Существует два способа решения задач по стереометрии
Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.
Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.
Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.
Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать
Система координат в пространстве
Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.
Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.
Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:
Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.
Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.
Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:
Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма
Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .
Произведение вектора на число:
Скалярное произведение векторов:
Косинус угла между векторами:
Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:
Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.
Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.
Запишем координаты векторов:
и найдем косинус угла между векторами и :
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.
Координаты точек A, B и C найти легко:
Из прямоугольного треугольника AOS найдем
Координаты вершины пирамиды:
Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.
Найдем координаты векторов и
и угол между ними:
Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:
3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1
Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.
Запишем координаты точек:
Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.
Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:
Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.
Видео:Как построить точки в системе координат OXYZСкачать
Плоскость в пространстве задается уравнением:
Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.
Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.
Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.
Покажем, как это делается.
Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).
Уравнение плоскости выглядит так:
Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.
То есть A + C + D = 0.
Аналогично для точки K:
Получили систему из трех уравнений:
В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.
Пусть, например, D = −2. Тогда:
Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:
Решив систему, получим:
Уравнение плоскости MNK имеет вид:
Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:
Вектор — это нормаль к плоскости MNK.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:
Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.
Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.
Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.
Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.
Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.
Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:
Напишем уравнение плоскости AEF.
Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.
Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.
Уравнение плоскости AEF:
Нормаль к плоскости AEF:
Найдем угол между плоскостями:
5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.
Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂
Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».
Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?
«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.
Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .
Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:
Координаты вектора — тоже:
Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:
Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле
Получим:
Ответ:
Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.
Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.
Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:
6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.
Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат
Находим координаты вектора .
Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .
Найдем угол между прямой и плоскостью:
Ответ:
Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:
7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.
Построим чертеж и выпишем координаты точек:
Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D
Решим эту систему. Выберем
Тогда
Уравнение плоскости A1DB имеет вид:
Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:
В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.
Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать
Векторы на координатной плоскости
Теорема
В прямоугольной системе координат расстояние между точками (P(x_1; y_1)) и (Q(x_2; y_2)) выражается формулой (rho(P, Q) = sqrt) .
Доказательство
Если (PQparallel Ox) , то он лежит на некоторой прямой (y = C) , тогда (y_1 = y_2 = C) , следовательно, (sqrt = |x_1 — x_2|) , что равно его длине.
Если (PQparallel Oy) , то он лежит на некоторой прямой (x = C) , тогда (x_1 = x_2 = C) , следовательно, (sqrt = |y_1 — y_2|) , что равно его длине.
Если (PQ) не параллелен осям, то рассмотрим прямоугольный треугольник (PQM) , в котором (PMparallel Ox) , (QMparallel Oy) . По теореме Пифагора (PQ^2 = PM^2 + QM^2) . Так как (PMparallel Ox) , то (PM) лежит на некоторой прямой (y = C) , откуда (PM = |x_1 — x_2|) , аналогично (QM = |y_1 — y_2|) , тогда (PQ^2 = (x_1 — x_2)^2 + (y_1 — y_2)^2) , откуда получаем требуемое равенство.
Утверждение
Если в прямоугольной системе координат точка (M) – середина отрезка (PQ) , где (P(x_1;y_1), Q(x_2;y_2)) , то
Доказательство
1) Пусть (PQparallel Oy Rightarrow x_1=x_2=a) . Значит, (a=dfrac2=dfrac2) – верно.
Т.к. (PM=MQ) , следовательно, (|y_2-b|=|y_1-b| Rightarrow y_2-b=y_1-b) или (y_2-b=b-y_1) , что равносильно (y_2=y_1) или (b=dfrac2) . Первое равенство невозможно (т.к. тогда точки (P) и (Q) совпадают).
2) Случай (PQparallel Ox Rightarrow y_1=y_2=b) доказывается аналогично.
3) (x_1ne x_2, y_1ne y_2) .
Тогда (Ma=b) – средняя линия трапеции (x_1PQx_2) , следовательно, равна полусумме оснований, то есть (b=dfrac2) .
Лемма
Если векторы (overrightarrow a) и (overrightarrow b) коллинеарны, то существует такое число (lambdane 0) , что (overrightarrow a=lambdaoverrightarrow b) .
Доказательство
1) Если (overrightarrow auparrow uparrow overrightarrow b) .
Рассмотрим вектор (dfrac1overrightarrow a) . Данный вектор сонавправлен с (overrightarrow a) , а его длина равна (1) . Тогда вектор (dfracoverrightarrow a) также сонаправлен с (overrightarrow a) , но его длина равна (|overrightarrow b|) . То есть равен вектору (overrightarrow b) .
2) Если (overrightarrow auparrow downarrow overrightarrow b) .
Аналогично доказывается, что (overrightarrow b=-dfracoverrightarrow a) .
Определение
Если вектор (overrightarrow p) представлен как линейная комбинация двух векторов: (overrightarrow p=alphaoverrightarrow a+beta overrightarrow b) , то говорят, что вектор (overrightarrow p) разложен по векторам (overrightarrow a) и (overrightarrow b) .
(alpha, beta) – коэффициенты разложения.
Пусть векторы (overrightarrow i) , (overrightarrow j) – векторы, длины которых равны (1) , а направление совпадает с направлением осей (Ox) и (Oy) соответственно. Такие векторы называются единичными векторами.
Тогда если (overrightarrow p=aoverrightarrow i+boverrightarrow j) , то () – координаты вектора (overrightarrow p) .
Свойства координат вектора
1. Равные векторы имеют равные координаты.
2. Координаты суммы векторов равны сумме координат каждого вектора: если (overrightarrow a, overrightarrow b) , то (overrightarrow a+overrightarrow b=) .
3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты данного вектора на это число: (overrightarrow a, lambda ) – число, то (lambdaoverrightarrow a) .
Теорема
Если точки (A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)) , то (overrightarrow ) .
То есть каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
Следствие
Если (overrightarrow a) , то длина (|overrightarrow a|=sqrt) .
Определение
Пусть от одной точки отложены два вектора (overrightarrow ) и (overrightarrow ) . Тогда угол между этими векторами – это угол (angle BAC) , не превышающий развернутого угла.
Скалярное произведение векторов (overrightarrow a) и (overrightarrow b) – это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначение: (overrightarrow acdot overrightarrow b) или ((overrightarrow a, overrightarrow b)) . [(overrightarrow a, overrightarrow b)=|overrightarrow a|cdot |overrightarrow b|cdot coswidehat]
Следствия
1. Если ненулевые векторы взаимно перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю, следовательно, и их скалярное произведение равно нулю.
2. Если угол между ненулевыми векторами острый, то скалярное произведение положительно.
3. Если угол между ненулевыми векторами тупой, то скалярное произведение отрицательно.
4.Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины: (overrightarrow acdot overrightarrow a=|overrightarrow a|^2) .
Теорема
В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов (overrightarrow a) и (overrightarrow b) выражается формулой:
[overrightarrow acdot overrightarrow b=x_1x_2+y_1y_2]
Доказательство
Рассмотрим вектор (overrightarrow c) :
Т.к. (overrightarrow a+overrightarrow c=overrightarrow b Rightarrow overrightarrow c=overrightarrow b-overrightarrow a Rightarrow overrightarrow c ) .
По теореме косинусов: (|c|^2=|a|^2+|b|^2-2|a||b|cosalpha) , но (|a||b|cos alpha=overrightarrow acdot overrightarrow b) , значит: [overrightarrow acdot overrightarrow b=dfrac12left(|a|^2+|b|^2-|c|^2right) =dfrac12left(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-(x_2-x_1)^2-(y_2-y_1)^2right)=x_1x_2+y_1y_2]
Свойства скалярного произведения
Для любых векторов (overrightarrow a, overrightarrow b, overrightarrow c) и любого числа (lambda) справедливо:
1. Скалярное произведение вектора на себя всегда неотрицательно, причем равно нулю оно тогда и только тогда, когда вектор нулевой: (overrightarrow a^2geqslant 0, quad overrightarrow a^2=0 Leftrightarrow |overrightarrow a|=0) .
2. Переместительный закон: (overrightarrow acdot overrightarrow b=overrightarrow bcdot overrightarrow a) .
3. Распределительный закон: (overrightarrow a cdot (overrightarrow b+overrightarrow c)=overrightarrow acdot overrightarrow b+overrightarrow acdot overrightarrow c) .
4. Сочетательный закон: ((lambdaoverrightarrow a)cdot overrightarrow b=lambda (overrightarrow acdot overrightarrow b)) .
Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать
Координаты вектора в декартовой системе координат (ДСК)
Для начала дадим определение координат вектора в заданной системе координат. Чтобы ввести данное понятие, определим что мы называем прямоугольной или декартовой системой координат.
Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.
С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.
Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач
Прямоугольная система координат на плоскости обычно обозначается O x y , где O x и O y – оси коорднат. Ось O x называют осью абсцисс, а ось O y – осью ординат (в пространстве появляется ещё одна ось O z , которая перпендикулярна и O x и O y ).
Итак, нам дана прямоугольная декартова система координат O x y на плоскости если мы отложим от начала координат векторы i → и j → , направление которых соответственно совпадет с положительными направлениями осей O x и O y , и их длина будет равна условной единице, мы получим координатные векторы. То есть в данном случае i → и j → являются координатными векторами.
Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать
Координатные векторы
Векторы i → и j → называются координатными векторами для заданной системы координат.
Откладываем от начала координат произвольный вектор a → . Опираясь на геометрическое определение операций над векторами, вектор a → может быть представлен в виде a → = a x · i → + a y · j → , где коэффициенты a x и a y — единственные в своем роде, их единственность достаточно просто доказать методом от противного.
Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать
Разложение вектора
Разложением вектора a → по координатным векторам i → и j → на плоскости называется представление вида a → = a x · i → + a y · j → .
Коэффициенты a x и a y называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.
Координаты вектора в данной системе координат принято записывать в круглых скобках, через запятую, при этом заданные координаты следует отделять от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись a → = ( 2 ; — 3 ) означает, что вектор a → имеет координаты ( 2 ; — 3 ) в данной системе координат и может быть представлен в виде разложения по координатным векторам i → и j → как a → = 2 · i → — 3 · j → .
Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.
Опираясь на определения координат вектора и их разложения становится очевидным, что единичные векторы i → и j → имеют координаты ( 1 ; 0 ) и ( 0 ; 1 ) соответственно, и они могут быть представлены в виде следующих разложений i → = 1 · i → + 0 · j → ; j → = 0 · i → + 1 · j → .
Также имеет место быть нулевой вектор 0 → с координатами ( 0 ; 0 ) и разложением 0 → = 0 · i → + 0 · j → .
Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Равные и противоположные векторы
Векторы a → и b → равны тогда, когда их соответствующие координаты равны.
Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.
Отсюда следует, что координаты такого вектора будут противоположны координатам данного вектора, то есть, — a → = ( — a x ; — a y ) .
Все вышеизложенное можно аналогично определить и для прямоугольной системы координат, заданной в трехмерном пространстве. В такой системе координат имеет место быть тройка координатных векторов i → , j → , k → , а произвольный вектор a → раскладывается не по двум, а уже по трем координатам, причем единственным образом и имеет вид a → = a x · i → + a y · j → + a z · k → , а коэффициенты этого разложения ( a x ; a y ; a z ) называются координатами вектора в данной (трехмерной) системе координат.
Следовательно, координатные векторы в трехмерном пространстве принимают также значение 1 и имеют координаты i → = ( 1 ; 0 ; 0 ) , j → = ( 0 ; 1 ; 0 ) , k → = ( 0 ; 0 ; 1 ) , координаты нулевого вектора также равны нулю 0 → = ( 0 ; 0 ; 0 ) , и в таком случае два вектора будут считаться равными, если все три соответствующие координаты векторов между собой равны a → = b → ⇔ a x = b x , a y = b y , a z = b z , и координаты противоположного вектора a → противоположны соответствующим координатам вектора a → , то есть, — a → = ( — a x ; — a y ; — a z ) .
Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
Координаты радиус-вектора точки
Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.
Пусть нам дана некоторая прямоугольная декартова система координат O x y и на ней задана произвольная точка M с координатами M ( x M ; y M ) .
Вектор O M → называется радиус-вектором точки M .
Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки
Вектор O M → имеет вид суммы O M → = O M x → + O M y → = x M · i → + y M · j → , где точки M x и M y это проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (данные рассуждения следуют из определения проекция точки на прямую), а i → и j → — координатные векторы, следовательно, вектор O M → имеет координаты ( x M ; y M ) в данной системе координат.
Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.
Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки M ( x M ; y M ; z M ) разлагается по координатным векторам как O M → = O M x → + O M y → + O M z → = x M · i → + y M · j → + z M · k → , следовательно, O M → = ( x M ; y M ; z M ) .
📺 Видео
Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать
Координаты на плоскости и в пространстве. Вебинар | МатематикаСкачать
Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать
9 класс, 3 урок, Связь между координатами вектора и координатами его начала и концаСкачать
Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать
11 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать
Длина вектора через координаты. 9 класс.Скачать
§3 Координаты вектораСкачать
Координаты вектора.Скачать
18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
Координаты вектора. Векторы на координатной плоскости. Геометрия 8-9 классСкачать
Прямоугольная система координат в пространстве. 11 класс.Скачать
