Как построить параллелепипед из векторов

Объем параллелепипеда, построенного на векторах онлайн

Объём параллелепипеда равен смешанному произведению векторов на которых он построен:

Как построить параллелепипед из векторов

Поскольку смешанное произведение векторов, может быть отрицательным числом, а объём геометрического тела — всегда число положительное, то при вычислении объёма параллелепипеда, построенного на векторах, результат смешанного произведения берется по модулю:

Таким образом, для того, чтобы вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах, нужно найти смешанное произведение данных векторов, и полученный результат взять по модулю.

Наш онлайн калькулятор, найдет площадь параллелепипеда с описанием подробного хода решения на русском языке.

Видео:Правило параллелепипеда для векторовСкачать

Правило параллелепипеда для векторов

Вектор. Смешанное произведение векторов.

Также его называют тройным скалярным произведением векторов, скорее всего это связано с тем,

что результат — это скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора Как построить параллелепипед из векторов на векторное произведение векторов Как построить параллелепипед из векторов и Как построить параллелепипед из векторов.

Или другими словами:

Смешанным произведением векторов Как построить параллелепипед из векторовявляется число Как построить параллелепипед из векторов, состоящее из скалярного произведения вектора Как построить параллелепипед из векторов на векторное произведение векторов Как построить параллелепипед из векторов и Как построить параллелепипед из векторов. Смешанное произведение

векторов записывается следующим образом:

Как построить параллелепипед из векторов

Геометрический смысл смешанного произведения векторов.

Геометрический смысл смешанного произведения векторов: если три вектора Как построить параллелепипед из векторовправые, то их

смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на них:

Как построить параллелепипед из векторов.

В случае левой тройки Как построить параллелепипед из векторов, смешанное произведение указанных векторов равно объему

параллелепипеда со знаком “–“:

Как построить параллелепипед из векторов.

Если Как построить параллелепипед из векторов, Как построить параллелепипед из векторов и Как построить параллелепипед из векторов компланарны, то их смешанное произведение = 0.

Вывод: объем параллелепипеда, построенного на векторах Как построить параллелепипед из векторов, Как построить параллелепипед из векторов и Как построить параллелепипед из векторов равен модулю смешанного

произведения этих векторов:

Как построить параллелепипед из векторов

Объем пирамиды, построенной на этой тройке этих векторов, находим по формуле:

Как построить параллелепипед из векторов

Геометрические свойства смешанного произведения векторов.

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов Как построить параллелепипед из векторовравен объему Как построить параллелепипед из векторов

параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение Как построить параллелепипед из векторовбудет со знаком плюс, если

тройка векторов Как построить параллелепипед из векторов— правая, и будем иметь отрицательный знак, если тройка Как построить параллелепипед из векторов— левая,

2. Смешанное произведение Как построить параллелепипед из векторов=0 тогда и только тогда, когда векторы Как построить параллелепипед из векторовкомпланарны:

Как построить параллелепипед из векторов векторы компланарны.

Алгебраические свойства смешанного произведения векторов.

1. При перемене мест двух множителей смешанное произведение меняет знак на противоположный:

Как построить параллелепипед из векторов

При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение остается без изменений:

Как построить параллелепипед из векторов

2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.

Первое свойство следует из первого геометрического свойства и свойств ориентации троек векторов, так

как от перестановки двух множителей местами, модуль смешанного произведения остается прежним, а

изменяется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки

остается без изменений.

Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и первого свойства.

Формула вычисления смешанного произведения векторов.

Теорема (формула вычисления смешанного произведения векторов):

Если у векторов Как построить параллелепипед из векторовв правом ортонормированном базисе Как построить параллелепипед из векторовкоординатыКак построить параллелепипед из векторов, Как построить параллелепипед из векторов,

Как построить параллелепипед из векторовсоответственно, то смешанное произведение их вычисляется по следующей формуле:

Как построить параллелепипед из векторов

Из определения следует:

Как построить параллелепипед из векторов

что и требовалось доказать.

Еще некоторые свойства смешанного произведения векторов.

1. Как построить параллелепипед из векторов

2. Как построить параллелепипед из векторов

3 .Три вектора компланарны в том случае, если Как построить параллелепипед из векторов

4. Тройка векторов будет правой только если Как построить параллелепипед из векторов. Ежели Как построить параллелепипед из векторов, то векторыКак построить параллелепипед из векторов, Как построить параллелепипед из векторов и Как построить параллелепипед из векторов

создают левую тройку векторов.

5. Как построить параллелепипед из векторов

6. Как построить параллелепипед из векторов

7. Как построить параллелепипед из векторов

8. Как построить параллелепипед из векторов

9. Как построить параллелепипед из векторов

10. Тождество Якоби: Как построить параллелепипед из векторов

Если векторы Как построить параллелепипед из векторов, Как построить параллелепипед из векторови Как построить параллелепипед из векторовзаданы своими координатами, то их

смешанное произведение можно найти по формуле, приведенной ниже:

Видео:Как строить сечения параллелепипедаСкачать

Как строить сечения параллелепипеда

Правило параллелепипеда. Разложение вектора

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:10 класс, 44 урок, Правило параллелепипедаСкачать

10 класс, 44 урок, Правило параллелепипеда

Правило параллелепипеда

Для правила сложения трех векторов рассмотрим следующую задачу.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Доказать, что $overrightarrow+overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$

Как построить параллелепипед из векторов

Доказательство.

Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:

Так как $overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow$

Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения сложения трех векторов. Чтобы найти сумму трех векторов $overrightarrow,overrightarrow и overrightarrow$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $overrightarrow=overrightarrow$, $overrightarrow=overrightarrow$ и $overrightarrow=overrightarrow$ и построим параллелепипед на этих векторах. Тогда вектор диагонали $overrightarrow$ и будет суммой этих трех векторов. Это правило называется правилом параллелепипеда для сложения трех векторов.

Видео:№358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинамиСкачать

№358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Вспомним сначала, какие векторы называются компланарными.

Два вектора, которые параллельны одной плоскости называются компланарными.

Произвольный вектор $overrightarrow

$ можно разложить по трем некомпланарным векторам $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$ с единственными коэффициентами разложения.

Математически это можно записать следующим образом

Доказательство.

Существование: Пусть нам даны три некомпланарных вектора $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$. Выберем произвольную точку $O$ и построим следующие векторы:

[overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow, overrightarrow=overrightarrow и overrightarrow

=overrightarrow]

Рассмотрим следующий рисунок:

Как построить параллелепипед из векторов

Произведем следующие дополнительные построения. Проведем через точку $P$ прямую, которая будет параллельна вектору $overrightarrow$. Пусть эта прямая пересекает плоскость $OAB$ в точке $P_1$. Далее, проведем через точку $P_1$ прямую, которая будет параллельна вектору $overrightarrow$. Пусть эта прямая пересекает прямую $OA$ в точке $P_2$ (смотри рисунок выше).

Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $overrightarrow+overrightarrow=overrightarrow$, получим:

Так как векторы $overrightarrow$ и $overrightarrow$ коллинеарны, то

Так как векторы $overrightarrow

$ и $overrightarrow$ коллинеарны, то

Так как векторы $overrightarrow

$ и $overrightarrow$ коллинеарны, то

Тогда, получаем, что

Существование разложения доказано.

Единственность: Предположим противное. Пусть существует еще одно разложение вектора $overrightarrow

$ по векторам $overrightarrow, overrightarrow$ и $overrightarrow$:

Вычтем эти разложения друг из друга

Из этого получаем

Теорема доказана.

💥 Видео

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

§20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать

§20 Нахождение объёма параллелипипеда

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.

№359. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.Скачать

№359. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1 по векторам ВА, ВС и ВВ1.

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

№330. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы C1D1, BA1Скачать

№330. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы C1D1, BA1

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

Как построить точки в системе координат OXYZСкачать

Как построить точки в системе координат OXYZ

№361. Диагонали параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. Разложите векторыСкачать

№361. Диагонали параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. Разложите векторы

Урок №6 Решение прямого параллелепипеда с помощью векторовСкачать

Урок №6 Решение прямого параллелепипеда с помощью векторов

Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать

Площадь параллелограмма, построенного на данных векторах

10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторовСкачать

10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторов

10 класс, 43 урок, Компланарные векторыСкачать

10 класс, 43 урок, Компланарные векторы

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ
Поделиться или сохранить к себе: