Как построить вектор xyz

Как на плоскости рисуется объект с координатами xyz?

Простой 2 комментария

Как построить вектор xyz

Каждая из точек проецируется на плоскость, после этого точки соединяются.

В комп графике используются векторы и матрицы — вектором задаётся точка, +есть матрица проекции. Вектор умножается на матрицу, получается новые вектор — проекция первого.

Видео:№757. Начертите векторы х, у и z так, чтобы x↑↑y, x↑↓z . Постройте векторыСкачать

№757. Начертите векторы х, у и z так, чтобы x↑↑y, x↑↓z . Постройте векторы

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Как построить вектор xyz

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как построить вектор xyz

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Как построить вектор xyz
Как построить вектор xyz

Длина вектора Как построить вектор xyzв пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Как построить вектор xyz

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Как построить вектор xyz

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Как построить вектор xyz

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы Как построить вектор xyzи Как построить вектор xyz.

Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

Произведение вектора на число:

Как построить вектор xyz

Скалярное произведение векторов:

Как построить вектор xyz

Косинус угла между векторами:

Как построить вектор xyz

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Как построить вектор xyz

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами Как построить вектор xyzи Как построить вектор xyz. Для этого нужны их координаты.

Как построить вектор xyz

Запишем координаты векторов:

Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

и найдем косинус угла между векторами Как построить вектор xyzи Как построить вектор xyz:

Как построить вектор xyz

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Как построить вектор xyz

Координаты точек A, B и C найти легко:

Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

Из прямоугольного треугольника AOS найдем Как построить вектор xyz

Координаты вершины пирамиды: Как построить вектор xyz

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

Найдем координаты векторов Как построить вектор xyzи Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

и угол между ними:

Как построить вектор xyz

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Как построить вектор xyz

Запишем координаты точек:

Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Как построить вектор xyz

Найдем координаты векторов Как построить вектор xyzи Как построить вектор xyz, а затем угол между ними:

Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:Как построить точки в системе координат OXYZСкачать

Как построить точки в системе координат OXYZ

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Как построить вектор xyz

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Как построить вектор xyz

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Как построить вектор xyz

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Как построить вектор xyz

То есть A + C + D = 0.

Как построить вектор xyzКак построить вектор xyz

Аналогично для точки K:

Как построить вектор xyz

Получили систему из трех уравнений:

Как построить вектор xyz

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Как построить вектор xyz

Решив систему, получим:

Как построить вектор xyz

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Как построить вектор xyz

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Как построить вектор xyz

Вектор Как построить вектор xyz— это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Как построить вектор xyzимеет вид:

Как построить вектор xyz

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Как построить вектор xyz

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Как построить вектор xyz

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Как построить вектор xyz

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор Как построить вектор xyzперпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: Как построить вектор xyz

Напишем уравнение плоскости AEF.

Как построить вектор xyz

Берем уравнение плоскости Как построить вектор xyzи по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Как построить вектор xyzКак построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF: Как построить вектор xyz

Нормаль к плоскости AEF: Как построить вектор xyz

Найдем угол между плоскостями:

Как построить вектор xyz

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Как построить вектор xyz

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор Как построить вектор xyzили, еще проще, вектор Как построить вектор xyz.

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

Координаты вектора Как построить вектор xyz— тоже:

Как построить вектор xyz

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Как построить вектор xyz

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Как построить вектор xyz

Получим:
Как построить вектор xyz

Ответ: Как построить вектор xyz

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть Как построить вектор xyz— вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), Как построить вектор xyz— нормаль к плоскости α.

Как построить вектор xyz

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

Как построить вектор xyz

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

Находим координаты вектора Как построить вектор xyz.

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор Как построить вектор xyz.

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Как построить вектор xyz

Ответ: Как построить вектор xyz

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

Как построить вектор xyz

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = Как построить вектор xyz, AD = Как построить вектор xyz. Высота параллелепипеда AA1 = Как построить вектор xyz. Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

Как построить вектор xyz

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

Как построить вектор xyzКак построить вектор xyz

Решим эту систему. Выберем Как построить вектор xyz

Тогда Как построить вектор xyz

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Как построить вектор xyz

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

Как построить вектор xyz

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Знакомимся с вектором

Основы линейной алгебры для тех, кого это миновало в универе.

Вы наверняка слышали много историй о программистах, которые учились в технических вузах, изучали высшую математику и теперь пользуются этими знаниями в программировании. И если кого-то это не коснулось, может быть ощущение, что он пропустил в жизни что-то важное.

Будем это исправлять. Попробуем разобрать некоторые базовые понятия из математики за пределами школьной программы. И заодно покажем, как оно связано с программированием и для каких задач полезно.

⚠️ Математики, помогайте. Мы тут многое упростили, поэтому будем рады увидеть ваши уточнения и замечания в комментариях.

Видео:№754. Начертите попарно неколлинеарные векторы х, у , z и постройте векторы x+у, x+z, z+y.Скачать

№754. Начертите попарно неколлинеарные векторы х, у , z и постройте векторы x+у, x+z, z+y.

Линейная алгебра

Есть математика: она изучает абстрактные объекты и их взаимосвязи. Благодаря математике мы знаем, что если сложить два объекта с ещё двумя такими же объектами, то получится четыре объекта. И неважно, что это были за объекты: яблоки, козы или ракеты. Математика берёт наш вещественный мир и изучает его более абстрактные свойства.

Внутри математики есть алгебра: если совсем примитивно, то в алгебре мы вместо чисел начинаем подставлять буквы и изучать ещё более абстрактные свойства объектов.

Например, мы знаем, что если a + b = c , то a = c − b . Мы не знаем, что стоит на местах a, b или c, но для нас это такой абстрактный закон, который подтверждается практикой.

Внутри алгебры есть линейная алгебра — она изучает векторы, векторные пространства и другие абстрактные понятия, которые в целом относятся к некой упорядоченной информации. Например, координаты ракеты в космосе, биржевые котировки, расположение пикселей в изображении — всё это примеры упорядоченной информации, которую можно описывать векторами. И вот их изучает линейная алгебра.

В программировании линейная алгебра нужна в дата-сайенс, где из упорядоченной информации создаются алгоритмы машинного обучения.

Если представить линейную алгебру в виде дома, то вектор — это кирпич, из которого всё состоит. Сегодня разберёмся, что такое вектор и как его понимать.

Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

Что такое вектор

Вы наверняка помните вектор из школьной программы — это такая стрелочка. Она направлена в пространство и измеряется двумя параметрами: длиной и направлением. Пока длина и направление не меняются, вектор может перемещаться в пространстве.

Как построить вектор xyzФизическое представление вектора: есть длина, направление и нет начальной точки отсчёта. Такой вектор можно как угодно двигать в пространстве

У аналитиков вектор представляется в виде упорядоченного списка чисел: это может быть любая информация, которую можно измерить и последовательно записать. Для примера возьмём рынок недвижимости, который нужно проанализировать по площади и цене домов — получаем вектор, где первая цифра отвечает за площадь, а вторая — за цену. Аналогично можно сортировать любые данные.

Как построить вектор xyzАналитическое представление вектора: данные можно перевести в числа

Математики обобщают оба подхода и считают вектор одновременно стрелкой и числом — это связанные понятия, перетекающие друг в друга в зависимости от задачи. В одних случаях удобней считать, а в других — показать всё графически. В обоих случаях перед нами вектор.

Как построить вектор xyzМатематическое представление вектора: данные можно перевести в числа или график

В дата-сайенс используется математическое представление вектора — программист может обработать данные и визуализировать результат. В отличие от физического представления, стрелки векторов в математике привязаны к системе координат Х и У — они не блуждают в пространстве, а исходят из нулевой точки.

Как построить вектор xyzВекторная система координат с базовыми осями Х и Y. Место их пересечения — начало координат и корень любого вектора. Засечки на осях — это отрезки одной длины, которые мы будем использовать для определения векторных координат

👉 Получается, вектор – это такой способ записывать, хранить и обрабатывать не одно число, а какое-то организованное множество чисел. Благодаря векторам мы можем представить это множество как единый объект и изучать его взаимодействие с другими объектами.

Например, можно взять много векторов с ценами на недвижимость, как-то их проанализировать, усреднить и обучить на них алгоритм. Без векторов это были бы просто «рассыпанные» данные, а с векторами — порядок.

Видео:11 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

11 класс, 2 урок, Координаты вектора

Как записывать

Вектор можно записать в строку или в столбец. Для строчной записи вектор обозначают одной буквой, ставят над ней черту, открывают круглые скобки и через запятую записывают координаты вектора. Для записи в столбец координаты вектора нужно взять в круглые или квадратные скобки — допустим любой вариант.

Строгий порядок записи делает так, что каждый набор чисел создаёт только один вектор, а каждый вектор ассоциируется только с одним набором чисел. Это значит, что если у нас есть координаты вектора, то мы их не сможем перепутать.

Как построить вектор xyzСпособы записи вектора

Скаляр

Помимо понятия вектора есть понятие скаляра. Скаляр — это просто одно число. Можно сказать, что скаляр — это вектор, который состоит из одной координаты.

Помните физику? Есть скалярные величины и есть векторные. Скалярные как бы описывают просто состояние, например, температуру. Векторные величины ещё и описывают направление.

Видео:11 класс, 1 урок, Прямоугольная система координат в пространствеСкачать

11 класс, 1 урок, Прямоугольная система координат в пространстве

Как изображать

Вектор из одного числа (скаляр) отображается в виде точки на числовой прямой.

Как построить вектор xyzГрафическое представление скаляра. Записывается в круглых скобках

Вектор из двух чисел отображается в виде точки на плоскости осей Х и Y. Числа задают координаты вектора в пространстве — это такая инструкция, по которой нужно перемещаться от хвоста к стрелке вектора. Первое число показывает расстояние, которое нужно пройти вдоль оси Х; второе — расстояние по оси Y. Положительные числа на оси Х обозначают движение вправо; отрицательные — влево. Положительные числа на оси Y — идём вверх; отрицательные — вниз.

Представим вектор с числами −5 и 4. Для поиска нужной точки нам необходимо пройти влево пять шагов по оси Х, а затем подняться на четыре этажа по оси Y.

Как построить вектор xyzГрафическое представление числового вектора в двух измерениях

Вектор из трёх чисел отображается в виде точки на плоскости осей Х, Y и Z. Ось Z проводится перпендикулярно осям Х и У — это трёхмерное измерение, где вектор с упорядоченным триплетом чисел: первые два числа указывают на движение по осям Х и У, третье — куда нужно двигаться вдоль оси Z. Каждый триплет создаёт уникальный вектор в пространстве, а у каждого вектора есть только один триплет.

Если вектор состоит из четырёх и более чисел, то в теории он строится по похожему принципу: вы берёте координаты, строите N-мерное пространство и находите нужную точку. Это сложно представить и для обучения не понадобится.

Как построить вектор xyzГрафическое представление числового вектора в трёх измерениях. Для примера мы взяли координаты −5, 2, 4

Помните, что все эти записи и изображения с точки зрения алгебры не имеют отношения к нашему реальному трёхмерному пространству. Вектор — это просто какое-то количество абстрактных чисел, собранных в строгом порядке. Вектору неважно, сколько там чисел и как их изображают люди. Мы же их изображаем просто для наглядности и удобства.

Например, в векторе спокойно может быть 99 координат. Для его изображения нам понадобилось бы 99 измерений, что очень проблематично на бумаге. Но с точки зрения вектора это не проблема: перемножать и складывать векторы из двух координат можно так же, как и векторы из 9999999 координат, принципы те же.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

И зачем нам это всё

Вектор — это «кирпичик», из которого строится дата-сайенс и машинное обучение. Например:

  • На основании векторов получаются матрицы. Если вектор — это как бы линия, то матрица — это как бы плоскость или таблица.
  • Машинное обучение в своей основе — это перемножение матриц. У тебя есть матрица с данными, которые машина знает сейчас; и тебе нужно эту матрицу «дообучить». Ты умножаешь существующую матрицу на какую-то другую матрицу и получаешь новую матрицу. Делаешь так много раз по определённым законам, и у тебя обученная модель, которую на бытовом языке называют искусственным интеллектом.

Кроме того, векторы используются в компьютерной графике, работе со звуком, инженерном и просто любом вычислительном софте.

И давайте помнить, что вектор — это не какая-то сложная абстрактная штука, а просто сумка, в которой лежат числа в определённом порядке. То, что мы называем это вектором, — просто нюанс терминологии.

Видео:Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

Что дальше

В следующий раз разберём операции с векторами. Пока мы готовим материал — рекомендуем почитать интервью с Анастасией Никулиной. Анастасия ведёт ютуб-канал по дата-сайнс и работает сеньором дата-сайентистом в Росбанке.

💡 Видео

№756. Начертите попарно неколлинеарные векторы х , у , z и постройте векторыСкачать

№756. Начертите попарно неколлинеарные векторы х , у , z и постройте векторы

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ решение задачСкачать

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ решение задач

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

§3 Координаты вектораСкачать

§3 Координаты вектора

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Координаты вектора.Скачать

Координаты вектора.

Прямоугольная система координат в пространстве. 11 класс.Скачать

Прямоугольная система координат в пространстве. 11 класс.

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

Построение проекции вектора на осьСкачать

Построение проекции вектора на ось
Поделиться или сохранить к себе: