Как построить параллелограмм на векторах на плоскости x y z

Видео:Площадь параллелограмма по векторамСкачать

Сложение векторов по правилу параллелограмма

Видео:Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать

Правило параллелограмма — что это такое

Чтобы сложить два вектора можно воспользоваться правилом параллелограмма.

Правило параллелограмма: если два неколлинеарных вектора a и b привести к общему началу, то вектор c=a+b совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах a и b. Начало вектора c совпадает с началом этих векторов.

Кроме того, по правилу параллелограмма можно осуществлять вычитание.

Видео:Как построить точки в системе координат OXYZСкачать

Сложение векторов по правилу параллелограмма

Для того чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, необходимо:

1. Взять произвольную точку А.
2. Отложить от точки векторы a и b.
3. Построить на векторах a и b параллелограмм.
4. Диагональ параллелограмма и будет суммой векторов a+b

Также существуют еще два правила нахождения векторной суммы:

1. Правило треугольника.

Чтобы сложить два вектора, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор и построить вектор, который соединит начало первого с концом второго. Полученный вектор — искомая сумма.

2. Правило многоугольника.

Чтобы сложить несколько векторов, нужно от произвольной точки отложить первый вектор, из его конца — второй вектор, из конца второго — третий, и так далее. Затем соединить начальную точку с концом последнего вектора, полученный вектор — искомая сумма.

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Переместительный и сочетательный законы, доказательство

Для более ясного понимания правила параллелограмма, важно знать законы сложения векторов.

Переместительный закон: от перемены мест слагаемых сумма не меняется a+b=b+a.

От произвольной точки A отложим векторы AB=a и AD=b.

Построим параллелограмм ABCD.

По правилу треугольника заметим: AC=AB+BC, то есть равен сумме векторов a+b.

AC=AB+BC, AC=a+b⇒ a+b=b+a.

С другой стороны, AC=AD+DC, AC=b+a.

Что и требовалось доказать.

Именно переместительный закон применяется в правиле параллелограмма.

Сочетательный закон: (a+b)+c=a+(b+c).

От произвольной точки A отложим вектор AB=a, от точки B вектор BC=b, от точки C вектор CD=c.

Запишем сумму (a+b)+c через векторы:

Сумма AB+BC=AC (по правилу треугольника).

Запишем сумму a+(b+c) через векторы:

Что и требовалось доказать.

Видео:Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

Примеры решения задач

Дан параллелограмм, построенный на векторах AB=6 см, BC=8 см. ∠B=90º. Найти сумму векторов AB+BC.

По правилу параллелограмма сумма векторов AB+BC=BD.

BD-диагональ параллелограмма. Диагональ можно найти по формуле:

B D = √ ( A B ² + B C ² — 2 * A B * B C * cos B ) .

ABCD — прямоугольник, так как ∠B=90º ⇒cosB=0.

Видео:Как выразить вектор через данные векторы параллелограмма. Векторы на плоскости. Геометрия 8-9 классСкачать

Метод параллелограмма: примеры, решенные упражнения

Видео:Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторахСкачать

Содержание:

В метод параллелограмма это графический метод сложения двух векторов на плоскости. Он часто используется, чтобы найти равнодействующую двух сил, приложенных к телу, или двух скоростей, как в случае пловца, который пытается пересечь реку перпендикулярно и отклоняется течением.

Чтобы построить параллелограмм, начала добавляемых векторов в масштабе должны совпадать в одной точке.

Затем параллельно каждому вектору проводят вспомогательные линии, доходящие до крайности другого, как показано на рисунке выше.

Сумма или результирующий вектор, также называемый чистой силой, является вектором F_сеть, который получается путем рисования вектора, идущего от общего начала координат F₁ Y F₂, до точки пересечения вспомогательных параллельных прямых. На схеме рисунка они представлены пунктирными линиями.

Метод получил свое название от фигуры, которая образована слагаемыми векторами и вспомогательными линиями, которая в точности представляет собой параллелограмм. Главная диагональ параллелограмма — это вектор суммы.

Очень важно отметить, что порядок, в котором размещаются слагаемые векторы, вообще не изменяет сумму, так как эта операция между векторами является коммутативной.

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Пример пошагового метода параллелограмма

На следующем изображении показаны векторы v Y или в условных единицах. Вектор v измеряет 3,61 единицы и образует угол 56,3 ° с горизонтом, в то время как или он измеряет 6,32 единицы и угол 18.4º относительно указанной опорной линии.

Мы собираемся найти его векторную сумму, используя метод параллелограмма.

Необходимо выбрать соответствующий масштаб, например, показанный на следующем рисунке, в котором плоскость разделена сеткой. Ширина квадрата соответствует одной (1) единице.

Поскольку векторы не изменяются при преобразовании, они располагаются так, чтобы их начало совпадало с началом системы координат (левое изображение).

Теперь давайте выполним следующие шаги:

1. Участок к концу вектора v сегментированная линия, параллельная вектору или.
2. Повторите процедуру, но на этот раз с концом вектора. или.
3. Нарисуйте главную диагональ, идущую от общего начала до точки пересечения сегментированных линий.

Результат виден на правом изображении, на котором появляется результирующий вектор. Р.

Если мы хотим узнать величину р, мы можем измерить его длину и сравнить с имеющимся у нас масштабом. Что касается его направления, то в качестве ориентиров можно использовать, например, горизонтальную или вертикальную ось.

При использовании горизонтальной оси или оси x угол, р форма с указанной осью измеряется транспортиром, и таким образом мы знаем направление р.

Кроме того, величина и направление р можно вычислить с помощью теорем косинусов и синусов, так как образовавшийся параллелограмм можно разделить на два равных треугольника, сторонами которых являются модули векторов или, v Y р. См. Рабочий пример 1.

Видео:1. Векторы и параллелограмм задачи №1Скачать

Частный случай: сумма перпендикулярных векторов

Когда векторы перпендикулярны друг другу, образующаяся фигура представляет собой прямоугольник. Модуль полученного вектора соответствует длине диагонали, которую легко вычислить с помощью теоремы Пифагора.

Видео:Площадь треугольника, построенного на векторахСкачать

Решенные упражнения

Видео:Найти угол между векторами и площадь параллелограмма, построенного на этих векторахСкачать

— Упражнение 1

У нас есть вектор v, который имеет размер 3,61 единицы и составляет угол 56,3 ° с горизонтом, а вектор или, размер которого составляет 6,32 единицы и составляет угол 18,4 ° (рисунок 2). Определите модуль результирующего вектора р = или + v и направление, которое указанный вектор образует с горизонтальной осью.

Видео:§20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать

Решение

Метод параллелограмма применяется в соответствии с шагами, описанными выше, для получения вектора р. Как было сказано ранее, если векторы аккуратно нарисованы по шкале и с помощью линейки и транспортира, величина и направление р они измеряются прямо на чертеже.

Их также можно рассчитать напрямую, с помощью тригонометрии и свойств углов. Когда образованный треугольник не правильный, как в этом случае, применяется теорема косинусов, чтобы найти недостающую сторону.

В треугольнике справа стороны измеряют u, v и R. Чтобы применить теорему косинусов, необходимо знать угол между v Y или, который мы можем найти с помощью сетки, адекватно позиционируя углы, указанные в утверждении.

Этот угол равен α и состоит из:

α = (90-56.3º) + 90º +18.4º = 142.1º

Согласно теореме косинусов:

р 2 = v 2 + ты 2 — 2u⋅v⋅cos α = 3,61 2 + 6.32 2 — 2 × 3,61 × 6,32 × cos 142,1º = 88,98

Наконец, угол между р а по горизонтальной оси θ = 18,4 º + γ. Угол γ можно найти с помощью теоремы синусов:

грех α / R = грех γ / u

sin γ = v (sin α / R) = 3,61 x (sin 142,1º / 9,43)

θ = 18.4 º + 13.6 º = 32º

Видео:№770. Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор АС через векторы а и b , если:Скачать

— Упражнение 2.

Пловец собирается пересечь реку, плывя перпендикулярно течению с постоянной скоростью 2,0 м / с. Пловец стартует из точки А, но заканчивается в точке В, расположенной ниже по течению, из-за отклонившего его течения.

Если скорость течения составляет 0,8 м / с, и все скорости предполагаются постоянными, найдите скорость пловца, которую видит наблюдатель, стоящий на берегу.

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Решение

Наблюдатель, стоящий на берегу, увидит, как пловец отклоняется в зависимости от полученной скорости. V_р. Чтобы найти ответ, нам нужно векторно сложить скорость пловца относительно воды и скорость течения, которую мы называем V _Река:

V _р = V _пловец + V _Река

На рисунке, который не в масштабе, векторы были добавлены для получения V _р. В этом случае можно применить теорему Пифагора, чтобы получить его величину:

V_р 2 = 2.0 2 + 0.8 2 = 4.64

Направление, в котором пловец отклоняется от перпендикулярного направления, легко вычислить, учитывая, что:

θ = arctg (2 / 0,8) = 68,2º

Затем пловец отклоняется на 90º — 68,2º = 27,2º от своего первоначального направления.

Видео:Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Ссылки

1. Бауэр, В. 2011. Физика для инженерии и науки. Том 1. Мак Гроу Хилл.
2. Бедфорд, 2000. А. Инженерная механика: Статика. Эддисон Уэсли.
3. Фигероа, Д. (2005). Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. Отредактировал Дуглас Фигероа (USB).
4. Джамбаттиста, А. 2010. Физика. 2-й. Эд. Макгроу Хилл.
5. Сирс, Земанский. 2016. Университетская физика с современной физикой. 14-го. Ред. Том 1.

Конструктивная апраксия: симптомы, причины и лечение

Болезни алкоголизма: характеристика и причины

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Площадь параллелограмма, построенного на векторах — формула и примеры решения задач

Видео:Найдите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a=(1;-1;-4) и b=(-5;3;8)Скачать

Четырехугольник и вектор на плоскости

Каждый школьник понимает, что параллелограмм является специальным видом плоских четырехугольников. Эта фигура состоит из двух пар параллельных пересекающихся отрезков. Она обладает следующими важными свойствами:

• ее противоположные стороны и углы равны друг другу;
• сумма всех четырех углов составляет 360 градусов;
• если просуммировать лишь два смежных (прилежащих к одной стороне) угла, то получится значение 180 градусов;
• любая диагональ делит фигуру на две равные части (треугольники);
• пересечение диагоналей происходит в точке, которая является геометрическим и массовым центром параллелограмма;
• любая секущая, которая проходит через геометрический центр, делит фигуру на две равные по площади части.

Специальные типы

Исходя из определения параллелограмма, как четырехугольника с параллельными и равными по длине противоположными сторонами, можно привести несколько видов фигуры, которые обладают высокой симметрией по отношению к ряду элементарных операций. Это следующие геометрические типы:

1. Квадрат. Все четыре стороны его равны по длине между собой, а углы составляют 90 градусов. Он является фигурой с достаточно высокой симметрией, и его площадь вычисляется просто как квадрат длины любой его стороны.
2. Прямоугольник. Еще один вид параллелограмма, все углы которого являются прямыми. Его симметрия несколько ниже, чем у квадрата, поскольку длины сторон равны лишь попарно. Площадь фигуры можно вычислить, перемножив длины смежных сторон.
3. Ромб. Специальный геометрический тип параллелограмма, который характеризуется тем, что длины всех его сторон являются одинаковыми. Углы фигуры попарно равны и отличаются от 90 градусов (два тупых и два острых).

Направленные отрезки и операция умножения

Площадь параллелограмма через векторы рассчитать легко, если знать понятие направленного отрезка и уметь работать с соответствующими математическими операциями. Поскольку любая точка на плоскости может быть представлена в виде набора двух координат в декартовой прямоугольной системе, то для P и Q можно записать:

P (x1, y1); Q (x2, y2).

Где числа x1, y1, x2 и y2 являются соответствующими координатами для точек P и Q по осям абсцисс и ординат. Чтобы получить вектор PQ-, который будет направлен из P в точку Q, необходимо из координат Q попарно вычесть значения для P:

PQ- = Q — P = (x2-x1, y2-y1).

Координаты направленного отрезка на плоскости определяются так же, как и для точки, набором из двух чисел. Чтобы построить такой вектор в системе координат, необходимо его начало расположить в точке (0, 0), а конец со стрелкой будет располагаться в точке (x2-x1, y2-y1). Из этой геометрической интерпретации следует, что существует бесконечное множество направленных отрезков, которые эквивалентны между собой. Получаются они друг из друга с помощью параллельного переноса по всей плоскости координат.

Как и числа, направленные отрезки также можно складывать между собой, вычитать и умножать. Рассматривая вопрос построение параллелограмма на векторах и нахождения его площади, необходимо изучить свойства векторного произведения. Оно представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат исходные направленные отрезки. Пусть a- и b- необходимо умножить векторно. Результатом произведения будет следующий вектор c-:

c- = [a-*b-] = |a-|*|b-|*sin (alfa).

Здесь alfa — угол между a- и b-, а |a-| и |b-| — длины соответствующих направленных отрезков.

Направление c- принято определять с помощью правила правой руки. Оно гласит: если четыре пальца ладони направить от конца первого умножаемого вектора к концу второго, то оттопыренный большой палец укажет направление результирующего векторного умножения.

Координаты вектора c- можно вычислить также, если воспользоваться понятием определителя матрицы. Пусть a- имеет координаты (a1, a2), а b- = (b1, b2), тогда формула для определения c- запишется в следующем виде:

c- = (0, 0, (a1*b2-b1*a2)).

Вектор c- имеет первые две нулевые координаты, поскольку он перпендикулярен плоскости, в которой находятся a- и b-.

Видео:Прямоугольная система координат в пространстве. 11 класс.Скачать

Формула площади из геометрии

Чтобы получить формулу площади параллелограмма на векторах, необходимо вспомнить, как рассчитывается эта величина для треугольника. Если известна одна сторона (основание a) и высота, которая на нее опущена (h), то получается простое выражение:

Где S3 — площадь треугольника. Поскольку две таких плоских фигуры, которые соединены одной из своих сторон, образуют четырехугольник-паралелограм, то для него рассмотренную величину можно вычислить по формуле:

Пусть вторая сторона параллелограмма равна b, тогда с высотой h она связана через определение тригонометрической функции синус:

sin (alfa) = h/b => h = b*sin (alfa).

Если подставить это равенство в выражение для S4, то нахождение площади фигуры сведется к расчету произведения двух его смежных сторон и синуса угла между ними:

Поскольку угол alfa изменяется от 0 до 180 градусов, то функция синус всегда имеет положительное значение. Этой формулой часто пользуются на практике. Распространение инженерных калькуляторов позволяет быстро и с высокой точностью вычислять синусы любых углов.

Построение параллелограмма

Определить площадь четырехугольника с попарно параллельными сторонами можно не только через длины его сторон. Если внимательно посмотреть на формулу для S4, то можно заметить, что она идентична по виду векторному произведению направленных отрезков.

Пусть имеется два вектора a- и b-. Угол между ними равен alfa. Если их начала совместить в одной точке на плоскости, затем, от конца a- продолжить вектор b-, а из b- начертить a-, то получится параллелограмм, побудованый на a- и b-. Очевидно, что модуль векторного произведения этих направленных отрезков будет равен площади полученной фигуры:

S4 = a*b*sin (alfa) = |[a-*b-]|.

Применяя координатное выражение этого произведения, можно записать следующую формулу для площади:

Где a- = (a1,a2) и b-=(b1,b2). Знак модуля необходим потому, что по правилу правой руки могут получаться отрицательные векторы. Площадь же является всегда величиной положительной.

Преимущество последней записанной формулы для S4 по сравнению с выражением, где необходимо знать длины и углы, заключается в том, что ее использование не требует никаких предварительных вычислений. Достаточно лишь знать координаты конца и начала образующих параллелограмм векторов.

Задача с тремя точками

Чтобы научиться пользоваться записанной простой формулой, следует решить простую задачу. Имеется три точки, координаты которых следующие:

На вершинах этих точек следует построить параллелограмм, а затем, рассчитать его площадь S4.

Задачу проще всего решать через использование векторов. Выберем произвольную точку из трех заданных. Пусть это будет A. Из нее выходит два вектора: AB- и AC-. Их координаты определяются таким образом:

AB- = (2−1, 0-(-1)) = (1, 1); AC- = (-4−1, 3- (-1)) = (-5, 4).

Чтобы определить площадь параллелограмма на этих векторах, следует применить формулу для их векторного произведения. Порядок умножения направленных отрезков не имеет значения. Получается следующий результат:

S4 = [AB-*AC-] = 1*4 — (-5)*1 = 9.

Результат получен в единицах квадратных соответствующей двумерной системы координат.

Если была выбрана в качестве исходной не точка A, а B или C, то получился бы тот же результат, что можно доказать, проделав аналогичные вычисления.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Диагонали фигуры

Некоторые задачи по геометрии параллелограммов в качестве начального условия предлагают знание одной или двух его диагоналей. По этим данным необходимо вычислить характеристики всей фигуры, включая ее площадь. Решать такие задачи также удобно с использованием понятия векторов.

Если дана диагональ, выраженная вектором f- и основание, представленное направленным отрезком a-, то формула для площади параллелограмма имеет вид:

Где beta — угол между a- и f-. Видно, что это выражение не отличается от предыдущих для S4. Доказать его справедливость несложно, если рассмотреть построенные на указанных векторах треугольники и использовать признаки их подобия.

Другой случай, когда даны обе диагонали параллелограмма f- и e-. Воспользовавшись геометрическими построениями на плоскать, можно показать справедливость следующего выражения:

Здесь teta — это угол пересечения e- и f-. Таким образом, чтобы вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат вектора, следует вычислить половину модуля их векторного произведения.

Видео:КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ решение задачСкачать

Пример решения

Все разнообразие задач на определение площади параллелограмма сводится к знанию единственной формулы векторного произведения. Пусть известны две диагонали фигуры. Они имеют координаты:

Чтобы определить величину S4, достаточно без промежуточных вычислений воспользоваться формулой векторного произведения заданных направленных отрезков:

В связи с развитием интернета, всегда можно использовать калькулятор-онлайн для расчета величины S4. Соответствующий электронный ресурс можно знайти, воспользовавшись любой поисковой системой в браузере.

Трехмерное пространство

В пространственной системе координат каждый вектор задается тремя числами, поэтому их векторное произведение c- также будет представлять набор трех цифр. Построенный в пространстве параллелограмм на двух векторах будет иметь площадь, равную длине направленного отрезка c-. Для расчета его модуля следует использовать известное выражение: сумма квадратов трех координат под корнем.

Таким образом, площадь параллелограмма проще всего вычислять, используя операцию умножения векторов. Этот метод является универсальным не только для задач на плоскости, но и для решения проблем в трехмерной системе координат.

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

То есть A + C + D = 0.

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Метод параллелограмма: примеры, решенные упражнения

Содержание:

В метод параллелограмма это графический метод сложения двух векторов на плоскости. Он часто используется, чтобы найти равнодействующую двух сил, приложенных к телу, или двух скоростей, как в случае пловца, который пытается пересечь реку перпендикулярно и отклоняется течением.

Чтобы построить параллелограмм, начала добавляемых векторов в масштабе должны совпадать в одной точке.

Затем параллельно каждому вектору проводят вспомогательные линии, доходящие до крайности другого, как показано на рисунке выше.

Сумма или результирующий вектор, также называемый чистой силой, является вектором F_сеть, который получается путем рисования вектора, идущего от общего начала координат F₁ Y F₂, до точки пересечения вспомогательных параллельных прямых. На схеме рисунка они представлены пунктирными линиями.

Метод получил свое название от фигуры, которая образована слагаемыми векторами и вспомогательными линиями, которая в точности представляет собой параллелограмм. Главная диагональ параллелограмма — это вектор суммы.

Очень важно отметить, что порядок, в котором размещаются слагаемые векторы, вообще не изменяет сумму, так как эта операция между векторами является коммутативной.

Пример пошагового метода параллелограмма

На следующем изображении показаны векторы v Y или в условных единицах. Вектор v измеряет 3,61 единицы и образует угол 56,3 ° с горизонтом, в то время как или он измеряет 6,32 единицы и угол 18.4º относительно указанной опорной линии.

Мы собираемся найти его векторную сумму, используя метод параллелограмма.

Необходимо выбрать соответствующий масштаб, например, показанный на следующем рисунке, в котором плоскость разделена сеткой. Ширина квадрата соответствует одной (1) единице.

Поскольку векторы не изменяются при преобразовании, они располагаются так, чтобы их начало совпадало с началом системы координат (левое изображение).

Теперь давайте выполним следующие шаги:

1. Участок к концу вектора v сегментированная линия, параллельная вектору или.
2. Повторите процедуру, но на этот раз с концом вектора. или.
3. Нарисуйте главную диагональ, идущую от общего начала до точки пересечения сегментированных линий.

Результат виден на правом изображении, на котором появляется результирующий вектор. Р.

Если мы хотим узнать величину р, мы можем измерить его длину и сравнить с имеющимся у нас масштабом. Что касается его направления, то в качестве ориентиров можно использовать, например, горизонтальную или вертикальную ось.

При использовании горизонтальной оси или оси x угол, р форма с указанной осью измеряется транспортиром, и таким образом мы знаем направление р.

Кроме того, величина и направление р можно вычислить с помощью теорем косинусов и синусов, так как образовавшийся параллелограмм можно разделить на два равных треугольника, сторонами которых являются модули векторов или, v Y р. См. Рабочий пример 1.

Частный случай: сумма перпендикулярных векторов

Когда векторы перпендикулярны друг другу, образующаяся фигура представляет собой прямоугольник. Модуль полученного вектора соответствует длине диагонали, которую легко вычислить с помощью теоремы Пифагора.

Решенные упражнения

— Упражнение 1

У нас есть вектор v, который имеет размер 3,61 единицы и составляет угол 56,3 ° с горизонтом, а вектор или, размер которого составляет 6,32 единицы и составляет угол 18,4 ° (рисунок 2). Определите модуль результирующего вектора р = или + v и направление, которое указанный вектор образует с горизонтальной осью.

Решение

Метод параллелограмма применяется в соответствии с шагами, описанными выше, для получения вектора р. Как было сказано ранее, если векторы аккуратно нарисованы по шкале и с помощью линейки и транспортира, величина и направление р они измеряются прямо на чертеже.

Их также можно рассчитать напрямую, с помощью тригонометрии и свойств углов. Когда образованный треугольник не правильный, как в этом случае, применяется теорема косинусов, чтобы найти недостающую сторону.

В треугольнике справа стороны измеряют u, v и R. Чтобы применить теорему косинусов, необходимо знать угол между v Y или, который мы можем найти с помощью сетки, адекватно позиционируя углы, указанные в утверждении.

Этот угол равен α и состоит из:

α = (90-56.3º) + 90º +18.4º = 142.1º

Согласно теореме косинусов:

р 2 = v 2 + ты 2 — 2u⋅v⋅cos α = 3,61 2 + 6.32 2 — 2 × 3,61 × 6,32 × cos 142,1º = 88,98

Наконец, угол между р а по горизонтальной оси θ = 18,4 º + γ. Угол γ можно найти с помощью теоремы синусов:

грех α / R = грех γ / u

sin γ = v (sin α / R) = 3,61 x (sin 142,1º / 9,43)

θ = 18.4 º + 13.6 º = 32º

— Упражнение 2.

Пловец собирается пересечь реку, плывя перпендикулярно течению с постоянной скоростью 2,0 м / с. Пловец стартует из точки А, но заканчивается в точке В, расположенной ниже по течению, из-за отклонившего его течения.

Если скорость течения составляет 0,8 м / с, и все скорости предполагаются постоянными, найдите скорость пловца, которую видит наблюдатель, стоящий на берегу.

Решение

Наблюдатель, стоящий на берегу, увидит, как пловец отклоняется в зависимости от полученной скорости. V_р. Чтобы найти ответ, нам нужно векторно сложить скорость пловца относительно воды и скорость течения, которую мы называем V _Река:

V _р = V _пловец + V _Река

На рисунке, который не в масштабе, векторы были добавлены для получения V _р. В этом случае можно применить теорему Пифагора, чтобы получить его величину:

V_р 2 = 2.0 2 + 0.8 2 = 4.64

Направление, в котором пловец отклоняется от перпендикулярного направления, легко вычислить, учитывая, что:

θ = arctg (2 / 0,8) = 68,2º

Затем пловец отклоняется на 90º — 68,2º = 27,2º от своего первоначального направления.

Ссылки

1. Бауэр, В. 2011. Физика для инженерии и науки. Том 1. Мак Гроу Хилл.
2. Бедфорд, 2000. А. Инженерная механика: Статика. Эддисон Уэсли.
3. Фигероа, Д. (2005). Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. Отредактировал Дуглас Фигероа (USB).
4. Джамбаттиста, А. 2010. Физика. 2-й. Эд. Макгроу Хилл.
5. Сирс, Земанский. 2016. Университетская физика с современной физикой. 14-го. Ред. Том 1.

Психологический профиль психопата по 12 безошибочным чертам

Klebsiella pneumoniae: характеристика, морфология, болезни