С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
| Открыть онлайн калькулятор |
- 1. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и боковая сторона
- 2. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и угол при основании
- 3. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и угол при основании
- 4. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и высота
- 5. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и высота
- Все формулы для радиуса вписанной окружности
- Радиус вписанной окружности в треугольник
- Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
- Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
- Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника
1. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и боковая сторона
Пусть известны известны основание a и боковая сторона b равнобедренного треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной окружности через основание и боковую сторону.
 |
Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны a, b, c вычисляется из следующей формулы:
 | (1) |
где полупериметр p вычисляется из формулы:
 . | (2) |
Учитывая, что у равнобедренного треугольника боковые стороны равны (( small b=c )), имеем:
| ( small p=frac ) ( small =frac, ) | (3) |
| ( small p-a=frac-a ) ( small =frac, ) | (4) |
| ( small p-b=p-c=frac-b ) ( small =frac. ) | (5) |
Подставляя (3)-(5) в (1), получим формулу вычисления радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:
 , |
 . | (6) |
Пример 1. Известны основание a=13 и боковая сторона b=7 равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (6). Подставим значения ( small a,; b ) в (6):
 |
Ответ: 
2. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и угол при основании
Пусть известны основание a и прилежащий к ней угол β равнобедренного треугольника (Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
 |
Из центра вписанной окружности проведем перпендикуляры OH и OE к сторонам a=BC и b=AC, соответственно (r=OH=OE). Соединим точки C и O. Полученные прямоугольные треугольники OCE и OCH равны по гипотенузе и катету (см. статью Прямоугольный треугольник. Тогда ( small angle OCE=angle OCH=frac. ) Для прямоугольного треугольника OCH можно записать:
| ( small frac=frac<large frac>=mathrmfrac .) |
Откуда получим формулу радиуса вписанной в треугольник окружности:
| ( small r=frac cdot mathrmfrac .) | (8) |
| ( small r=frac cdot frac .) | (9) |
Пример 2. Известны основание ( small a=15 ) и ( small beta=30° ) равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанный в треугольник воспользуемся формулой (8) (или (9)). Подставим значения ( small a=15, ; beta=30° ) в (8):
 |
Ответ: 
3. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и угол при основании
Пусть известны боковая сторона b и угол при основании β равнобедренного треугольника (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
 |
Высота равнобедренного треугольника AH делит равнобедренный треугольник ABC на две равные части. Тогда для треугольника AHC справедливо равенство:
| ( small frac=frac<large frac>= cos beta .) |
| ( small a=2b cdot cos beta .) | (10) |
Подставляя (10) в (8), получим формулу вписанной в равнобедренный треугольник окружности:
| ( small r=frac cdot mathrmfrac=frac cdot mathrmfrac ) ( small =b cos beta cdot mathrmfrac ) |
| ( small r=b cdot cos beta cdot mathrmfrac ) | (11) |
Учитывая формулы половинного угла тригонометрических функций, формулу (11) можно записать и так:
| ( small r=b cdot frac ) | (12) |
Пример 3. Известны боковая сторона равнобедренного треугольника: ( small b=9 ) и угол при основании β=35°. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11) (или (12)).
Подставим значения ( small b=9 ,; beta=35° ) в (11):
 |
Ответ: 
4. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и высота
Пусть известны боковая сторона b и высота h равнобедренного треугольника (Рис.4). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
 |
Формула радиуса вписанной окружности через площадь и полупериметр имеет следующий вид (см. статью на странице Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн) :
 , | (13) |
 | (14) |
Так как треугольник AHC прямоугольный, то из Теоремы Пифагора имеем:
| ( small left( fracright)^2=b^2-h^2 ) |
| ( small a=2 cdot sqrt ) | (15) |
Площадь равнобедренного треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:
| ( small S=frac cdot a cdot h. ) | (16) |
Подставим (15) в (16):
| ( small S=h cdot sqrt ) | (17) |
Учитывая, что для равнобедренного треугольника b=c, а также равенство (15), получим:
| ( small p=frac ) ( small =frac ) ( small =frac+b )( small =b+ sqrt ) | (18) |
Подставляя, наконец, (17) и (18) в (13), получим формулу радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:
| ( small r=frac ) ( small =frac<large h cdot sqrt><large b+ sqrt> ) | (19) |
Пример 4. Боковая сторона и высота равнобедренного треугольника равны ( small b=7 ,) ( small h=5, ) соответственно. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник воспользуемся формулой (19). Подставим значения ( small b=7 ,) ( small h=5 ) в (19):
 |
Ответ: 
5. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и высота
Пусть известны основание a и высота h равнобедренного треугольника (Рис.5). Найдем формулу радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности.
 |
Из формулы (15) найдем b:
| ( small b^2-h^2=left( frac right)^2 ) |
| ( small b^2= frac +h^2 ) |
| ( small b= frac cdot sqrt) | (20) |
Подставляя (20) в (19), получим формулу радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник:
| ( small r=frac<large h cdot sqrt><large b+ sqrt>) ( small =frac<large h cdot sqrt<frac+h^2-h^2>><large frac cdot sqrt+ sqrt<frac+h^2-h^2>>) ( small = large frac< h cdot frac>< frac cdot sqrt+frac >) |
| ( small r=large frac<a+ sqrt>) | (21) |
Пример 5. Основание и высота равнобедренного треугольника равны ( small a=7 ,) ( small h=9, ) соответственно. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник воспользуемся формулой (21). Подставим значения ( small a=7 ,) ( small h=9 ) в (21):
 |
Ответ: 
Все формулы для радиуса вписанной окружности
Радиус вписанной окружности в треугольник
a , b , c — стороны треугольника
p — полупериметр, p=( a + b + c )/2
Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
a — сторона треугольника
r — радиус вписанной окружности
Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):
Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол
a — равные стороны равнобедренного треугольника
b — сторона ( основание)
α — угол при основании
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :
2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота
a — равные стороны равнобедренного треугольника
b — сторона ( основание)
h — высота
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника можно найти по одной из общих формул радиуса окружности, описанной около треугольника.
Используя свойства равнобедренного треугольника, можно также получить дополнительные формулы.
I. Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по формуле
Площадь равнобедренного треугольника через длину основание a и боковую сторону b можно найти по формуле
соответственно, формула для нахождения радиуса описанной окружности для равнобедренного треугольника принимает вид:
верна и для равнобедренного треугольника.
Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности:
где a — основание, b — боковая сторона, α — угол при вершине, β — угол при основании.
III. Радиус описанной окружности в равнобедренном треугольнике можно найти непосредственно, без использования общих формул.
Например, в прямоугольном треугольнике AOF AO=R, AF=b/2, ∠FAO=α/2. Отсюда
IV. В равнобедренном тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника, напротив его вершины.
Радиус находят по тем же формулам, что и для остроугольного треугольника.
V. В равнобедренном прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, радиус равен половине гипотенузы (то есть половине основания треугольника).