Как прямоугольник нарезать на треугольники (8 видео)

Разрезания и складывания

Содержание

Задача
Подсказка 1
Подсказка 2
Решение
Послесловие
Как разделить прямоугольник на треугольник и шестиугольник?
Как разделить отрезком пятиугольник на треугольник и шестиугольник?
Как разделить пятиугольник на треугольник и шестиугольник?
Как разрезать одной линией прямоугольник чтоб получились треугольник и шестиугольник?
Какая фигура не многоугольник?
Начертить фигуру и проведи прямую линию так, чтобы она разделила эту фигуру на 2 треугольника и шестиугольник?
Одной чертой разделить четырехугольник на треугольник и шестиугольник?
Как прямо прямоугольник разрезать на треугольник и шестиугольник?
Помогите пожалуйста с домашним заданием?
Помогите пожалуйста с домашним заданием?
Помогите пожалуйста с домашним заданием?
как из прямоугольника, с помощью двух отрезков, сделать восемь треугольников
📹 Видео

Видео:Как разрезать треугольник по двум прямым на три части, из которых можно сложить прямоугольник?Скачать

Задача

а) Разрежьте произвольный треугольник на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник.
б) Разрежьте произвольный прямоугольник на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить квадрат.
в) Разрежьте два произвольных квадрата на несколько кусочков так, чтобы из них можно было сложить один большой квадрат.

Видео:Задача на логику как разрезать на две части и получить квадрат?Скачать

Подсказка 1

б) Сначала составьте из произвольного прямоугольника такой прямоугольник, отношение большей стороны которого к меньшей не превышает четырех.

в) Используйте теорему Пифагора.

Видео:Как получить из треугольника прямоугольник? Легко! | Геометрическая задачаСкачать

Подсказка 2

а) Проведите высоту или среднюю линию.

б) Наложите прямоугольник на квадрат, который должен получиться, и проведите «диагональ».

в) Приложите квадраты друг к другу, на стороне большего квадрата отмерьте отрезок, равный длине меньшего квадрата, после чего соедините ее с «противоположными» вершинами каждого из квадратов (см. рис. 1).

Видео:Как разрезать прямоугольник 9 на 16 на две части, чтобы из них можно составить квадратСкачать

Решение

а) Пусть дан произвольный треугольник ABC. Проведём среднюю линию MN параллельно стороне AB, а в полученном треугольнике CMN опустим высоту CD. Кроме того, опустим на прямую MN перпендикуляры AK и BL. Тогда легко видеть, что ∆AKM = ∆CDM и ∆BLN = ∆CDN как прямоугольные треугольники, у которых равны соответствующие пара сторон и пара углов.

Отсюда вытекает метод разрезания данного треугольника и последующего перекладывания кусочков. Именно, проведём разрезы по отрезкам MN и CD. После этого переложим треугольники CDM и CDN на место треугольников AKM и BLN соответственно, как показано на рис. 2. Мы получили прямоугольник AKLB, как того и требовалось в задаче.

Отметим, что этот метод не сработает, если один из углов CAB или CBA — тупой. Так происходит из-за того, что в этом случае высота CD не лежит внутри треугольника CMN. Но это не слишком страшно: если проводить среднюю линию параллельно самой длинной стороне исходного треугольника, то в отсечённом треугольнике мы будем опускать высоту из тупого угла, а она обязательно будет лежать внутри треугольника.

б) Пусть дан прямоугольник ABCD, стороны которого AD и AB равны a и b соответственно, причём a > b. Тогда площадь того квадрата, который мы хотим получить в итоге, должна быть равной ab. Следовательно, длина стороны квадрата составляет √ab, что меньше, чем AD, но больше, чем AB.

Построим квадрат APQR, равный искомому, таким образом, чтобы точка B лежала на отрезке AP, а точка R — на отрезке AD. Пусть PD пересекает отрезки BC и QR в точках M и N соответственно. Тогда легко видеть, что треугольники PBM, PAD и NRD подобны, а кроме того, BP = (√ab – b) и RD = (a – √ab). Значит,

Следовательно, ∆PBM = ∆NRD по двум сторонам и углу между ними. Также отсюда несложно вывести равенства PQ = MC и NQ = CD, а значит, ∆PQN = ∆MCD тоже по двум сторонам и углу между ними.

Из всех приведённых рассуждений вытекает метод разрезания. Именно, сначала мы откладываем на сторонах AD и BC отрезки AR и CM, длины которых равны √ab (о том, как строить отрезки вида √ab, см. задачу «Правильные многоугольники» — врезку в разделе «Решение»). Далее, восстанавливаем перпендикуляр к отрезку AD в точке R. Теперь осталось только отрезать треугольники MCD и NRD и переложить их так, как показано на рис. 3.

Отметим, что для того, чтобы этим методом можно было воспользоваться, требуется, чтобы точка M оказалась внутри отрезка BK (иначе не весь треугольник NRD содержится внутри прямоугольника ABCD). То есть необходимо, чтобы

Если это условие не выполняется, то сначала нужно сделать данный прямоугольник более широким и менее длинным. Для этого достаточно разрезать его пополам и переложить кусочки так, как показано на рис. 4. Ясно, что после проведения такой операции отношение большей стороны к меньшей уменьшится в четыре раза. А значит, проделывая её достаточно большое число раз, в конце концов мы получим прямоугольник, к которому применимо разрезание с рис. 3.

в) Рассмотрим два данных квадрата ABCD и DPQR, приложив их друг к другу так, чтобы они пересекались по стороне CD меньшего квадрата и имели общую вершину D. Будем считать, что PD = a и AB = b, причём, как мы уже отмечали, a > b. Тогда на стороне DR большего квадрата можно рассмотреть такую точку M, что MR = AB. По теореме Пифагора .

Пусть прямые, проходящие через точки B и Q параллельно прямым MQ и BM соответственно, пересекаются в точке N. Тогда четырёхугольник BMQN является параллелограммом, а так как у него все стороны равны, то это ромб. Но ∆BAM = ∆MRQ по трём сторонам, откуда следует (учитывая, что углы BAM и MRQ прямые), что . Таким образом, BMQN — квадрат. А так как его площадь равна (a 2 + b 2 ), то это именно тот квадрат, который нам надо получить.

Для того чтобы перейти к разрезанию, осталось заметить, что ∆BAM = ∆MRQ = ∆BCN = ∆NPQ. После этого то, что нужно сделать, становится очевидным: необходимо отрезать треугольники BAM и MRQ и переложить их так, как изображено на рис. 5.

Видео:Конверт треугольник как сделать. Военный конверт.Скачать

Послесловие

Прорешав предложенные задачи, читатель, вполне возможно, задумается над таким вопросом: а когда вообще можно один данный многоугольник разрезать прямыми линиями на конечное число таких кусочков, из которых складывается другой данный многоугольник? Немножко поразмыслив, он поймёт, что как минимум необходимо, чтобы площади этих многоугольников были равны. Таким образом, исходный вопрос превращается в следующий: правда ли, что если два многоугольника имеют одинаковую площадь, то один из них можно разрезать на кусочки, из которых складывается второй (это свойство двух многоугольников называется равносоставленностью)? Оказывается, это действительно так, и об этом нам говорит теорема Бойяи—Гервина, доказанная в 30-х годах XIX века. Более точно, её формулировка заключается вот в чём.

Теорема Бойяи—Гервина. Два многоугольника равновелики тогда и только тогда, когда они равносоставлены.

Идея доказательства этого замечательного результата заключается в следующем. Во-первых, мы будем доказывать не само утверждение теоремы, а то, что каждый из двух данных равновеликих многоугольников можно разрезать на кусочки, из которых складывается квадрат той же площади. Для этого сначала мы разобьём каждый из многоугольников на треугольники (такое разбиение называется триангуляцией). А потом каждый треугольничек превратим в квадратик (например, при помощи метода, описанного в пунктах а) и б) настоящей задачи). Осталось сложить из большого количества маленьких квадратиков один большой — это мы умеем делать благодаря пункту в).

Аналогичный вопрос для многогранников составляет одну из знаменитых проблем Давида Гильберта (третью), представленных им в докладе на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Характерно, что ответ на него оказался отрицательным. Уже рассмотрение двух таких простейших многогранников, как куб и правильный тетраэдр, показывает, что ни один из них не получается разрезать на конечное число частей так, чтобы из них составлялся другой. И это не случайно — подобного разрезания просто не существует.

Решение третьей проблемы Гильберта было получено одним из его учеников — Максом Деном — уже в 1901 году. Ден обнаружил инвариантную величину, которая не изменялась при разрезании многогранников на кусочки и складывании из них новых фигур. Однако эта величина оказалась различной для некоторых многогранников (в частности, куба и правильного тетраэдра). Последнее обстоятельство явно указывает на тот факт, что эти многогранники равносоставленными не являются.

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Как разделить прямоугольник на треугольник и шестиугольник?

Математика | 1 — 4 классы

Как разделить прямоугольник на треугольник и шестиугольник.

Видео:Из треугольника прямоугольник.#ShortsСкачать

Как разделить отрезком пятиугольник на треугольник и шестиугольник?

Как разделить отрезком пятиугольник на треугольник и шестиугольник.

Видео:8 класс, 7 урок, ПрямоугольникСкачать

Как разделить пятиугольник на треугольник и шестиугольник?

Как разделить пятиугольник на треугольник и шестиугольник.

Видео:Как это решить?Скачать

Как разрезать одной линией прямоугольник чтоб получились треугольник и шестиугольник?

Как разрезать одной линией прямоугольник чтоб получились треугольник и шестиугольник.

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Какая фигура не многоугольник?

Видео:[Интересные задачи] Разрезать фигуру на 4 равные частиСкачать

Начертить фигуру и проведи прямую линию так, чтобы она разделила эту фигуру на 2 треугольника и шестиугольник?

Начертить фигуру и проведи прямую линию так, чтобы она разделила эту фигуру на 2 треугольника и шестиугольник.

Видео:№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать

Одной чертой разделить четырехугольник на треугольник и шестиугольник?

Одной чертой разделить четырехугольник на треугольник и шестиугольник.

Видео:Задача, которую боятсяСкачать

Как прямо прямоугольник разрезать на треугольник и шестиугольник?

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Помогите пожалуйста с домашним заданием?

Помогите пожалуйста с домашним заданием!

1)Начерти такой шестиугольник (БУДЕТ НИЖЕ ФОТО) 2) раздели его на прямоугольник и два треугольника и найди его площадь наиболее рационально.

Видео:Хитрый периметрСкачать

Помогите пожалуйста с домашним заданием?

Помогите пожалуйста с домашним заданием!

Видео:Задача как разрезать колбасуСкачать

Помогите пожалуйста с домашним заданием?

Помогите пожалуйста с домашним заданием!

На странице вопроса Как разделить прямоугольник на треугольник и шестиугольник? из категории Математика вы найдете ответ для уровня учащихся 1 — 4 классов. Если полученный ответ не устраивает и нужно расшить круг поиска, используйте удобную поисковую систему сайта. Можно также ознакомиться с похожими вопросами и ответами других пользователей в этой же категории или создать новый вопрос. Возможно, вам будет полезной информация, оставленная пользователями в комментариях, где можно обсудить тему с помощью обратной связи.

Видео:Треугольники: остро-, тупо- и прямоугольныеСкачать

как из прямоугольника, с помощью двух отрезков, сделать восемь треугольников

Просто проведите 2 диагонали.
Если обозначить вершины 1,2,3,4 а точку пересечения 5, то получите треугольники: 1,2,5; 2,3,5; 3,4,5; 1,4,5; 1,2,3; 2,3,4; 1,3,4; 1,4,2.