Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Как радиусы вписанной окружности делят сторонуСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Как радиусы вписанной окружности делят сторонуФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Как радиусы вписанной окружности делят сторонуВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данирСкачать

РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данир

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Как радиусы вписанной окружности делят сторону.

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникКак радиусы вписанной окружности делят сторону
Равнобедренный треугольникКак радиусы вписанной окружности делят сторону
Равносторонний треугольникКак радиусы вписанной окружности делят сторону
Прямоугольный треугольникКак радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как радиусы вписанной окружности делят сторону.

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как радиусы вписанной окружности делят сторону.

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Произвольный треугольник
Как радиусы вписанной окружности делят сторону
Равнобедренный треугольник
Как радиусы вписанной окружности делят сторону
Равносторонний треугольник
Как радиусы вписанной окружности делят сторону
Прямоугольный треугольник
Как радиусы вписанной окружности делят сторону
Произвольный треугольник
Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как радиусы вписанной окружности делят сторону.

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как радиусы вписанной окружности делят сторону.

Равнобедренный треугольникКак радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Равносторонний треугольникКак радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникКак радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Как радиусы вписанной окружности делят сторону– полупериметр (рис. 6).

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

с помощью формулы Герона получаем:

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Окружность, вписанная в треугольник. Теоремы и их рассмотрение

Еще в Древнем Египте появилась наука, с помощью которой можно было измерять объемы, площади и другие величины. Толчком к этому послужило строительство пирамид. Оно предполагало значительное число сложных расчетов. И кроме строительства, было важно правильно измерить землю. Отсюда и появилась наука «геометрия» от греческих слов «геос» — земля и «метрио» — измеряю.

Исследованию геометрических форм способствовало наблюдение астрономических явлений. И уже в 17-м веке до н. э. были найдены начальные способы расчета площади круга, объема шара и главнейшее открытие — теорема Пифагора.

Как радиусы вписанной окружности делят сторону Вам будет интересно: Казахская академия спорта и туризма. Факультеты, структура вуза

Формулировка теоремы об окружности, вписанной в треугольник выглядит следующим способом:

В треугольник можно вписать только одну окружность.

При таком расположении окружность — вписанная, а треугольник — описанный около окружности.

Формулировка теоремы о центре окружности, вписанной в треугольник, выглядит следующим образом:

Центральная точка окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Окружность считается вписанной в треугольник, если она хотя бы одной точкой касается всех его сторон.

На фото ниже показана окружность, находящаяся внутри равнобедренного треугольника. Условие теоремы об окружности, вписанной в треугольник, соблюдено — она касается всех сторон треугольника AB, ВС И СА в точках R, S, Q соответственно.

Одним из свойств равнобедренного треугольника является то, что вписанная окружность точкой касания делит основание пополам (BS = SC), а радиус вписанной окружности составляет треть высоты данного треугольника(SP=AS/3).

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Свойства теоремы об окружности, вписанной в треугольник:

  • Отрезки, выходящие из одной вершины треугольника к точкам касания с окружностью, равны. На рисунке AR = AQ, BR = BS, CS = CQ.
  • Радиус окружности (вписанной) — это площадь, деленная на полупериметр треугольника. Как пример, нужно начертить равнобедренный треугольник с теми же буквенными обозначениями, что на картинке, следующих размеров: основание ВС = 3 см, высота AS = 2 см, стороны АВ=ВС, соответственно, получаются по 2,5 см каждая. Проведем из каждого угла биссектрису и место их пересечения обозначим как Р. Впишем окружность с радиусом PS, длину которого нужно найти. Узнать площадь треугольника можно, умножив 1/2 основания на высоту: S = 1/2 * DC * AS = 1/2 * 3 * 2 = 3 см2. Полупериметр треугольника равен 1/2 суммы всех сторон: Р = (АВ + ВС + СА) / 2 = (2,5 + 3 + 2,5) / 2 = 4 см; PS = S/P = 3/4 = 0,75 см2, что полностью соответствует действительности, если измерить линейкой. Соответственно, верно свойство теоремы об окружности, вписанной в треугольник.

Видео:Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметрСкачать

Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметр

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Для треугольника с прямым углом действуют свойства теоремы об вписанной окружности в треугольник. И, кроме того, добавляется возможность решать задачи с постулатами теоремы Пифагора.

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно определить следующим образом: сложить длины катетов, вычесть значение гипотенузы и получившееся значение разделить на 2.

Есть хорошая формула, которая поможет высчитать площадь треугольника — периметр умножить на радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Формулировка теоремы о вписанной окружности

В планиметрии важны теоремы о вписанных и описанных фигурах. Одна из них звучит так:

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

На представленном рисунке показано доказательство данной теоремы. Показано равенство углов, и, соответственно, равенство прилегающих треугольников.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник

Радиусы окружности, вписанной в треугольник, проведенные в точки касания перпендикулярны сторонам треугольника.

Задание «сформулируйте теорему об окружности вписанной в треугольник» не должно застать врасплох, потому что это одни из фундаментальных и простейших знаний в геометрии, которыми необходимо владеть в полной мере для решения многих практических задач в реальной жизни.

Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Вписанная в треугольник окружность делит сторону на отрезки

Если в задаче вписанная в треугольник окружность делит его сторону на отрезки, один из возможных вариантов решения — использование свойства отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки.

Рассмотрим две задачи на вписанную в треугольник окружность, решение которых опирается на это свойство касательных.

Одна из сторон треугольника равна 30 см, а другая делится точкой касания вписанной окружности на отрезки длиной 12 см и 14 см, считая от конца неизвестной стороны. Найти радиус вписанной окружности.

Как радиусы вписанной окружности делят сторонуДано: ∆ ABC,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AB, BC, AC,

AB=30 см, CM=12 см, BM=14 см.

1) По свойству касательных, отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны:

CF=CM=12 см, BK=BM=14 см, AF=AK=AB-BK=30-14=16 см.

AC=AF+CF=16+12=28 см, BC=BM+CM=14+12=26 см.

2) По формуле Герона,

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

где a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр,

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

3) Радиус вписанной окружности найдем по формуле

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

В треугольнике, периметр которого равен 60 см, одна из сторон делится точкой касания вписанной в него окружности на отрезки 24 см и 5 см. Найти площадь треугольника.

Как радиусы вписанной окружности делят сторонуДано: ∆ ABC,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AB, BC, AC,

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

1) По свойству касательных, проведенных из одной точки, AF=AK=24 см, BM=BK=5 см, CF=CM= x см.

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Как радиусы вписанной окружности делят сторону

Следовательно, CM=CF=1 см, AB=AK+BK=29 см, BC=BM+CM=6 см, AC=AF+CF=25 см.

2) Полупериметр равен половине периметра: p=60:2=30 см.

📸 Видео

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Радиус вписанной окружности #математика #егэ #математикапрофиль2023 #fyp #школаСкачать

Радиус вписанной окружности #математика #егэ #математикапрофиль2023 #fyp #школа

Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.
Поделиться или сохранить к себе: