Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Прямые на координатной плоскости
Как провести параллельную прямую оси абсциссЛинейная функция
Как провести параллельную прямую оси абсциссГрафик линейной функции
Как провести параллельную прямую оси абсциссПрямые, параллельные оси ординат
Как провести параллельную прямую оси абсциссУравнения вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Линейная функция

Линейной функцией называют функцию, заданную формулой

y = kx + b,(1)

где k и b – произвольные (вещественные) числа.

При любых значениях k и b графиком линейной функции является прямая линия .

Число k называют угловым коэффициентом прямой линии (1), а число b – свободным членом .

Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

График линейной функции

При k > 0 линейная функция (1) возрастает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 1, 2 и 3.

Как провести параллельную прямую оси абсцисс
Рис.1
Как провести параллельную прямую оси абсцисс
Рис.2
Как провести параллельную прямую оси абсцисс
Рис.3

При k = 0 линейная функция (1) принимает одно и тоже значение y = b при всех значениях x , а её график представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, и изображен на рис. 4, 5 и 6.

Как провести параллельную прямую оси абсцисс
Рис.4
Как провести параллельную прямую оси абсцисс
Рис.5
Как провести параллельную прямую оси абсцисс
Рис.6

При k линейная функция (1) убывает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 7, 8 и 9.

k y = kx + b1 и y = kx + b2 ,

имеющие одинаковые угловые коэффициенты и разные свободные члены Как провести параллельную прямую оси абсцисс, параллельны .

имеющие разные угловые коэффициенты Как провести параллельную прямую оси абсцисс, пересекаются при любых значениях свободных членов.

y = kx + b1 и Как провести параллельную прямую оси абсцисс

перпендикулярны при любых значениях свободных членов.

Угловой коэффициент прямой линии

y = kx(2)

равен тангенсу угла φ , образованному (рис. 10) при повороте положительной полуоси абсцисс против часовой стрелки вокруг начала координат до прямой (2).

Как провести параллельную прямую оси абсцисс
Рис.10
Как провести параллельную прямую оси абсцисс
Рис.11
Как провести параллельную прямую оси абсцисс
Рис.12

Прямая (1) пересекает ось Oy в точке, ордината которой (рис. 11) равна b .

При Как провести параллельную прямую оси абсцисспрямая (1) пересекает ось Ox в точке, абсцисса которой (рис. 12) вычисляется по формуле

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Прямые, параллельные оси ординат

Прямые, параллельные оси Oy , задаются формулой

x = c ,(3)

где c – произвольное число, и изображены на рис. 13, 14, 15.

Как провести параллельную прямую оси абсцисс
Рис.13
Как провести параллельную прямую оси абсцисс
Рис.14
Как провести параллельную прямую оси абсцисс
Рис.15

Замечание 1 . Из рис. 13, 14, 15 вытекает, что зависимость, заданная формулой (3), функцией не является, поскольку значению аргумента x = c соответствует бесконечное множество значений y .;

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

Уравнение вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые

px + qy = r ,(4)

где p, q, r – произвольные числа.

В случае, когда Как провести параллельную прямую оси абсциссуравнение (4) можно переписать в виде (1), откуда вытекает, что оно задаёт прямую линию .

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

что и требовалось.

В случае, когда Как провести параллельную прямую оси абсциссполучаем:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

откуда вытекает, что уравнение (4) задает прямую линию вида (3).

В случае, когда q = 0, p = 0, уравнение (4) имеет вид

0 = r ,(5)

и при r = 0 его решением являются точки всей плоскости:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

В случае, когда Как провести параллельную прямую оси абсциссуравнение (5) решений вообще не имеет.

Замечание 2 . При любом значении r1 , не совпадающем с r прямая линия, заданная уравнением

px + qy = r1 ,(6)

параллельна прямой, заданной уравнением (4) .

Замечание 3 . При любом значении r2 прямая линия, заданная уравнением

qx + py = r2 ,(7)

перпендикулярна прямой, заданной уравнением (4) .

Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (2; – 3) и

  1. параллельной к прямой
    4x + 5y = 7 ;(8)
  2. перпендикулярной к прямой (8).

В соответствии с формулой (6), будем искать уравнение прямой, параллельной прямой (8), в виде

4x + 5y = r1 ,(9)

где r1 – некоторое число. Поскольку прямая (9) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Итак, уравнение прямой, параллельной к прямой

В соответствии с формулой (7), будем искать уравнение прямой, перпендикулярной прямой (8), в виде

– 5x + 4y = r2 ,(10)

где r2 – некоторое число. Поскольку прямая (10) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство

Видео:Уравнение параллельной прямойСкачать

Уравнение параллельной прямой

График линейной функции, его свойства и формулы

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Построение прямой, параллельной даннойСкачать

Построение прямой, параллельной данной

Понятие функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

  • Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
  • Графический способ — наглядно.
  • Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
  • Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Видео:Осевая симметрия. 6 класс.Скачать

Осевая симметрия. 6 класс.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

  • если х = 0, то у = -2;
  • если х = 2, то у = -1;
  • если х = 4, то у = 0;
  • и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

х024
y-2-10

Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

ФункцияКоэффициент «k»Коэффициент «b»
y = 2x + 8k = 2b = 8
y = −x + 3k = −1b = 3
y = 1/8x − 1k = 1/8b = −1
y = 0,2xk = 0,2b = 0

Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».

Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!

Видео:6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямые

Свойства линейной функции

  1. Область определения функции — множество всех действительных чисел.
  2. Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
  3. График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
    Как провести параллельную прямую оси абсцисс
  4. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
  5. Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
    b ≠ 0, k = 0, значит y = b — четная;
    b = 0, k ≠ 0, значит y = kx — нечетная;
    b ≠ 0, k ≠ 0, значит y = kx + b — функция общего вида;
    b = 0, k = 0, значит y = 0 — как четная, так и нечетная функция.
  6. Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
  7. График функции пересекает оси координат:
    ось абсцисс ОХ — в точке (-b/k, 0);
    ось ординат OY — в точке (0; b).
  8. x=-b/k — является нулем функции.
  9. Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
    Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.
  10. Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке (-∞, — b /k) и положительные значения на промежутке (- b /k, +∞)
    При k b /k, +∞) и положительные значения на промежутке (-∞, — b /k).
  11. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтому k называют угловым коэффициентом.
    Если k > 0, то этот угол острый, если k

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1 /3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

  • если k > 0, то график наклонен вправо;
  • если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
  • если b 1 /2x + 3, y = x + 3.

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь рассмотрим графики функций y = -2x + 3, y = — 1 /2x + 3, y = -x + 3.

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Рассмотрим графики функций y = 2x + 3, y = 2x, y = 2x — 2.

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

  • график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);
  • график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в точке начала координат (0; 0);
  • график функции y = 2x — 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

  • С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
    Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
  • С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = — b /k.
    Координаты точки пересечения с осью OX: (- b /k; 0)

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Видео:Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно OX, OY или через начало координат. Урок 5. 8 клСкачать

Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно OX, OY или через начало координат. Урок 5. 8 кл

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

  • В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
    Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
    Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
    2 = -4(-3) + b
    b = -10
  • Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10
    Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
    Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

  1. Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
    Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.
  2. Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений. Как провести параллельную прямую оси абсцисс
  3. Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
    Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Содержание:

Общее уравнение прямой:

Пусть на плоскости дана декартова система координат. Движение точки с произвольными координатами х и у по этой плоскости порождает линию.

Определение: Любое соотношение Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Определение: Порядок линии определяется по высшему показателю степени переменных х и у или по сумме показателей степени в произведении этих величин.

Пример:

а) 2х + Зу-5 = 0 — линия первого порядка; точка A(l; 1) удовлетворяет этому соотношению, а точка, например, В(1; 0) — ему не удовлетворяет;

б) Как провести параллельную прямую оси абсцисс

в) Как провести параллельную прямую оси абсцисс— линии второго порядка.

Рассмотрим другое определение линии:

Определение: Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x; у)=0, называется линией, а само уравнение F(x; у) = 0 — уравнением линии.

Определение: Общим уравнением прямой называется уравнение первого порядка вида Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Рассмотрим частные случаи этого уравнения:

а) С = 0; Как провести параллельную прямую оси абсцисс— прямая проходит начало системы координат (Рис. 20):

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Рис. 20. Прямая, проходящая через начало координат.

б) 5 = 0; Ах+С=0 — прямая проходит параллельно оси ординат Оу (Рис. 21):

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Рис. 21. Прямая, проходящая параллельно оси ординат Оу.

в) А = 0; Ву+С=0 — прямая проходит параллельно оси абсцисс Ох (Рис. 22):

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Рис. 22. Прямая, проходящая параллельно оси абсцисс Ох.

Видео:Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать

Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | Математика

Виды уравнений прямой

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть дано общее уравнение прямой Как провести параллельную прямую оси абсциссв котором коэффициент Как провести параллельную прямую оси абсциссРазрешим общее уравнение прямой относительно переменной Как провести параллельную прямую оси абсциссОбозначим через Как провести параллельную прямую оси абсцисстогда уравнение примет вид Как провести параллельную прямую оси абсцисскоторое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Выясним геометрический смысл параметров Как провести параллельную прямую оси абсциссПри х = 0, у = b, т.е. параметр b показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета. При Как провести параллельную прямую оси абсцисст.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок к Как провести параллельную прямую оси абсцисс(Рис. 23, для определенности принято, что Как провести параллельную прямую оси абсцисс):

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Рис. 23. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

Из рисунка видно, что Как провести параллельную прямую оси абсцисст.е. угловой коэффициент k определяет тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс Ох.

2. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть в общем уравнении прямой параметр Как провести параллельную прямую оси абсциссВыполним следующие преобразования Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Обозначим через Как провести параллельную прямую оси абсцисстогда последнее равенство перепишется в виде Как провести параллельную прямую оси абсцисс. которое называется уравнением прямой в отрезках. Выясним геометрический смысл величин m и n (Рис. 24). При х=0, у=n, т.е. параметр n показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета.

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Рис. 24. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

При у=о, х=m, т.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок m. Следовательно, прямая проходит через 2 точки: Как провести параллельную прямую оси абсцисс

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Пусть дано общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0, которая проходит через две известные точки Как провести параллельную прямую оси абсциссТак как точки Как провести параллельную прямую оси абсцисслежат на прямой, то их координаты удовлетворяют общему уравнению прямой, т.е. выполняются равенства Как провести параллельную прямую оси абсциссВычтем первое из этих равенств из общего уравнения прямой и из второго равенства:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Пусть Как провести параллельную прямую оси абсцисстогда полученные равенства можно преобразовать к виду Как провести параллельную прямую оси абсциссОтсюда находим, что Как провести параллельную прямую оси абсциссили Как провести параллельную прямую оси абсциссПолученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки Как провести параллельную прямую оси абсцисси Как провести параллельную прямую оси абсцисс

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку Как провести параллельную прямую оси абсцисспараллельно заданному вектору Как провести параллельную прямую оси абсцисс(каноническое уравнение прямой). Пусть прямая проходит через заданную точку Как провести параллельную прямую оси абсцисспараллельно вектору Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Определение: Вектор Как провести параллельную прямую оси абсциссназывается направляющим вектором прямой. Возьмем на прямой произвольную точку Как провести параллельную прямую оси абсцисси создадим вектор Как провести параллельную прямую оси абсцисс Как провести параллельную прямую оси абсцисс(Рис. 25):

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Рис. 25. Прямая, проходящая через данную точку параллельно направляющему вектору.

В силу того, что вектора Как провести параллельную прямую оси абсциссколлинеарны, то воспользуемся первым условием коллинеарности: отношения соответствующих проекций равны между собой Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Определение: Полученное уравнение называется либо уравнением, проходящим через заданную точку параллельно направляющему вектору, либо каноническим уравнением прямой.

5. Параметрическое уравнение прямой. Если каждую дробь в каноническом уравнении прямой приравнять некоторому параметру t, то получим параметрическое уравнение прямой Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Основные задачи о прямой на плоскости

1. Координаты точки пересечения двух прямых. Пусть две прямые заданы общими уравнениями Как провести параллельную прямую оси абсциссТребуется найти координаты точки пересечения этих прямых. Для того чтобы вычислить координаты точки пересечения М(х; у), необходимо решить вышеприведенную систему линейных алгебраических уравнений, так как координаты точки М(х; у) должны одновременно удовлетворять уравнениям прямых Как провести параллельную прямую оси абсцисс

2. Угол между двумя пересекающимися прямыми. Пусть даны две пересекающиеся прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Требуется найти угол между этими прямыми (Рис. 26):

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Рис. 26. Угол между двумя прямыми.

Из рисунка видно, что Как провести параллельную прямую оси абсциссВычислимКак провести параллельную прямую оси абсцисс

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Наименьший угол между пересекающимися прямыми определим формулой Как провести параллельную прямую оси абсциссИз полученной формулы видно:

  • а) если прямые Как провести параллельную прямую оси абсцисспараллельны или совпадаютКак провести параллельную прямую оси абсциссто Как провести параллельную прямую оси абсциссОтсюда следует условие параллельности прямых: угловые коэффициенты прямых равны между собой Как провести параллельную прямую оси абсцисс
  • б) если прямые Как провести параллельную прямую оси абсциссперпендикулярныКак провести параллельную прямую оси абсциссто Как провести параллельную прямую оси абсциссне существует.

Отсюда следует условие перпендикулярности прямых: угловые коэффициенты прямых связаны между собой соотношением Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Пример:

Определить угол между прямыми Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Решение:

В силу того, что Как провести параллельную прямую оси абсциссчто прямые параллельны, следовательно, Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Пример:

Выяснить взаимное расположение прямых Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Решение:

Так как угловые коэффициенты Как провести параллельную прямую оси абсцисси связаны между собой соотношением Как провести параллельную прямую оси абсциссто прямые взаимно перпендикулярны.

3. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой определятся вдоль перпендикуляра, опущенного из точки Как провести параллельную прямую оси абсциссна прямую Как провести параллельную прямую оси абсциссЕсли прямая Как провести параллельную прямую оси абсциссзадана общим уравнением, то расстояние от точки до прямой определяется формулой: Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Если прямая Как провести параллельную прямую оси абсциссзадана уравнением прямой с угловым коэффициентом, то расстояние от точки до прямой определяется формулой: Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Видео:Параллельные прямые циркулемСкачать

Параллельные прямые циркулем

Прямая линия на плоскости и в пространстве. Системы координат на плоскости

Рассмотрим произвольную прямую. Выберем на этой прямой начальную точку, обозначаемую буквой О, определим положительное направление, выберем некоторый отрезок в качестве линейной единицы, благодаря чему прямая станет осью. После этого условимся называть координатой любой точки М на этой оси величину отрезка Как провести параллельную прямую оси абсцисс. Точку О будем называть началом координат; ее собственная координата равна нулю. Так вводятся координаты на прямой.

Декартова прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке, т.е. указано, какая из них считается первой, а какая — второй. Точка пересечения осей называется началом координат и обозначается через О, а сами оси — координатными осями, причем первую из них называют также осью абсцисс и обозначают через Ох, а вторую — осью ординат, обозначаемую Оу.

Пусть М- произвольная точка плоскости. Спроектируем точку M на координатные оси, т.е., проведем через М перпендикуляры к осям Ох и Оу; основания этих перпендикуляров обозначим соответственно Как провести параллельную прямую оси абсцисс.

Координатами точки М в заданной системе называются числа Как провести параллельную прямую оси абсцисс, обозначающие величину отрезка Как провести параллельную прямую оси абсциссоси абсцисс и величину отрезка Как провести параллельную прямую оси абсциссоси ординат, где х — первая координата, а у- вторая координата точки М (рис.7.1). Символически это записывается в виде М(х, у). Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Если задана декартова прямоугольная система координат, то каждая точка М плоскости в этой системе имеет одну вполне определенную пару координат х, у — М(х, у). И обратно, для любых х и у на плоскости найдется одна вполне определенная точка с абсциссой х и ординатой у.

На рис. 7.2 положение точки Р полностью определяется ее координатами (2;3). Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Две координатные оси разделяют всю плоскость на четыре части, называемыми координатными плоскостями, определяемыми соответственно:

  • первая координатная четверть: х>0, у>0;
  • вторая координатная четверть: хКак провести параллельную прямую оси абсцисс0, у>0;
  • третья координатная четверть: хКак провести параллельную прямую оси абсцисс0, уКак провести параллельную прямую оси абсцисс0;
  • четвертая координатная четверть: х>0, уКак провести параллельную прямую оси абсцисс0.

Декартова прямоугольная система координат является наиболее употребительной. Однако, в отдельных случаях могут оказаться более удобными или косоугольная декартова или полярная системы координат.

Косоугольная система координат от прямоугольной декартовой системы координат отличается только произвольным углом между осями координат.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча OA, называемого полярной осью, масштаба для измерения длин и направления- вращения в плоскости, считаемого положительным (рис. 7.3). Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Каждая точка М в полярной системе координат задается парой координат Как провести параллельную прямую оси абсцисс.

Декартова прямоугольная система координат связана с полярной системой формулами: Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Основным инструментом аналитической геометрии служит формула для вычисления расстояния между двумя точкамиКак провести параллельную прямую оси абсцисси Как провести параллельную прямую оси абсцисс. Числа Как провести параллельную прямую оси абсциссмогут быть любыми действительными числами, положительными, отрицательными или 0. На рис. 7.4 все числа выбраны положительными. Проведем через точку Как провести параллельную прямую оси абсциссгоризонтальную прямую, а через точку Как провести параллельную прямую оси абсцисс— вертикальную. Пусть R -точка их пересечения. Тогда по теореме Пифагора

Как провести параллельную прямую оси абсциссили Как провести параллельную прямую оси абсцисс(7.1.1)

Это и есть формула для вычисления расстояния между двумя точками. Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Важно иметь в виду, что эта формула остается в силе независимо от того, как расположены точки Как провести параллельную прямую оси абсцисс. Например, если точка Как провести параллельную прямую оси абсциссрасположена ниже точки Как провести параллельную прямую оси абсцисси справа от нес, как на рис. 7.5, то отрезок Как провести параллельную прямую оси абсциссможно считать равныму Как провести параллельную прямую оси абсцисс.

Расстояние между точками, вычисляемое по формуле (7.1.1), от этого не изменится, так как Как провести параллельную прямую оси абсцисс. Заметим, что, так как величина Как провести параллельную прямую оси абсциссв этом случае отрицательна, то разность Как провести параллельную прямую оси абсциссбольше, чемКак провести параллельную прямую оси абсцисс

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Если обозначить через Как провести параллельную прямую оси абсциссугол, образованный положительным направлением оси абсцисс и отрезком Как провести параллельную прямую оси абсцисс, то формулы

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Из формул (7.1.2) получаем формулы:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

позволяющие определить полярный угол отрезка по координатам его конца и начала. Кроме того, если u — произвольная ось, а Как провести параллельную прямую оси абсцисс— угол наклона отрезка Как провести параллельную прямую оси абсцисск этой оси, то проекция отрезка на ось равна его длине, умноженной на косинус угла наклона к этой оси:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс.

Пусть на плоскости даны две произвольные точки, из которых одна считается первой, другая — второй. Обозначим их в заданном порядке через Как провести параллельную прямую оси абсцисс. Проведем через данные точки ось u. Пусть М- еще одна точка оси и, расположенная на ней как угодно, но не совпадает с точкой Как провести параллельную прямую оси абсцисс.

Определение 7.1.1. Число Как провести параллельную прямую оси абсциссопределяемое равенством Как провести параллельную прямую оси абсциссгде Как провести параллельную прямую оси абсцисс— величины направленных отрезков Как провести параллельную прямую оси абсциссоси u, называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок Как провести параллельную прямую оси абсцисс.

Число Как провести параллельную прямую оси абсциссне зависит от направления оси и от масштаба, т.к. при изменении этих параметров будут одновременно меняться величины Как провести параллельную прямую оси абсцисс. Кроме того, Как провести параллельную прямую оси абсциссбудет положительно, если Мнаходится между точками Как провести параллельную прямую оси абсциссесли же М вне отрезка Как провести параллельную прямую оси абсцисс, то Как провести параллельную прямую оси абсцисс-отрицательное.

Задача о делении отрезка в данном отношении формулируется следующим образом:

Считая известными координаты двух точек Как провести параллельную прямую оси абсцисси Как провести параллельную прямую оси абсцисс Как провести параллельную прямую оси абсцисси отношение Как провести параллельную прямую оси абсциссв котором некоторая неизвестная точка М делит отрезок Как провести параллельную прямую оси абсцисс, найти координаты точки М.

Решение задачи определяется следующей теоремой.

Теорема 7.1.1. Если точка М(х, у) делит направленный отрезок Как провести параллельную прямую оси абсциссв отношении Как провести параллельную прямую оси абсциссто координаты этой точки выражаются формулами:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Доказательство:

Спроектируем точки Как провести параллельную прямую оси абсциссна ось Ох и обозначим их проекции соответственно через Как провести параллельную прямую оси абсцисс(рис. 7.6). На основании теоремы о пропорциональности отрезков прямых, заключенных между параллельными прямыми (Если две прямые пересечь тремя параллельными прямыми, то отношение двух отрезков, получившихся на одной прямой, равно отношению двух соответствующих отрезков другой прямой), имеем:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Подставив в (7.1.4) величины отрезков Как провести параллельную прямую оси абсцисси

Как провести параллельную прямую оси абсцисс, получимКак провести параллельную прямую оси абсцисс

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Разрешая это уравнение относительно х, находим: Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Вторая формула (7.1.3) получается аналогично. Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Если Как провести параллельную прямую оси абсцисс— две произвольные точки и М(х,y) —

середина отрезка Как провести параллельную прямую оси абсцисс, то Как провести параллельную прямую оси абсцисс. Эти формулы

получаются из (7.1.3) при Как провести параллельную прямую оси абсцисс.

Основная теорема о прямой линии на плоскости

Предположим, что в данной плоскости задана прямоугольная система координат и некоторая прямая l.

Всякий ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется её направляющим вектором. Всякие два направляющих вектора Как провести параллельную прямую оси абсциссодной и той же прямой коллинеарны между собой, т.е.

Как провести параллельную прямую оси абсцисс, .

Для всех направляющих векторов Как провести параллельную прямую оси абсциссданной прямой, не параллельной оси ординат, отношение Как провести параллельную прямую оси абсциссординаты вектора к его абсциссе имеет одно и то же постоянное значение k, называемое угловым коэффициентом данной прямой.

Действительно, если Как провести параллельную прямую оси абсцисс— два направляющих вектора данной прямой /, то векторы коллинеарны, т.е.

Как провести параллельную прямую оси абсциссих координаты пропорциональны: Как провести параллельную прямую оси абсцисса значит Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Угловой коэффициент прямой можно определить и по-другому: как тангенс угла, образованного положительным направлением оси абсцисс и заданной прямой.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 7.3,1. Всякая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени с двумя переменными х и у; и обратно, всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяет некоторую прямую на плоскости.

Доказательство: Пусть В = (О,b>- точка пересечения прямой L с осью у, а Р = (х,у) — любая другая точка на этой прямой. Проведем через точку В прямую, параллельную оси х, а через точку Р — прямую, параллельную оси у; проведем также прямую х = 1. Пусть k -угловой коэффициент прямой L (см. рис. 7.7). Случай к =0 не исключается.

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Так как треугольники BSQ и BRP подобны, то Как провести параллельную прямую оси абсциссили после упрощения

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Следовательно, если точка Р принадлежит прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (7.2.1). Обратно, нетрудно показать, что если х и у связаны уравнением (7.2.1), то точка Р принадлежит прямой L, проходящей через точку (0;b) и имеющей угловой коэффициент k.

Таким образом, уравнение любой прямой можно записать в виде:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс(не вертикальная прямая) Как провести параллельную прямую оси абсцисс, (7.2.2), х = а (вертикальная прямая) (7.2.3).

В обоих случаях мы получаем уравнение первой степени. Кроме того, каждое уравнение первой степени ио х и у можно привести к виду (7.2.2) либо (7.2.3).

Докажем обратное утверждение. Предположим, что задано произвольное уравнение первой степени:

Если Как провести параллельную прямую оси абсцисс, мы можем записать уравнение (7.2.4) в виде

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

т.е. в виде (7.2.2). При В = 0 уравнение (7.2.3) сводится к уравнению

или Как провести параллельную прямую оси абсцисс, т.е. к уравнению вида (7.2.3).

Таким образом, любая прямая описывается уравнением первой степени с неизвестными х и у, и обратно, каждое уравнение первой степени с неизвестными х и v определяет некоторую прямую. Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Уравнение (7.2.4) называется общим уравнением прямой. Так

как Как провести параллельную прямую оси абсцисс, то вектор Как провести параллельную прямую оси абсциссявляется направляющим вектором прямой (7.2.4). Вектор Как провести параллельную прямую оси абсциссперпендикулярен прямой (7.2.4) и называется нормальным вектором. Возможны частные случаи:

1. Как провести параллельную прямую оси абсциссили у =b, где Как провести параллельную прямую оси абсцисс, -это уравнсние прямой, параллельной оси Ох.

2. Как провести параллельную прямую оси абсциссили х = а, где Как провести параллельную прямую оси абсцисс, — это уравнение прямой, параллельной оси Оу.

3. Как провести параллельную прямую оси абсцисс— это уравнение прямой, проходящей через начало координат.

4. А=0; С=0; Ву-0 или у = 0 — это уравнение оси абсцисс Ох.

5. В=0;С=0; Ах=0 или х = 0 — это уравнение оси ординат Оу.

Различные виды уравнений прямой на плоскости

Положение прямой на плоскости относительно системы координат можно задать различными способами. Например, прямая однозначно определяется: двумя различными точками; точкой и направляющим вектором; отрезками, отсекаемыми прямой на осях координат и др. Однако, обязательно, должна быть точка, лежащая на этой прямой.

Пусть в уравнении (7.2.4) ни один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Перенесем свободные члены вправо и разделим на (-С). Получим уравнение прямой в отрезках:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

где Как провести параллельную прямую оси абсцисс-длины отрезков, отсекаемых прямой l на осях координат, взятые с соответствующими знаками (в зависимости от того, положительные или отрицательные полуоси координат пересекает прямая l).

Рассмотрим прямую l на плоскости и выберем на этой прямой какие-нибудь точки Как провести параллельную прямую оси абсцисс. Тогда вектор Как провести параллельную прямую оси абсциссявляется направляющим вектором этой прямой l.

Геометрическое место концов всевозможных векторов вида Как провести параллельную прямую оси абсциссгде Как провести параллельную прямую оси абсцисспробегает все вещественные числовые значения, определяет прямую l. Уравнение (7.3.2) называется уравнением прямой в векторной форме (векторным уравнением прямой). Записав векторное уравнение (7.3.2) в координатной форме Как провести параллельную прямую оси абсцисси воспользовавшись определением равенства векторов, получим параметрические уравнения прямой:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

где Как провести параллельную прямую оси абсцисс— координаты направляющего вектора.

Система (7.3.3) равносильна уравнению

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

называемым каноническим уравнением прямой на плоскости. Из системы (7.3.3) можно получить уравнение

Как провести параллельную прямую оси абсцисскоторое называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Если абсциссы точек Как провести параллельную прямую оси абсциссодинаковы, т. е. Как провести параллельную прямую оси абсциссто прямая Как провести параллельную прямую оси абсцисспараллельна оси ординат и ее уравнение имеет вид: х=а.

Если ординаты точек Как провести параллельную прямую оси абсциссодинаковы, т. е. Как провести параллельную прямую оси абсцисс, то прямая Как провести параллельную прямую оси абсцисспараллельна оси абсцисс и ее уравнение имеет вид: у=b. Уравнение (7.3.5) можно преобразовать к виду:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

угловой коэффициент прямой.

Уравнение (7.3.6) называется уравнением прямой, проходящей через точку Как провести параллельную прямую оси абсцисси имеющей угловой коэффициент k.

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Решение:

I способ. Воспользуемся уравнением (7.3.5). Подставив известные координаты точек Как провести параллельную прямую оси абсцисс, получим искомое уравнение прямой:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

II способ. Зная координаты точек Как провести параллельную прямую оси абсцисспо формуле (7.3.7) можно найти угловой коэффициент искомой прямой:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Тогда, воспользовавшись уравнением (7.3.6), найдём искомое уравнение прямой: Как провести параллельную прямую оси абсцисс.

Заметим, что составленное уравнение можно записать как уравнение прямой в отрезках, разделив все члены уравнения

Как провести параллельную прямую оси абсцисс.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть на плоскости заданы две прямые общими уравнениями Как провести параллельную прямую оси абсцисс. Угол между ними можно вычислить как угол между направляющими векторами

Как провести параллельную прямую оси абсциссэтих прямых:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Если прямые параллельныКак провести параллельную прямую оси абсцисс, то их нормальные векторы Как провести параллельную прямую оси абсциссколлинеарны, а это значит, что их соответствующих координаты пропорциональны:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

И обратно, если координаты при неизвестных х и у пропорциональны, то прямые параллельны. Следовательно, можно сформулировать следующую теорему:

Теорема 7.4.1. Две прямые Как провести параллельную прямую оси абсцисспараллельны тогда и только тогда, когда в их уравнениях коэффициенты при соответствующих переменных х и у пропорциональны.

Например, прямые Как провести параллельную прямую оси абсцисспараллельны,

т. к.Как провести параллельную прямую оси абсцисс.

Если прямые перпендикулярны Как провести параллельную прямую оси абсцисс, то их нормальные векторы Как провести параллельную прямую оси абсцисстоже перпендикулярны, а это значит, что скалярное произведение этих векторов равно нулю: Как провести параллельную прямую оси абсцисс, или в координатной форме

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Справедливо и обратное утверждение: если скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, то прямые /, и /2 перпендикулярны.

Теорема 7.4.2. Две прямые Как провести параллельную прямую оси абсциссперпендикулярны тогда и только тогда, когда коэффициенты при переменных х и у удовлетворяют равенству Как провести параллельную прямую оси абсцисс.

Например, прямые Как провести параллельную прямую оси абсциссперпендикулярны, так как

Как провести параллельную прямую оси абсцисс.

Если прямые заданы уравнениями вида Как провести параллельную прямую оси абсцисси Как провести параллельную прямую оси абсцисс, то угол между ними находится по формуле:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Для того чтобы прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Как провести параллельную прямую оси абсцисс(7.4.5)

а для их перпендикулярности необходимо и достаточно, чтобы

Как провести параллельную прямую оси абсцисс(7.4.6)

Пример:

Найти проекцию точки Р (2, 3) на прямую, проходящую через точки А (4, 3) и В (6, 5).

Решение:

Проекция точки Р на прямую АВ — это точка пересечения перпендикуляра, проведенного к этой прямой из точки Р.

Вначале составим уравнение прямой АВ. Воспользовавшись уравнением (7.3.5), последовательно получаем:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Для того, чтобы составить уравнение перпендикуляра, проведенного из точки Р на прямую АВ, воспользуемся уравнением (7.3.6). Угловой коэффициент k определим из условия перпендикулярности двух прямых, т. е. из формулы (7.4.6). Поскольку Как провести параллельную прямую оси абсцисс,то из равенства Как провести параллельную прямую оси абсцисснаходим угловой коэффициент перпендикуляра Как провести параллельную прямую оси абсцисс. Подставляя найденное значение углового коэффициента Как провести параллельную прямую оси абсцисси координаты точки Р (2, 3) в уравнение (7.3.6), получаем:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс.

Решая систему уравнений, составленную из уравнений прямой АВ и перпендикуляра

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

найдём координаты проекции точки Р на прямую АВ: х=3 у=2, т.е.

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Пример:

Издержки на производство шести автомобилей составляют 1000 млн. ден. ед., а на производство двадцати автомобилей- 15000 млн. ден. ед. Определить издержки на производство 22 автомобилей при условии, что функция К(х) издержек производства линейна, т.е. имеет вид у = ах + b .

Решение:

Обозначим через х количество автомобилей, а через y- издержки производства. Тогда из условия задачи следует, что заданы координаты двух точек- А(6; 1000) и В(20; 15000), принадлежащих линейной функции у = ах +b. Воспользовавшись уравнением (7.3.6 ), найдём искомое уравнение:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Подставив в найденную функцию х = 22, определим издержки на производство 22 автомобилей:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс(млн. дсн. ед)

Пример:

Фирма продаёт свои изделия по 10 ден. ед. за единицу. Затраты на изготовление одного изделия составляют 6 ден. ед. Непроизводственные расходы фирмы равны 300 ден. ед. в год. Определить годовой выпуск продукции, необходимой для того, чтобы фирма работала с прибылью.

Решение:

Обозначим через х объём произведенной продукции. Тогда доход фирмы равен D = 10x. Затраты на производство определяются уравнением: Как провести параллельную прямую оси абсцисс. Найдём точку безубыточности. т.е. значение x, при котором доход фирмы равен затратам: D=K, т.е. 10x = 6x + 300. Решив это уравнение, получим значение объёма производства, при котором фирма работает без убытка: х=75. Следовательно, если объём производства Как провести параллельную прямую оси абсциссто фирма будет работать с прибылью.

Прямая линия в пространстве

Системы координат в пространстве

В трехмерном пространстве система координат определяется тремя взаимно перпендикулярными осями, проходящими через начало координат О. Снабдив каждую ось единицей измерения длин, можно задать тремя упорядоченными числами (называемыми координатами) положение точки в пространстве. Например, точка Р задается упорядоченной тройкой чисел Р( 1,2,3).

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Пусть задано пространствоКак провести параллельную прямую оси абсцисс. Важнейшим понятием пространственной аналитической геометрии является понятие уравнения поверхности. Всякая же линия рассматривается как пересечение двух поверхностей. Мы остановимся на изучении поверхности первого порядка — плоскости и прямой линии.

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо сё фиксированной точки Как провести параллельную прямую оси абсцисси вектора Как провести параллельную прямую оси абсцисспараллельного этой прямой.

Вектор Как провести параллельную прямую оси абсцисс, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая L проходит через точку Как провести параллельную прямую оси абсцисс, лежащую на прямой, параллельно вектору Как провести параллельную прямую оси абсциссКак провести параллельную прямую оси абсцисс(см. рис. 7.9).

Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z) на этой прямой. Из рисунка видно, что вектор Как провести параллельную прямую оси абсцисспараллельный (коллинеарный) вектору Как провести параллельную прямую оси абсцисс. Поскольку векторы Как провести параллельную прямую оси абсциссколлинеарны, то найдётся такое число t, что Как провести параллельную прямую оси абсцисс, где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки М на прямой.

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Уравнение Как провести параллельную прямую оси абсцисс(7.5.1) называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки M, лежащей на прямой. Это уравнение можно записать в виде: Как провести параллельную прямую оси абсцисс(см. рис. 7.9). Запишем это уравнение в координатной форме. Подставив координаты векторов Как провести параллельную прямую оси абсциссв уравнение (7.5.1) и воспользовавшись определением алгебраических операций над векторами и равенством векторов, получим уравнения:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты х, у и z и точка М перемещается по прямой.

Разрешив уравнения (7.5.2) относительно t

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

и приравняв найденные значенияt получим канонические уравнения прямой:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Если прямая L в пространстве задается двумя своими точками Как провести параллельную прямую оси абсцисс,то вектор

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

можно взять в качестве направляющего вектора и тогда уравнения (7.5.3) преобразуются в уравнения

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

где Как провести параллельную прямую оси абсцисс. (7.5.4)- это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Пример:

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точкуКак провести параллельную прямую оси абсцисс, перпендикулярно плоскости Oxz.

Решение:

В качестве направляющего вектора Как провести параллельную прямую оси абсциссискомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: Как провести параллельную прямую оси абсцисс• Подставив значения координат точки Как провести параллельную прямую оси абсцисси значения координат направляющего вектора в уравнения (7.5.2), получаем: Как провести параллельную прямую оси абсцисс.

Пример:

Записать уравнения прямой Как провести параллельную прямую оси абсциссв параметрическом виде.

ОбозначимКак провести параллельную прямую оси абсцисс. Тогда Как провести параллельную прямую оси абсцисс,

Как провести параллельную прямую оси абсцисс, откуда следует, что Как провести параллельную прямую оси абсцисс.

Замечание. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например, оси Ох. Тогда направляющий вектор Как провести параллельную прямую оси абсцисс

прямой перпендикулярный оси Ох, имеет координаты (о; n; р) и параметрические уравнения прямой примут вид Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Однако и в этом случае формально можно записывать канонические уравнения прямой в виде Как провести параллельную прямую оси абсцисс. Таким образом, если в знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, канонические уравнения

Как провести параллельную прямую оси абсциссопределяют прямую перпендикулярную осям О х и О у или параллельную оси О z.

Пример:

Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку Как провести параллельную прямую оси абсцисспараллельно вектору Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Решение:

Подставив координаты точки Как провести параллельную прямую оси абсцисс, и вектора Как провести параллельную прямую оси абсциссв (7.5.2) и (7.5.3), находим искомые канонические уравнения:

.Как провести параллельную прямую оси абсцисси параметрические уравнения:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Пример:

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(2, -1,4) параллельно

а) прямой Как провести параллельную прямую оси абсцисс;

Решение:

а) Поскольку направляющий вектор заданной прямой

Как провести параллельную прямую оси абсциссявляется направляющим вектором искомой прямой, то

подставив координаты точки М(2; -1; 4) и вектора Как провести параллельную прямую оси абсциссв (7.5.3) получим уравнение искомой прямой: Как провести параллельную прямую оси абсцисс

б) Поскольку единичный вектор оси О х: Как провести параллельную прямую оси абсциссбудет направляющим вектором искомой прямой, то подставив в уравнение

(7.5.3) координаты точки М(2; -1; 4 ) и вектора Как провести параллельную прямую оси абсцисс, получаем:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

в) В качестве направляющего вектора Как провести параллельную прямую оси абсциссискомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: Как провести параллельную прямую оси абсцисс. В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем Как провести параллельную прямую оси абсциссили Как провести параллельную прямую оси абсцисс.

г) Единичный вектор оси Oz : Как провести параллельную прямую оси абсциссбудет направляющим вектором искомой прямой. В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Решение:

Подставив координаты точек Как провести параллельную прямую оси абсциссв уравнение

(7.5.4), получим:Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку параллельно данным. Пусть в пространстве заданы две прямые:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Очевидно, что за угол Как провести параллельную прямую оси абсциссмежду прямыми можно принять угол между их направляющими векторами Как провести параллельную прямую оси абсцисси

Как провести параллельную прямую оси абсцисс, косинус которого находится по формуле:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторовКак провести параллельную прямую оси абсцисс:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда пропорциональны соответствующие координаты направляющих векторов:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

т.е. Как провести параллельную прямую оси абсцисспараллельна Как провести параллельную прямую оси абсцисстогда и только тогда, когда Как провести параллельную прямую оси абсцисспараллелен

Как провести параллельную прямую оси абсцисс.

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих координат направляющих векторов равна нулю: Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Пример:

Найти угол между прямыми Как провести параллельную прямую оси абсцисси

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Решение:

Воспользуемся формулой (7.6.1), в которую подставим координаты направляющих векторов Как провести параллельную прямую оси абсцисси

Как провести параллельную прямую оси абсцисс. Тогда Как провести параллельную прямую оси абсцисс, откуда Как провести параллельную прямую оси абсциссилиКак провести параллельную прямую оси абсцисс.

Видео:10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задач

Вычисление уравнения прямой

Пусть PQ — некоторая прямая на плоскости Оху (рис. 22). Через произвольную точку М0 (х0, у0) этой прямой (условно называемую «начальной точкой») проведем прямую М0х параллельную оси Ох и имеющую с ней одинаковое направление. Тогда наименьший неотрицательный угол Как провести параллельную прямую оси абсцисс, образованный полупрямой M0Q, лежащей выше оси М0х’ или совпадающей с ней, называется углом между данной прямой и осью Ох.

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Очевидно, этот угол не зависит от выбора точки М0. Если прямая PQ пересекает ось Ох в некоторой точке А (а, 0), то ф есть обычный угол между направленными прямыми. Если PQ || Ох, то, очевидно, Ф = 0. Начальная точка М0 прямой и угол ф («направление прямой») однозначно определяют положение этой прямой на плоскости.

1) Пусть сначала Как провести параллельную прямую оси абсцисс. Тогда прямая PQ пересекает ось Оу в некоторой точке В (0, b), которую можно принять за начальную.

Ордината у = NM текущей точки М (х, у) прямой (рис. 23) состоит из двух частей:

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

из них первая постоянна, а вторая переменна. Введя угловой коэффициент tg ф = k9 из рис. 23 будем иметь

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Как провести параллельную прямую оси абсцисс

Нетрудно проверить, что формула (3) остается справедливой также и при х

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📺 Видео

Параллельный перенос вдоль оси ОХСкачать

Параллельный перенос вдоль оси ОХ

Преобразование графиков функций. y= f(x) + n. Сдвиг по оси OY. 10 класс.Скачать

Преобразование графиков функций.  y= f(x) + n. Сдвиг по оси OY. 10 класс.

Система координат · Ось абсцисс и ось ординат · Координатная плоскость Урок Математики для 6 классаСкачать

Система координат · Ось абсцисс и ось ординат · Координатная плоскость Урок Математики для 6 класса

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

Симметрия точек на координатной плоскостиСкачать

Симметрия точек на координатной плоскости

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задачСкачать

12. Уравнения прямой в пространстве Решение задач
Поделиться или сохранить к себе: