Теоремы об отрезках связанных с окружностью 10 класс атанасян

Анастасия Кириченко
Урок геометрии в 10 классе по теме «Некоторые сведения из планиметрии. Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью»

Урок №2. Некоторые сведения из планиметрии.

(Две теоремы об отрезках, связанных с

окружностью.)

•Образовательные: рассмотреть соотношение отрезков, связанных с окружностью; формировать навык чтения чертежей.

•Развивающие: развить воображение учащихся при решении геометрических задач, геометрическое мышление, интерес к предмету, математическую речь, память, внимание, умение делать выводы и обобщение.

•Воспитательные: воспитать у учащихся ответственное отношение к учебному труду, формировать эмоциональную культуру и культуру общения.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Изучение нового материала.

1) Свойство пересекающихся хорд.

Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков второй хорды

Дано: окружность (O; R);

Доказать: AМ * BМ = CМ * DМ.

Доказательство: Рассмотрим треугольники ADМ и CBМ. Их углы A и C равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу BD. По аналогичной причине D = B. Поэтому треугольники ADМ и CBМ подобны (по второму признаку подобия треугольников). Таким образом, DМ/BМ = AМ/CМ, или

AМ * BМ = CМ * DМ. Теорема доказана.

2) Свойство касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки.

Теорема: Если к окружности из одной точки проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению отрезка секущей на его внешнюю часть

Дано: окружность (O; R);

Доказать: AK2 = ABAC.

Доказательство: Проведем отрезки ВK и СK. Треугольники ВKА и KСА подобны по второму признаку подобия треугольников: угол А у них общий, а углы ВKА и С равны, так как каждый из них измеряется половиной дуги ВK (угол ВKА — это угол между касательной и хордой, а угол С – вписанный). Поэтому АK/АС = АВ/АK, или AK2 = ABAC. Теорема доказана.

3. Решение задач.

1. Хорды АВ и СД пересекаются в точке Е. Найти ЕД, если

б) АЕ=16, ВЕ=9, СЕ=ЕД.

2. Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1 и пересекает её в точке С. Найти ВВ1, если АС=4см, СА1=8см.

3. Через точку А проведены касательная АВ (В- точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и Д. Найти СД, если

4. Две окружности пересекаются в точках A и B; MN — общая касательная к ним. Докажите, что прямая AB делит отрезок MN пополам.

5. Из внешней точки проведены к окружности секущая длиной 12 см и касательная, длина которой составляет 2/3 внутреннего отрезка секущей. Определить длину касательной.Ответ: 6

Домашнее задание. П. 86, № 820

Открытый урок по математике в 4 классе по теме «Единицы массы. Тонна и центнер» Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Любовшанская средняя общеобразовательная школа Открытый урок по математике на.

Урок биологии по теме «Класс Млекопитающие» в 7 классе Тема урока: «Класс млекопитающие». Цель: формирование понятия об особенностях организации млекопитающих, позволивших им занять все основные.

Урок литературного чтения в 4 классе по теме «Житие Сергия Радонежского» — памятник древнерусской литературы» Цели: дать обучающимся представление о житие; продолжать знакомить детей с многообразием творчества русского народа, расширять кругозор.

Урок математики в 3 классе специальной коррекционной школы 8 «Закрепление изученного материала по теме «Умножение числа 2» Продолжительность урока: 40 минут Место проведения: 3 специальный (коррекционный) класс Количество учащихся в классе: 5 Предмет: математика.

Урок математики в 4 классе по теме «Деление на трехзначное число» Тема: Деление на трехзначное число Цель: закрепление умения делить многозначные числа на трехзначное с использованием алгоритма деления.

Урок обучения грамоте в 1 классе по теме «Звуки [н], [н’], буквы Н, н» Тема: Звуки [н], [н’], буквы Н, н. Цели: — познакомить учащихся с сонорными согласными звуками [н], [н’] и буквами Н н; — учить давать им.

Урок письма в 4 классе для детей с интеллектуальными нарушениями по теме «Восклицательный знак в конце предложения» Цели: 1. Учиться употреблять в устной и письменной речи восклицательные предложения. Учиться выразительному чтению восклицательных предложений.

Урок по русскому языку в 5 классе по теме «Не с именами прилагательными» Урок по русскому языку 5 класс. Тема урока: Правописание не с именами прилагательными. Цель урока: Продолжить изучение темы «Прилагательное.

Урок математики в 1 классе в форме урока-путешествия «Четвертая математическая галактика» по теме «Прибавление числа 4» Урок – путешествие «Четвертая математическая галактика» по теме «Прибавление числа 4» Цель: 1) образовательная – учить выполнять сложение.

Урок географии в 7 классе «Обобщающее повторение по теме «Северная Америка» Урок географии в 7 классе ТЕМА: Обобщающее повторение по теме «Северная Америка» ЦЕЛИ: 1. Повторение, обобщение и систематизация знаний.

Углы и отрезки, связанные с окружностью.
презентация к уроку по геометрии (10 класс) на тему

Первый урок по геометрии в 10 классе по теме «Некоторые сведения из планиметрии».

Скачать:

Вложение	Размер
urok_no_1._g10_glava_viii.rar	548 КБ

Предварительный просмотр:

Аннатация к презентации урока № 1

1. Устная работа. Слайды № 4 — № 8

1. Что такое радиус?
2. Что такое диаметр?
3. Что такое хорда?
4. Что такое касательная?
5. Что такое секущая?
6. Что такое дуга?
7. Какой угол называется центральным углом окружности?
8. Какой угол называется вписанным?
9. Сформулировать теорему о центральном угле.
10. Сформулировать теорему о вписанном угле.

1. Изучение нового материала. Слайды № 9 — № 15

1. Угол между касательной и хордой.
2. Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью.
3. Углы с вершинами внутри и вне круга.

1. Закрепление нового материала. Слайды № 16 — № 21.

1. Решение задач по готовым чертежам. Слайды № 16 — № 20.

Действия ученика: решая задачу с места комментируя каждый шаг действия и оформляя задачи в тетрадь.

Действия учителя: проверять комментарии ученика и находить и исправлять ошибки совместно с учеником.

1. Решение задач по учебнику. Слайд № 21.

Действия ученика: один ученик решает задачу у доски под присмотром учителя, а остальные в тетради.

Действия учителя: проверять записи находить и исправлять ошибки.

Ученик отвечает с места.

1. Домашнее задание. Слайд № 23.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Свойства хорд и дуг окружности

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Фигура	Рисунок	Определение и свойства
Окружность
Круг
Радиус
Хорда
Диаметр
Касательная
Секущая

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

Фигура	Рисунок	Свойство
Диаметр, перпендикулярный к хорде		Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды		Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды		Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности		Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины		Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги		У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды		Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Диаметр, перпендикулярный к хорде

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хорды

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длины

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дуги

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хорды

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Фигура	Рисунок	Теорема
Пересекающиеся хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Пересекающиеся хорды

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Пересекающиеся хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

📽️ Видео