Возможны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости.
Прямая может быть параллельна плоскости, пересекать или принадлежать плоскости.
Параллельность прямой и плоскости.
Прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.
Признак параллельности прямой и плоскости.
Если прямая a параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости, то прямая a параллельна этой плоскости.
Пересечение прямой и плоскости.
Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости.
Важным частным случаем пересечения прямой и плоскости является их перпендикулярность.
Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Принадлежность прямой плоскости.
Прямая принадлежит плоскости, если каждая точка прямой принадлежит плоскости.
Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать
Прямая линия. Параллельные прямые. Основные понятия.
Две прямые называются параллельными, если, находясь в одной плоскости, они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Параллельность прямых на письме обозначают так: AB || СE
Возможность существования таких прямых доказывается теоремой.
Теорема.
Через всякую точку, взятую вне данной прямой, можно провести параллельную этой прямой.
Пусть AB данная прямая и С какая-нибудь точка, взятая вне ее. Требуется доказать, что через С можно провести прямую, параллельную AB. Опустим на AB из точки С перпендикуляр СD и затем проведем СE ^ СD, что возможно. Прямая CE параллельна AB.
Для доказательства допустим противное, т.е., что CE пересекается с AB в некоторой точке M. Тогда из точки M к прямой СD мы имели бы два различных перпендикуляра MD и MС, что невозможно. Значит, CE не может пересечься с AB, т.е. СE параллельна AB.
Следствие.
Аксиома параллельных линий.
Через одну и ту же точку нельзя провести двух различных прямых, параллельных одной и той же прямой.
Так, если прямая СD, проведенная через точку С параллельна прямой AB, то всякая другая прямая СE, проведенная через ту же точку С, не может быть параллельна AB, т.е. она при продолжении пересечется с AB.
Доказательство этой не вполне очевидной истины оказывается невозможным. Ее принимают без доказательства, как необходимое допущение (postulatum).
Следствия.
1. Если прямая (СE) пересекается с одной из параллельных (СВ), то она пересекается и с другой (AB), потому что в противном случае через одну и ту же точку С проходили бы две различные прямые, параллельные AB, что невозможно.
2. Если каждая из двух прямых (A и B) параллельны одной и той же третьей прямой (С), то они параллельны между собой.
Действительно, если предположить, что A и B пересекаются в некоторой точке M, то тогда через эту точку проходили бы две различные прямые, параллельные С, что невозможно.
Теорема.
Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой параллельной.
Перпендикуляр EF, пересекаясь с AB, непременно пересечет и СD. Пусть точка пересечения будет H.
Предположим теперь, что СD не перпендикулярна к EH. Тогда какая-нибудь другая прямая, например HK, будет перпендикулярна к EH и, следовательно через одну и ту же точку H будут проходить две прямые параллельные AB: одна СD, по условию, а другая HK по доказанному раньше. Так как это невозможно, то нельзя допустить, что СВ была не перпендикулярна к EH.
Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать
Геометрия. 10 класс
Конспект урока
Геометрия, 10 класс
Урок №4. Параллельность прямых, прямой и плоскости
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
- Определение параллельных прямых;
- Теорема о единственности прямой, параллельной данной, проходящей через данную точку;
- лемма о двух параллельных прямых;
- теорему о параллельности трех прямых;
- определение параллельных прямой и плоскости;
- признаком параллельности прямой и плоскости.
Глоссарий по теме
Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Определение. Скрещивающиеся прямые − прямые, которые не лежат в одной плоскости.
Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.
Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014. 255 с.
Зив Б. Г. Дидактические материалы. Геометрия 10 кл. – М.: Просвещение, 2014. 96 с.
Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь. Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013. 65 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Геометрия, которую мы изучаем, называется евклидовой, по имени древнегреческого ученого Евклида (3 век до нашей эры), который создал целый труд по математике под названием «Начала». В данной книге есть раздел о параллельных прямых.
В советском энциклопедическом словаре слово «параллельность» переводится с греческого языка, как «идущий рядом».
В средние века параллельность обозначалась знаком «=». В 1557 году Р. Рекордом для обозначения равенства был введен знак «=», которым мы пользуемся сейчас, а параллельность стали обозначать «║».
В книге «Начала» определение параллельных прямых звучало так «прямые, лежащие в одной плоскости и будучи бесконечно продолжены в обе стороны, ни с той, ни с другой стороны не пересекаются». Это определение почти не отличается от современного.
В области параллельных прямых работало очень много учёных: Н.И. Лобаческий (18-19 век); Аббас ал-Джаухари (работал в Багдаде в 9 веке); Фадл ал-Найризи (Богдад 10 век); Герард (Италия 12 век); Иоганн Генрих Ламберт (Берлин) и многие другие.
Каково расположение 2-х прямых на плоскости (совпадают, пересекаются, параллельны) (рис. 1 а, б, в).
Перейдем к взаимному расположению 2-х прямых в пространстве. Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек). Но второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости (параллельны) или прямые не лежат в одной плоскости. В первом случае они параллельны, а во втором — такие прямые называются скрещивающимися.
Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.
Проиллюстрировать данные определения наглядно нам поможет куб.
Давайте укажем некоторые пары параллельных прямых:
AB||A₁B₁; AB|| CD; A₁B₁||C₁D₁; CD||C₁D₁; AD||A₁D₁; BC||B₁D₁; AD||BC; A₁D₁||B₁C₁.
А теперь рассмотрим некоторые пары скрещивающихся прямых, как мы отметили, они не должны лежать в одной плоскости:
AB A₁D₁; AB B₁C₁; CD A₁D₁; CD B₁C₁; BC C₁D₁; BC A₁B₁; AB B₁C₁; AB A₁D₁.
Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
- М и а задают плоскость α
- Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с точкой М и прямой а, т.е. в плоскости α.
- В плоскости α через точку М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна- это нам известно из кураса планиметрии.
- На чертеже эта прямая обозначена буквой b .
- Следовательно, b-единственная прямая, проходящая через точку М паралельно прямой а.
Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.
Аналогично определяется праралельность отрезка и прямой, а так же паралельность двух лучей.
Лемма. Если одна из двух паралельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
- Рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость α в точке M(а рис.).
- Мы знаем, что через параллельные прямые a и b можно провести только одну плоскость β. (теорема)
- Так как точка M находится на прямой b, то M также принадлежит плоскости β (б рис.). Если у плоскостей α и β есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая p, которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома).
- Прямые a, b и c находятся в плоскости β.
Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую p, то вторая прямая a тоже пересекает p.
- Точку пересечения прямых a и p обозначим за N.
Так как точка N находится на прямой p, то N находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой a и плоскости α.
- Значит, прямая a пересекает плоскость α в точке N.
Нам известно из курса планиметрии, что если три прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей, то эти две прямые параллельны. Похожее утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.
Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Доказательство:
Выберем точку M на прямой b.
Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).
Возможны два случая:
1) прямая b пересекает плоскость α или 2) прямая b находится в плоскости α.
Пусть прямая b пересекает плоскость α.
Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a∥c, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным. Значит, прямая b находится в плоскости α.
Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны.
Пусть у прямых a и b есть общая точка L.
Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек.
Так как прямые a и b находятся в одной плоскости α и у них нет общих точек, то они параллельны.
Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то по аксиоме А₂ вся прямая лежит в этой плоскости. Из этого следует, что возможны три расположения прямой и плоскости:
|
|
|