условием заданы координаты точки, через которую проходит прямая, и координаты этой точки отвечают условиям неполного общего уравнения A x + C = 0 , т.е. верно равенство: Из него возможно определить C , если придать A какое-то ненулевое значение, к примеру, A = 7 . В таком случае получим: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = — 2 . Нам известны оба коэффициента A и C , подставим их в уравнение A x + C = 0 и получим требуемое уравнение прямой: 7 x — 2 = 0 Ответ: 7 x — 2 = 0 На чертеже изображена прямая, необходимо записать ее уравнение. Решение Приведенный чертеж позволяет нам легко взять исходные данные для решения задачи. Мы видим на чертеже, что заданная прямая параллельна оси O x и проходит через точку ( 0 , 3 ) . Прямую, которая параллельна очи абсцисс, определяет неполное общее уравнение B y + С = 0 . Найдем значения B и C . Координаты точки ( 0 , 3 ) , поскольку через нее проходит заданная прямая, будут удовлетворять уравнению прямой B y + С = 0 , тогда справедливым является равенство: В · 3 + С = 0 . Зададим для В какое-то значение, отличное от нуля. Допустим, В = 1 , в таком случае из равенства В · 3 + С = 0 можем найти С : С = — 3 . Используем известные значения В и С , получаем требуемое уравнение прямой: y — 3 = 0 . Ответ: y — 3 = 0 . Видео:Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Метод координат. Геометрия 9 классСкачать Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскостиПусть заданная прямая проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) , тогда ее координаты отвечают общему уравнению прямой, т.е. верно равенство: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Отнимем левую и правую части этого уравнения от левой и правой части общего полного уравнения прямой. Получим: A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C = 0 , это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) и имеет нормальный вектор n → = ( A , B ) . Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой. Даны точка М 0 ( — 3 , 4 ) , через которую проходит прямая, и нормальный вектор этой прямой n → = ( 1 , — 2 ) . Необходимо записать уравнение заданной прямой. Решение Исходные условия позволяют нам получить необходимые данные для составления уравнения: А = 1 , В = — 2 , x 0 = — 3 , y 0 = 4 . Тогда: A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 1 · ( x — ( — 3 ) ) — 2 · y ( y — 4 ) = 0 ⇔ ⇔ x — 2 y + 22 = 0 Задачу можно было решить иначе. Общее уравнение прямой имеет вид A x + B y + C = 0 . Заданный нормальный вектор позволяет получить значения коэффициентов A и B , тогда: A x + B y + C = 0 ⇔ 1 · x — 2 · y + C = 0 ⇔ x — 2 · y + C = 0 Теперь найдем значение С, используя заданную условием задачи точку М 0 ( — 3 , 4 ) , через которую проходит прямая. Координаты этой точки отвечают уравнению x — 2 · y + C = 0 , т.е. — 3 — 2 · 4 + С = 0 . Отсюда С = 11 . Требуемое уравнение прямой принимает вид: x — 2 · y + 11 = 0 . Ответ: x — 2 · y + 11 = 0 . Задана прямая 2 3 x — y — 1 2 = 0 и точка М 0 , лежащая на этой прямой. Известна лишь абсцисса этой точки, и она равна — 3 . Необходимо определить ординату заданной точки. Решение Зададим обозначение координат точки М 0 как x 0 и y 0 . В исходных данных указано, что x 0 = — 3 . Поскольку точка принадлежит заданной прямой, значит ее координаты отвечают общему уравнению этой прямой. Тогда верным будет равенство: 2 3 x 0 — y 0 — 1 2 = 0 Определяем y 0 : 2 3 · ( — 3 ) — y 0 — 1 2 = 0 ⇔ — 5 2 — y 0 = 0 ⇔ y 0 = — 5 2 Ответ: — 5 2 Видео:Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратноКак мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида. Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида A x + B y + C = 0 к каноническому уравнению x — x 1 a x = y — y 1 a y . Если А ≠ 0 , тогда переносим слагаемое B y в правую часть общего уравнения. В левой части выносим A за скобки. В итоге получаем: A x + C A = — B y . Это равенство возможно записать как пропорцию: x + C A — B = y A . В случае, если В ≠ 0 , оставляем в левой части общегь уравнения только слагаемое A x , прочие переносим в правую часть, получаем: A x = — B y — C . Выносим – В за скобки, тогда: A x = — B y + C B . Перепишем равенство в виде пропорции: x — B = y + C B A . Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому. Задано общее уравнение прямой 3 y — 4 = 0 . Необходимо преобразовать его в каноническое уравнение. Решение Запишем исходное уравнение как 3 y — 4 = 0 . Далее действуем по алгоритму: в левой части остаётся слагаемое 0 x ; а в правой части выносим — 3 за скобки; получаем: 0 x = — 3 y — 4 3 . Запишем полученное равенство как пропорцию: x — 3 = y — 4 3 0 . Так, мы получили уравнение канонического вида. Ответ: x — 3 = y — 4 3 0 . Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям. Прямая задана уравнением 2 x — 5 y — 1 = 0 . Запишите параметрические уравнения этой прямой. Решение Осуществим переход от общего уравнения к каноническому: 2 x — 5 y — 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2 Теперь примем обе части полученного канонического уравнения равными λ , тогда: x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 · λ y = — 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R Ответ: x = 5 · λ y = — 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , но только тогда, когда В ≠ 0 . Для перехода в левой части оставляем слагаемое B y , остальные переносятся в правую. Получим: B y = — A x — C . Разделим обе части полученного равенство на B , отличное от нуля: y = — A B x — C B . Задано общее уравнение прямой: 2 x + 7 y = 0 . Необходимо преобразовать то уравнение в уравнение с угловым коэффициентом. Решение Произведем нужные действия по алгоритму: 2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y — 2 x ⇔ y = — 2 7 x Ответ: y = — 2 7 x . Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение в отрезках вида x a + y b = 1 . Чтобы осуществить такой переход, перенесем число C в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на – С и, наконец, перенесем в знаменатели коэффициенты при переменных x и y : A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = — C ⇔ ⇔ A — C x + B — C y = 1 ⇔ x — C A + y — C B = 1 Необходимо преобразовать общее уравнение прямой x — 7 y + 1 2 = 0 в уравнение прямой в отрезках. Решение Перенесем 1 2 в правую часть: x — 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x — 7 y = — 1 2 . Разделим на -1/2 обе части равенства: x — 7 y = — 1 2 ⇔ 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 . Преобразуем далее в необходимый вид: 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 ⇔ x — 1 2 + y 1 14 = 1 . Ответ: x — 1 2 + y 1 14 = 1 . В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему. Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства: x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y — 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y — k x — b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме: x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) ⇔ ⇔ a y x — a x y — a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0 Заданы параметрические уравнения прямой x = — 1 + 2 · λ y = 4 . Необходимо записать общее уравнение этой прямой. Решение Осуществим переход от параметрических уравнений к каноническому: x = — 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = — 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y — 4 0 ⇔ x + 1 2 = y — 4 0 Перейдем от канонического к общему: x + 1 2 = y — 4 0 ⇔ 0 · ( x + 1 ) = 2 ( y — 4 ) ⇔ y — 4 = 0 Ответ: y — 4 = 0 Задано уравнение прямой в отрезках x 3 + y 1 2 = 1 . Необходимо осуществить переход к общему виду уравнения. Решение: Просто перепишем уравнение в необходимом виде: x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y — 1 = 0 Ответ: 1 3 x + 2 y — 1 = 0 . Составление общего уравнения прямойВыше мы говорили о том, что общее уравнение возможно записать при известных координатах нормального вектора и координатах точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 . Там же мы разобрали соответствующий пример. Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора. Задана прямая, параллельная прямой 2 x — 3 y + 3 3 = 0 . Также известна точка M 0 ( 4 , 1 ) , через которую проходит заданная прямая. Необходимо записать уравнение заданной прямой. Решение Исходные условия говорят нам о том, что прямые параллельны, тогда, как нормальный вектор прямой, уравнение которой требуется записать, возьмем направляющий вектор прямой n → = ( 2 , — 3 ) : 2 x — 3 y + 3 3 = 0 . Теперь нам известны все необходимые данные, чтобы составить общее уравнение прямой: A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 2 ( x — 4 ) — 3 ( y — 1 ) = 0 ⇔ 2 x — 3 y — 5 = 0 Ответ: 2 x — 3 y — 5 = 0 . Заданная прямая проходит через начало координат перпендикулярно прямой x — 2 3 = y + 4 5 . Необходимо составить общее уравнение заданной прямой. Решение Нормальный вектором заданной прямой будет направляющий вектор прямой x — 2 3 = y + 4 5 . Тогда n → = ( 3 , 5 ) . Прямая проходит через начало координат, т.е. через точку О ( 0 , 0 ) . Составим общее уравнение заданной прямой: A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 3 ( x — 0 ) + 5 ( y — 0 ) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0 |