Как построить вектор 1 5a и 2a

Математический портал

Видео:№776. Начертите два неколлинеарных вектора х и у и постройте векторы: a) x+2y; б) ½y + х; в) 3x+½yСкачать

№776. Начертите два неколлинеарных вектора х и у и постройте векторы: a) x+2y; б) ½y + х; в) 3x+½y
  • Вы здесь:
  • HomeКак построить вектор 1 5a и 2a
  • Векторная алгебра.Как построить вектор 1 5a и 2a
  • Операции над геометрическими векторами.

Как построить вектор 1 5a и 2aКак построить вектор 1 5a и 2aКак построить вектор 1 5a и 2aКак построить вектор 1 5a и 2aКак построить вектор 1 5a и 2a

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

Операции над геометрическими векторами.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Как построить вектор 1 5a и 2a

Примеры.

2.4.

Даны вектора $a_1$ и $a_2.$ Построить:

Решение.

Как построить вектор 1 5a и 2a

Как построить вектор 1 5a и 2a

Как построить вектор 1 5a и 2a

в) Вначале построим вектор $overline:$ Вектор $overline$ направлен так же как $overline$ и $|overline|=2|overline|.$

Вектор $overline;$ можно построить как диагональ параллелограмма, построенного на векторах $overline$ и $overline.$

Как построить вектор 1 5a и 2a

г) Вначале построим вектор $overline:$ $|overline|=0.5|overline|;$ направление векторов

$overline$ и $overline1$ совпадают.

Вектор $overline$ — это такой вектор, который в сумме с $overline $ даст $overline.$

2.8.

$overline$ и $overline$ — медианы треугольника $ABC.$ Выразить через $p=overline$ и $q=overline$ векторы $overline,$ $overline$ и $overline.$

Решение.

Как построить вектор 1 5a и 2a

Известно, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины. Поэтому $|overline|=frac|overline|.$ Так как направление векторов $overline$ и $overline$ совпадает, то $overline=fracoverline.$

Из треугольника $AOB$ имеем $$overline=overline+overline=overline-overline= frac(overline-overline)=frac(p-q).$$

Далее, из треугольника $ABK$ найдем $BK:$

Из треугольника $ABC$ имеем $$overline=overline+overline=frac(p-q)+fracp+fracq=fracp+fracqRightarrowoverline=-overline=-fracp-fracq.$$

Ответ: $overline=frac(p-q); $ $overline=fracp+fracq;$ $overline=-fracp-fracq.$

2.10.

В треугольнике $ABC$ $overline=alphaoverline$ и $overline=betaoverline.$ Полагая $overline=a$ и $overline=b$ выразить $overline$ и $overline$ через векторы $a$ и $b.$

Решение.

Как построить вектор 1 5a и 2a

Так как $overline=alphaoverline,$ а $overline=a,$ то $overline=alpha a.$

Из треугольника $AMC$ имеем

По условию $overline=betaoverline.$ Следовательно, $overline=beta(-b+alpha a).$

Из треугольника $ANC$ имеем $$overline=overline+overline=b+beta(-b+alpha a)=b(1-beta)+alphabeta a.$$

Из треугольника $ABN$ имеем

Ответ: $overline=alphabeta a+b(1-beta); $ $overline=a(alphabeta-1)+b(1-beta).$

Примеры решения задач с векторами

Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

Координаты вектора

Теоретический материал по теме — координаты вектора.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Векторное произведение векторов онлайн

Данный онлайн калькулятор вычисляет векторное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления векторного произведения векторов введите координаты векторов в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Векторное произведение векторов

Прежде, чем перейти к определению векторного произведения векторов, рассмотрим понятия упорядоченная тройка векторов, левая тройка векторов, правая тройка векторов.

Определение 1. Три вектора называются упорядоченой тройкой (или тройкой ), если указано, какой из этих векторов первый, какой второй и какой третьий.

Запись cba — означает — первым является вектор c, вторым является вектор b и третьим является вектор a.

Определение 2. Тройка некомпланарных векторов abc называется правой ( левой ), если при приведении к общему началу, эти векторы располагаются так, как расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой(левой) руки.

Определение 2 можно формулировать и по другому.

Определение 2′. Тройка некомпланарных векторов abc называется правой ( левой ), если при приведении к общему началу, вектор c располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами a и b, откуда кратчайший поворот от a к b совершается против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Тройка векторов abc, изображенная на рис. 1, является правой, а тройка abc изображенная на рис. 2, является левой.

Как построить вектор 1 5a и 2aКак построить вектор 1 5a и 2a

Если две тройки векторов являются правыми либо левыми, то говорят, что они одной ориентации. В противном случае говорят, что они противоположной ориентации.

Определение 3. Декартовая или афинная система координат называется правой ( левой ), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Определение 4. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор с, обозначаемый символом c=[ab] (или c=[a,b], или c=a×b) и удовлетворяющий следующим трем требованиям:

  • длина вектора с равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ между ними:
    |c|=|[ab]|=|a||b|sinφ;(1)
  • вектор с ортогонален к каждому из векторов a и b;
  • вектор c направлен так, что тройка abc является правой.

Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:

  • [ab]=−[ba] ( антиперестановочность сомножителей);
  • [(λa)b]=λ[ab] ( сочетательность относительно числового множителя);
  • [(a+b)c]=[ac]+[bc] ( распределительность относительно суммы векторов);
  • [aa]=0 для любого вектора a.

Видео:№778. Начертите попарно неколлинеарные векторы а, b и c. Постройте векторы:Скачать

№778. Начертите попарно неколлинеарные векторы а, b и c. Постройте векторы:

Геометрические свойства векторного произведения векторов

Теорема 1. Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно равенство нулю их векторного произведения.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы a и b коллинеарны. Тогда угол между ними 0 или 180° и sinφ=sin180=sin 0=0. Следовательно, учитывая выражение (1), длина вектора c равна нулю. Тогда c нулевой вектор.

Достаточность. Пусть векторное произведение векторов a и b навно нулю: [ab]=0. Докажем, что векторы a и b коллинеарны. Если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то эти векторы коллинеарны (т.к. нулевой вектор имеет неопределенное направление и его можно считать коллинеарным любому вектору).

Если же оба вектора a и b ненулевые, то |a|>0, |b|>0. Тогда из [ab]=0 и из (1) вытекает, что sinφ=0. Следовательно векторы a и b коллинеарны.

Теорема 2. Длина (модуль) векторного произведения [ab] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b.

Доказательство. Как известно, площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон этого параллелограмма на синус угла между ними. Следовательно:

S=|[ab]|=|a||b|sinφ.(2)

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

Векторное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 3. Пусть два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами

a=<x1, y1, z1>, b=<x2, y2, z2>.

Тогда векторное произведение этих векторов имеет вид:

[ab]=<y1z2y2z1, z1x2z2x1, x1y2x2y1>.(3)

Для запоминания формулы (3) удобно представить векторное произведение векторов в виде определителя:

Как построить вектор 1 5a и 2a

Раскрывая определитель по элементам первой строки мы получим разложение вектора a×b по базису i, j, k, которое эквивалентно формуле (3).

Доказательство теоремы 3. Составим все возможные пары из базисных векторов i, j, k и посчитаем их векторное произведение. Надо учитывать, что базисные векторы взаимно ортогональны, образуют правую тройку и имеют единичную длину (иными словами можно предполагать, что i=, j=, k=). Тогда имеем:

Как построить вектор 1 5a и 2a(4)
Как построить вектор 1 5a и 2aКак построить вектор 1 5a и 2aКак построить вектор 1 5a и 2aКак построить вектор 1 5a и 2a

Из последнего равенства и соотношений (4), получим:

Как построить вектор 1 5a и 2aКак построить вектор 1 5a и 2a

которая эквивалентна равенству (3).

Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

Векторное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти векторное произведение векторов [ab], где

Как построить вектор 1 5a и 2a, Как построить вектор 1 5a и 2a.

Составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов a и b:

Как построить вектор 1 5a и 2a.

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов a и b:

Как построить вектор 1 5a и 2aКак построить вектор 1 5a и 2aКак построить вектор 1 5a и 2a.

Таким образом, результатом векторного произведения векторов a и b будет вектор:

Как построить вектор 1 5a и 2a.

Пример 2. Найти векторное произведение векторов [ab], где вектор a представлен двумя точками. Начальная точка вектора a: Как построить вектор 1 5a и 2a, конечная точка вектора a: Как построить вектор 1 5a и 2a, вектор b имеет вид Как построить вектор 1 5a и 2a.

Р е ш е н и е. Переместим первый вектор на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки координаты начальной точки:

Как построить вектор 1 5a и 2a.

Составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов a и b:

Как построить вектор 1 5a и 2a.

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов a и b:

Как построить вектор 1 5a и 2aКак построить вектор 1 5a и 2aКак построить вектор 1 5a и 2a.

Таким образом, результатом векторного произведения векторов a и b будет вектор:

🎬 Видео

Построить разность векторов.Скачать

Построить разность векторов.

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?

Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. 9 класс.

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать

Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространстве

Как построить точки в системе координат OXYZСкачать

Как построить точки в системе координат OXYZ

1. Векторы и параллелограмм задачи №1Скачать

1. Векторы и параллелограмм задачи №1

Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)
Поделиться или сохранить к себе: