Радиус-вектор – это вектор, начало которого совпадает с точкой (0 ; 0) — началом координат.
- Почему радиус-вектор так называют
- Чем радиус-вектор удобен для использования
- Координаты вектора в декартовой системе координат (ДСК)
- Координатные векторы
- Разложение вектора
- Равные и противоположные векторы
- Координаты радиус-вектора точки
- Физика
- Механическое движение. Система отсчёта. Закон относительности движения
- Уравнения движения. Радиус-вектор. Проекция вектора
- Траектория. Путь. Перемещение
- Равномерное прямолинейное движение: скорость и уравнение движения
- Путь и перемещение при равномерном прямолинейном движении
- 💥 Видео
Видео:Радиус-векторыСкачать
Почему радиус-вектор так называют
Если начертить окружность с центром в точке (0 ; 0), этот вектор станет её радиусом.
Любой вектор можно превратить в радиус-вектор. Для этого сдвигаем его так, чтобы начало этого вектора совместить с точкой (0 ; 0).
При этом, помним: перемещать вектор можно, а поворачивать его нельзя!
Видео:2.4. Радиус-вектор и вектор перемещенияСкачать
Чем радиус-вектор удобен для использования
Чтобы найти координаты вектора, нужно найти разности соответственных координат точек, расположенных в конце и начале вектора.
Для радиус-вектора вычислять координаты не нужно. Можно воспользоваться правилом:
Координаты радиус-вектора — это координаты его конечной точки.
Сравните координаты конечной точки и координаты вектора на рисунке 2.
Видео:Радиус векторСкачать
Координаты вектора в декартовой системе координат (ДСК)
Для начала дадим определение координат вектора в заданной системе координат. Чтобы ввести данное понятие, определим что мы называем прямоугольной или декартовой системой координат.
Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.
С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.
Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач
Прямоугольная система координат на плоскости обычно обозначается O x y , где O x и O y – оси коорднат. Ось O x называют осью абсцисс, а ось O y – осью ординат (в пространстве появляется ещё одна ось O z , которая перпендикулярна и O x и O y ).
Итак, нам дана прямоугольная декартова система координат O x y на плоскости если мы отложим от начала координат векторы i → и j → , направление которых соответственно совпадет с положительными направлениями осей O x и O y , и их длина будет равна условной единице, мы получим координатные векторы. То есть в данном случае i → и j → являются координатными векторами.
Видео:ЕГЭ по Физике 2022. Кинематика. Радиус-векторСкачать
Координатные векторы
Векторы i → и j → называются координатными векторами для заданной системы координат.
Откладываем от начала координат произвольный вектор a → . Опираясь на геометрическое определение операций над векторами, вектор a → может быть представлен в виде a → = a x · i → + a y · j → , где коэффициенты a x и a y — единственные в своем роде, их единственность достаточно просто доказать методом от противного.
Видео:Радиус вектор точки геометрияСкачать
Разложение вектора
Разложением вектора a → по координатным векторам i → и j → на плоскости называется представление вида a → = a x · i → + a y · j → .
Коэффициенты a x и a y называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.
Координаты вектора в данной системе координат принято записывать в круглых скобках, через запятую, при этом заданные координаты следует отделять от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись a → = ( 2 ; — 3 ) означает, что вектор a → имеет координаты ( 2 ; — 3 ) в данной системе координат и может быть представлен в виде разложения по координатным векторам i → и j → как a → = 2 · i → — 3 · j → .
Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.
Опираясь на определения координат вектора и их разложения становится очевидным, что единичные векторы i → и j → имеют координаты ( 1 ; 0 ) и ( 0 ; 1 ) соответственно, и они могут быть представлены в виде следующих разложений i → = 1 · i → + 0 · j → ; j → = 0 · i → + 1 · j → .
Также имеет место быть нулевой вектор 0 → с координатами ( 0 ; 0 ) и разложением 0 → = 0 · i → + 0 · j → .
Видео:10 Класс - Физика - Перемещение. Радиус-вектор.Скачать
Равные и противоположные векторы
Векторы a → и b → равны тогда, когда их соответствующие координаты равны.
Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.
Отсюда следует, что координаты такого вектора будут противоположны координатам данного вектора, то есть, — a → = ( — a x ; — a y ) .
Все вышеизложенное можно аналогично определить и для прямоугольной системы координат, заданной в трехмерном пространстве. В такой системе координат имеет место быть тройка координатных векторов i → , j → , k → , а произвольный вектор a → раскладывается не по двум, а уже по трем координатам, причем единственным образом и имеет вид a → = a x · i → + a y · j → + a z · k → , а коэффициенты этого разложения ( a x ; a y ; a z ) называются координатами вектора в данной (трехмерной) системе координат.
Следовательно, координатные векторы в трехмерном пространстве принимают также значение 1 и имеют координаты i → = ( 1 ; 0 ; 0 ) , j → = ( 0 ; 1 ; 0 ) , k → = ( 0 ; 0 ; 1 ) , координаты нулевого вектора также равны нулю 0 → = ( 0 ; 0 ; 0 ) , и в таком случае два вектора будут считаться равными, если все три соответствующие координаты векторов между собой равны a → = b → ⇔ a x = b x , a y = b y , a z = b z , и координаты противоположного вектора a → противоположны соответствующим координатам вектора a → , то есть, — a → = ( — a x ; — a y ; — a z ) .
Видео:Определение параметров движения по заданному радиус-вектору. Векторный способ задания движения.Скачать
Координаты радиус-вектора точки
Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.
Пусть нам дана некоторая прямоугольная декартова система координат O x y и на ней задана произвольная точка M с координатами M ( x M ; y M ) .
Вектор O M → называется радиус-вектором точки M .
Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки
Вектор O M → имеет вид суммы O M → = O M x → + O M y → = x M · i → + y M · j → , где точки M x и M y это проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (данные рассуждения следуют из определения проекция точки на прямую), а i → и j → — координатные векторы, следовательно, вектор O M → имеет координаты ( x M ; y M ) в данной системе координат.
Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.
Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки M ( x M ; y M ; z M ) разлагается по координатным векторам как O M → = O M x → + O M y → + O M z → = x M · i → + y M · j → + z M · k → , следовательно, O M → = ( x M ; y M ; z M ) .
Видео:Лекция 4.1 | Радиус-вектор, скорость и ускорение | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать
Физика
А Вы уже инвестируете?
Слышали про акцию в подарок?
Зарегистрируйся по этой ссылке
и получи акцию до 100.000 руб
План урока:
Видео:Радиус-вектор и перемещение. Кинематика.Скачать
Механическое движение. Система отсчёта. Закон относительности движения
Механическим движением в физике называется изменение с течением времени положения тела (или его частей) в пространстве относительно других тел.
То есть, чтобы сказать, что тело или система совершает механическое движение, нам необходимо: 1) наблюдать его во времени; 2) сравнивать его положение с положением какого-то другого тела (относительно этого тела).
Например, пассажир в едущем автомобиле неподвижен относительно кресла, на котором он сидит, но он движется относительно людей, стоящих на автобусной остановке и самой остановки. А сама автобусная остановка неподвижна относительно стоящих людей, ждущих автобус (см. рисунок 1). Однако она движется относительно проезжающих мимо машин. В первом случае наблюдаемым объектом был человек в машине, а точкой отсчета кресло и люди на остановке. Во втором случае наблюдаемой была автобусная остановка, а точками отсчета – люди на остановке и проезжающие мимо машины.
Рисунок 1 – Иллюстрация к примеру
Из примеров можно сделать вывод, что важно, какой именно объект находится под наблюдением и относительно какого объекта – тела отсчета – рассматривается его движение. Отсюда можно сформулировать закон относительности движения: характер движения тела зависит от того, относительно какого объекта мы рассматриваем данное движение.
Тело (или точка) отсчета, связанная с ним система координат и часы, вместе образуют систему отсчета. То есть все сказанное выше можно переформулировать в одно предложение: для наблюдения механического движения важно в какой системе отсчета будет происходить наблюдение.
Рисунок 2 – Пример системы отсчета (наблюдаемы объект – летящий мяч, тело отсчета – камень, лежащий в начале координат, система координат и секундомер для отсчета времени)
Однако объекты могут быть очень сложными для наблюдения. Например, автомобиль едет по прямой несколько километров и необходимо описать его движение относительно камня на обочине. Казалось бы, все просто. Но как именно описать движение автомобиля, если корпус его движется по прямой, а колеса совершают вращательные движения.
Для удобства решения подобных задач принято упрощение: если размер и форма тела в данной задаче не играют важной роли для наблюдателя, можно считать это тело за материальную точку.
Материальная точка – это такое тело, размером и формой которого в условиях данной задачи можно пренебречь.
Приведем пример: когда автобус едет из города А в город Б, его можно рассматривать как материальную точку. Когда пассажир идет из одного конца этого автобуса в другой, считать автобус материальной точкой нельзя. В общем случае можно сказать, что тело можно считать материальной точкой, если его размеры значительно меньше расстояния, на которое оно перемещается.
Видео:9 класс геометрия 8 урок Радиус вектор точки геометрияСкачать
Уравнения движения. Радиус-вектор. Проекция вектора
Для описания движения тела необходимо уметь рассчитывать его положение в каждый момент времени. Как это сделать?
Самый очевидный способ – координатный. Если вернуться к примеру на рисунке 2, можно увидеть, что летящий мяч в каждый момент времени имеет три координаты по осям OX, OY и OZ. Эти координаты являются функциями времени (т.е. они зависят от времени), а значит, их можно записать в виде системы:
Вид этих уравнений будет зависеть от многих вещей: от того, с какой силой бросили мяч в начале, от массы мяча, под каким углом его бросили и так далее. В любом случае, если эти уравнения заданы, можно найти координаты (то есть положение) тела в любой момент времени. Поиск этих уравнений – основная задача кинематики.
Эта система является кинематическими уравнениями движения тела или материальной точки, записанными в координатной форме. Повторим: если вид уравнений движения задан, можно узнать координату движущейся точки в любой момент времени.
В общем случае, координат три, но иногда можно обойтись двумя или даже одной координатой. Например, для описания движения бильярдного шара достаточно двух координат (так как шар не может двигаться вверх и вниз), а для описания движения шарика, катящегося по прямому горизонтальному желобку достаточно одной координаты (шарик не может двигаться вверх-вниз и вправо-влево).
Еще один способ описания движения – векторный.
*Перед дальнейшим прочтением данной статьи желательно вспомнить основную теорию по теме «Векторы» и «Метод координат»
Вектор, проведенный из начала координат к материальной точке, называется радиус-вектором (см. рисунок 3).
Рисунок 3 – Радиус-вектор (серой линией изображены траектория движения материальной точки, r1 и r2* радиус-векторы, проведенные к этой материальной точке в разные моменты времени)
Радиус-вектор проведенный к материальной точке в разные моменты времени будет разным. Значит, его тоже можно представить, как функцию времени:
r = r(t)
Такая функция и будет уравнением движения в векторной форме. Если ее вид задан, можно описать движение тела с той же полнотой, как и при координатной записи.
Еще раз обозначим отличия: при записи уравнения движения в координатной форме в каждый момент времени наблюдающий будет знать три координаты тела; при записи в векторной форме в каждый момент времени известен радиус-вектор (его модуль и направление). Обе записи равносильны.
*На письме векторы обычно обозначаются стрелкой сверху, над величиной. Однако в печатном тексте не всегда удобно нагромождать формулы дополнительными знаками, поэтому в печати векторные величины пишут просто жирным шрифтом. В данной статье далее жирным шрифтом будут написаны только векторные величины.
Покажем, что векторная и координатная записи равносильны. Для этого необходимо вспомнить, как построить проекцию вектора на ось (см. рисунок 4).
Рисунок 4 – Построение проекции вектора на ось
Чтобы построить проекцию вектора на ось, необходимо опустить перпендикуляра из начала и конца вектора на эту ось. Длина получившегося отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+», если вектор а сонаправлен с осью Х, или со знаком «-», если вектор а противонаправлен оси Х, — это и есть искомая проекция.
Если вектор выходит из начала координат, задача облегчается – необходимо опустить перпендикуляр только из конца вектора.
Напоминания из геометрии:
два вектора равны, если они параллельны или лежат на одной прямой, сонаправлены, а их модули равны;
проекции равных векторов равны.
Рассмотрим пример (см. рисунок 5)
Рисунок 5 – Задача на нахождение проекции векторов
Предлагаем читателю самому подумать, а затем сравнить свои рассуждения с приведенными ниже.
Итак, вектор а: его начала соответствует координате хн=1, а конец хк = 4. Значит ax = хк – хн = 4-1 = 3. Вектор b: его начало лежит в точке хн=2, а конец хк =0. Значит bx = хк – хн = 0-2 = -2.
В двумерном случае, проецировать нужно на две оси, но принцип остается тем же.
Иногда еще нужно находить составляющие компоненты вектора ах и ау. Рассмотрим пример, для простоты возьмем вектор, выходящий из начал координат (см. рисунок 6).
Сумма векторов ах и ау равна а. Модули векторов ах и ау численно равны координатам точек, куда попали перпендикуляры, опущенные из конца вектора а на оси ОХ и ОУ.
Еще следует отметить, что, если известен угол β между вектором а и осью ОХ, воспользовавшись основами тригонометрии, можно найти величины проекций:
Если бы вектор а совпадал с радиус-вектором какой-нибудь точки, то величины ах и ау совпадали бы с координатами тела по осям ОХ и ОY.
Способ с использованием тригонометрических функций удобен, когда координата конца вектора попадает в нецелое число и опустив перпендикуляр на ось его трудно найти точно. В физических задачах такое часто случается.
Рисунок 6 – Нахождение компонент вектора а
Рассмотрим пример (см. рисунок 7). Модуль вектора r равен 2. Сам вектор направлен под углом в 45 градусов к оси ОХ. Необходимо найти величины проекций (они же координаты) этого вектора на оси ОХ и ОУ.
Рисунок 7 – Задача на нахождение проекций вектора в двумерном пространстве
В общем случае радиус-вектор находится в трехмерном пространстве (см. рисунок 8). Построение проекции осуществляется по тому же принципу, что и в рассмотренных выше примерах. Когда строятся проекции на оси ОХ и ОУ, перпендикуляр сначала опускается на плоскость, в которой лежат оси ОХ и ОУ, а затем точка, в которую упал перпендикуляр к плоскости, проецируется на оси ОХ и ОУ.
Точки, в которые попал перпендикуляры к осям – rx, ry, rz – это и есть координаты x, y, z тела в текущий момент времени.
Следует оговориться, что большинство задач 10-го класса будут ограничиваться двумерным пространством.
Рисунок 8 – Построение проекций радиус-вектора
Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать
Траектория. Путь. Перемещение
Траектория – это линия, вдоль которой движется тело.
Траектория движения может быть прямолинейной, если тело движется по прямой линии, и криволинейной, если тело движется по кривой.
Путь (S), пройденный телом, равен длине траектории.
Перемещение (r)* – это вектор, проведенный из начала пути в конец.
В случае прямолинейного движения путь и модуль перемещения тела совпадают (см. рисунок 9а). В случае криволинейного – путь и перемещение различаются (см. рисунок 9б), так как длина линии движения тела больше длины вектора, соединяющего начало и конец траектории.
Рисунок 9 – Путь (S) и перемещение (r) при прямолинейном (а) и криволинейном (б) движении
*Иногда перемещение так же, как и путь, называют буквой S — (на письме с вектором над ней, при печати — жирным шрифтом, так как это векторная величина). В данной статье, чтобы не путаться, перемещение называется только буквой r. В целом, обозначения равноправны, поэтому при решении задач можно использовать то, которое удобнее. Однако не стоит забывать отмечать, что именно обозначено под той или иной буквой.
Видео:Перемещение как изменение радиус-вектораСкачать
Равномерное прямолинейное движение: скорость и уравнение движения
Путь и перемещение при равномерном прямолинейном движении
Прямолинейное равномерное движение уже рассматривалось в курсе физики ранее, однако приведем основные определения.
Прямолинейное движение – это движение по прямой линии. Равномерное движение – такое, в процессе которого тело за равные временные промежутки проходит один и тот же путь. Если объединить эти два определения получится третье:
- равномерное прямолинейное движение – это такое движение, в ходе которого 1) тело совершает движение по прямой линии; 2) за одинаковые временные промежутки проходит одинаковый путь.
Зная определения пути и перемещения, это определение можно упростить: прямолинейное равномерное движение тела – это такое движение, в процессе которого тело за одинаковые временные промежутки совершает равные перемещения.
Важной характеристикой является скорость механического движения. Предположим, что при равномерном прямолинейном движении тело за промежуток времени △t перемещается из точки А в точку Б (см. рисунок 8). Радиус-вектор, проведенный в точку A обозначим r0, а радиус-вектор в точку Б обозначим r1. Изменение радиус-вектора назовем △r – нетрудно заметить, что это есть перемещение тела за время △t.
Рисунок 8 – Поиск перемещения тела через радиус-векторы при равномерном прямолинейном движении
Тогда скорость движения (v) будет вычисляться по формуле:
Так как △r – вектор, △t – скаляр, скорость v тоже будет вектором, сонаправленным перемещению.
Если тело начинает двигаться в момент начала отсчета, то △t = t*. Из правила сложения векторов следует, что △r = r1 — r0. Тогда выражение для скорости можно переписать в виде:
Из этого выражения следует:
Это выражение можно применить к любому произвольно взятому моменту времени, поэтому можно опустить индекс в левой части и переписать:
Данное уравнение является уравнением движения при прямолинейном равномерном движении.
*Напоминание: символом △ (дельта) обозначают изменение какой-нибудь величины. Например △t = t – t1, где t – конечный момент времени, t1 – начальный. Если же начальный момент времени совпадает с началом отсчета t1 = 0, то △t = t – 0 = t.
Фактически уравнение равномерного прямолинейного движения означает, что радиус-вектор в произвольный момент времени t можно посчитать, сложив начальный радиус-вектор и приращение v*t.
Найдя проекции радиус-вектора и вектора скорости, можно разложить уравнение движения тела на три составляющие вдоль осей ОX, ОY и ОZ.
В этих выражениях r0x, r0y, r0z и vx, vy, vz – это компоненты изначальных векторов r0 и v вдоль осей ОХ, ОY и ОZ соответственно. И теперь можно перейти к скалярному виду:
Стоит отметить, что при проецировании какие-то компоненты вектора могут стать отрицательными, тогда знаки в выражениях поменяются на противоположные.
В рассмотренном выше примере движение происходит только вдоль оси ОХ (остальные координаты не изменяются). На рисунке 9 приведены проекции начальной (х0) и конечной (х1) точки на ось ОХ.
Рисунок 9 – Перемещение тела в координатном представлении
Уравнение координаты (х) движения будет выглядеть:
А это уже похоже на знакомую из прошедшего курса физики формулу для нахождения пути:
Если точка начала двигаться из начала отсчета S0 = 0, можно переписать эту формулу в виде:
Отсюда следуют известные уже формулы для нахождения скорости и времени при равномерном прямолинейном движении:
Приведем последний в этой статье пример: известно, что тело движется вдоль оси ОХ, начиная из точки x0 = 3 см. Скорость тела равна v = 5 м/с и направлена вдоль оси ОХ. Необходимо записать уравнение движения по координате х для этого тела.
Итак, для начала приведем все единицы измерения к СИ:
Теперь можно записывать уравнение для координаты х:
Из этого уравнения можно найти координату тела в любой момент времени. Например, через 2 секунды после начала отсчета тело находилось в точке:
x(2) = 0,03 + 5*2 = 10, 03.
А какой путь прошло тело к этому моменту? В начале оно находилось в точке x(2) = 0,03 м, а через 2 секунды оно стало находиться в точке x(2) = 10, 03. Значит за 2 секунды тело прошло:
S = x(2) – x0 = 10, 03 – 0,03 = 10 м.
А если скорость тела была направлена противоположно оси ОХ, как тогда выглядело бы уравнение движения?
Тогда проекция вектора скорости на ось ОХ была бы отрицательной и в уравнении знак перед скоростью поменялся бы на противоположный:
💥 Видео
Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
1.1. Радиус-вектор. ЕГЭ по физике.Скачать
Построение проекции вектора на осьСкачать
Модель материальной точки. Радиус вектор | ФизикаСкачать
Демидович №4441б: поток радиус-вектора через замкнутую поверхностьСкачать
ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ВЕКТОР В МАТЕМАТИКЕ?Скачать
Лекция 4. ВЕКТОРА │ кинематика с нуляСкачать
10 Класс - Физика - Перемещение. Радиус-вектор.Скачать