Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Угол между скрещивающимися прямыми и расстояние между ними. Расстояние от точки до плоскости и от прямой до параллельной ей плоскости
Содержание
  1. Угол между скрещивающимися прямыми и расстояние между ними. Расстояние от точки до плоскости и от прямой до параллельной ей плоскости
  2. Углы и расстояния в пространстве — определение и вычисление с примерами решения
  3. Угол между двумя прямыми в пространстве
  4. Угол между прямой и плоскостью в пространстве
  5. Угол между двумя плоскостями, пространства
  6. Пример №1
  7. Расстояния в пространстве
  8. Пример №2
  9. Пример №3
  10. Пример №4
  11. Угол между прямыми онлайн
  12. Предупреждение
  13. 1. Угол между прямыми на плоскости
  14. Прямые заданы каноническими уравнениями
  15. 1.1. Определение угла между прямыми
  16. 1.2. Условие параллельности прямых
  17. 1.3. Условие перпендикулярности прямых
  18. Прямые заданы общими уравнениями
  19. 1.4. Определение угла между прямыми
  20. 1.5. Условие параллельности прямых
  21. 1.6. Условие перпендикулярности прямых
  22. 2. Угол между прямыми в пространстве
  23. 2.1. Определение угла между прямыми
  24. 2.2. Условие параллельности прямых
  25. 2.3. Условие перпендикулярности прямых
  26. 💥 Видео

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

Угол между скрещивающимися прямыми и расстояние между ними.
Расстояние от точки до плоскости и от прямой до параллельной ей плоскости

Скрещивающиеся прямые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях, и поместить их в одну плоскость невозможно.

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Часто в задачах требуется найти угол между скрещивающимися прямыми. Как это сделать?

Угол между прямыми, лежащими в одной плоскости, найти нетрудно. Можно измерить его транспортиром. Можно найти из какого-нибудь треугольника по теореме синусов или косинусов.

Пусть скрещивающиеся прямые a и b лежат в параллельных плоскостях ? и ?. Проведем в плоскости ? прямую с, параллельную прямой а. Угол между прямыми а и b равен углу между прямыми b и с.

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Можно сказать, что угол между скрещивающимися прямыми — это угол между параллельными им прямыми, лежащими в одной плоскости.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Другими словами, расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых они лежат.

Дадим еще два полезных определения.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости — длина перпендикуляра, опущенного на плоскость из любой точки этой прямой.

Заметим, что расстояние от точки до плоскости или угол между скрещивающимися прямыми иногда проще найти с помощью координатно-векторного метода.

Видео:Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.

Углы и расстояния в пространстве — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

В планиметрии угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки — вершины угла (лучи — стороны угла). Такое определение понятия угла переносится и в стереометрию. Углы в пространстве рассматриваются между двумя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями. Опишем и определим каждый из этих случаев.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Угол между двумя прямыми в пространстве

Две прямые, лежащие в одной плоскости, при пересечении образуют смежные и вертикальные углы. В модуле 1 мы повторили все свойства таких углов (вертикальные углы равны, а смежные — дополняют друг друга до 180°). В пространстве (аналогично планиметрии) также сохраняются все названия и понятия об углах и их величинах. Меньший из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, называют углом между прямыми. Угол между перпендикулярными прямыми равен 90°. Считают, что параллельные прямые также образуют угол, равный 0°. В стереометрии рассматривают угол между скрещивающимися прямыми. Пусть даны скрещивающиеся прямые Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между прямыми, которые пересекаются и соответственно параллельны скрещивающимся. Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— угол между скрещивающимися прямыми Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(рис. 6.1). Он не зависит от выбора пересекающихся прямых, поскольку параллельное перенесение сохраняет равенство соответствующих углов с параллельными сторонами. Например, если Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхто углом между прямыми Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхбудет угол между прямыми Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, где Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(рис. 6.1,6).

Итак,Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях
Если Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, то Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Однако о перпендикулярности скрещивающихся прямых не говорят, поскольку выдерживается определение понятия перпендикулярных прямых.

Угол между прямой и плоскостью в пространстве

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Об угле наклона прямой к плоскости говорят в том случае, когда прямая пересекает эту плоскость. Чтобы построить, например, угол между прямой Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи плоскостью Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхКак определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, последовательно выполняют такие шаги (рис. 6.2):

  1. выбирают точку Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхпрямой Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхКак определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях;
  2. проводят из точки Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхперпендикуляр к плоскости Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхКак определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхКак определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях;
  3. проводят через точки плоскости Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхпрямую Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.

Прямую Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхназывают проекцией прямой Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхна плоскость Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяха.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Если прямая Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхперпендикулярна Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, то угол между ней и плоскостью равен 90°, если параллельна, то — 0°.
Угол между прямой Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи плоскостью Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхобозначают Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхили Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхили Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Читают: «угол между прямой Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи плоскостью Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях».

Угол между двумя плоскостями, пространства

Прямая на плоскости разбивает ее на две полуплоскости. Две полуплоскости могут иметь общую прямую и не образовывать одну плоскость. В этом случае они образуют фигуру, которую называют двугранным углом.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями вместе с общей прямой, их ограничивающей. Эту прямую называют ребром двугранного угла.

Если двугранный угол пересечь плоскостью, перпендикулярной его ребру, то лучи, по которым она пересекает заданные
полуплоскости, образуют линейный угол, например Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(рис. 6.3). Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Пересекающиеся плоскости образуют четыре угла. Чтобы определить угол между двумя плоскостями, проводят плоскость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями. Т.е. угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между двумя прямыми, которые принадлежат этим плоскостям и перпендикулярны прямой их пересечения.
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(рис. 6.3).

Если линейный угол — 90°, то плоскости перпендикулярны. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0°.

Теорема 1

Угол между плоскостями не зависит от места построения линейного угла.

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Выберем точки Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(рис. 6.4), принадлежащие прямой Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— линии пересечения плоскостей Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, — и построим два линейных угла для плоскостей Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Для этого проведем плоскости Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, которые пересекут плоскости Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхпо прямым Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Прямые Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхлежат в плоскости Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи перпендикулярны прямой Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, значит Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Если к плоскости Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхприменить параллельный перенос, который переводит точку Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхв точку Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, то прямая Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхсовпадет с прямой Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, а прямая Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— с прямой Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Это возможно, поскольку прямые параллельны. А потому плоскости Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхсовпадают, отсюда совпадение линейных углов и соответственно их равенство. Теорема доказана.

Пример №1

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Концы отрезка длиной 24 см принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Расстояния от концов отрезка до линии пересечения данных плоскостей равны 12 см и Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхсм. Найдите углы, образованные отрезком с этими плоскостями.

Дано: Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— отрезок,Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхКак определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях
Найти: углы, образованные отрезком Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхс плоскостями Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— проекции точек Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхна плоскости Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхсоответственно. Поскольку Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(или Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях) — прямая пересечения этих плоскостей, то Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.
Итак, Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— прямоугольные, у которых: Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(по условию).
Из Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхКак определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхКак определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях
Из Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхКак определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях
Ответ. 30°; 45°.

Почему именно так?

В этой задаче важно построить проекции концов отрезка на другую, перпендикулярную ей, плоскость. При этом следует помнить, что они должны лежать на прямой пересечения данных перпендикулярных плоскостей, согласно свойствам перпендикулярных плоскостей. Далее, рассматривая прямоугольные треугольники, нужно правильно использовать определение синуса угла как отношения противолежащего катета к гипотенузе и таблицу значений: Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Расстояния в пространстве

Одним из ключевых понятий геометрии является длина отрезка. Через него вводится много других понятий, связанных с понятием расстояния. Как известно, расстоянием между двумя точками Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях и Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхназывается длина отрезка Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(рис. 6.14). Расстояние от точки Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхдо прямой Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхравно длине перпендикуляра Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, проведенного из этой точки на данную прямую (рис. 6.15). Поскольку все другие отрезки Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхс концами в точке Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи произвольной точке Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхпрямой, отличной от Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, — наклонные, то их длина больше длины перпендикуляра. Поэтому говорят, что расстояние от точки до прямой — это длина наименьшего из всех возможных отрезков, проведенных из этой точки к прямой. Такой отрезок является перпендикуляром к прямой. Опираясь на такие рассуждения, определим понятие расстояния между некоторыми другими фигурами в пространстве.

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Рассмотрим плоскость Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи точку Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, не принадлежащую ей (рис. 6.16). Понятно, что за расстояние от точки Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхдо плоскости Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхследует выбрать длину перпендикуляра Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, проведенного из этой точки к плоскости, поскольку все другие отрезки Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, где Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— произвольная точка плоскости, отличная от Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, будут наклонными и поэтому их длина больше чем Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.

Итак, расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

Если точка принадлежит плоскости, то в этом случае расстояние от нее до плоскости равно нулю.

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Расстояние от точки Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях до отрезка Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(рис. 6.17) определяется по такому алгоритму: 1) проводим перпендикуляр Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхиз точки Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхк прямой Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях; 2) если основание Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхэтого перпендикуляра принадлежит данному отрезку Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, то искомое расстояние равно длине отрезка Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(рис. 6.17, а); в другом случае оно равно длине отрезка Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхили Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(в зависимости от того, какая из точек — Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхили Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— лежит ближе к точке Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях) (рис. 6.17, б). Аналогично определяется расстояние от точки до луча.

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине общего перпендикуляра этих прямых (рис. 6.18). Это вытекает из того, что все такие перпендикуляры Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхравны между собой, а каждый отрезок с концами Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхна данных прямых, не являющийся их общим перпендикуляром, имеет длину, большую чем длина общего перпендикуляра Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.

Теорема 2 (о расстоянии между параллельными прямой и плоскостью)

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки прямой к плоскости.

Данная теорема доказывается рассуждениями, аналогичными приведенным выше, о расстоянии между параллельными прямыми.

Теорема 3 (о расстоянии между параллельными плоскостями)

Расстояние между параллельными плоскостями равно длине общего перпендикуляра, проведенного из произвольной точки одной плоскости ко второй.

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Пусть имеем две параллельные плоскости Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(рис. 6.19). Поскольку прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна
и второй, то перпендикуляр Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, проведенный из произвольной точки Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяходной из этих плоскостей ко второй, будет перпендикуляром и к первой, т.е. их общим перпендикуляром. Поскольку любые два попарно взятых общих перпендикуляра Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхпараллельных плоскостей Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхпараллельны, то они равны между собой как отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями. Для полного доказательства теоремы остается показать, что любой отрезок Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхс концами в данных плоскостях Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, не являющийся их общим перпендикуляром, больше общего перпендикуляра Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.

А это вытекает из того, что перпендикуляр Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, к плоскости Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхменьше наклонной Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхк этой плоскости. Теорема доказана.

Понятие расстояния между точками широко применяется в разнообразных сферах жизни человека — от науки до быта и досуга. Используется оно в тех случаях, когда размерами реальных объектов, расстояние между которыми вычисляется, в данных условиях можно пренебречь. Так мы говорим о расстоянии между звездами, планетами, передатчиками и принима-телями информации, населенными пунктами, ядрами атома и электронами на его орбите и т.п.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Сначала рассмотрим определение перпендикуляра, проведенного к двум скрещивающимся прямым, и докажем его существование и единственность.

Общим перпендикуляром к двум скрещивающимся прямым называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из них.

Теорема 4

Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром к параллельным плоскостям, проходящим через эти прямые.

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Действительно, пусть Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— данные скрещивающиеся прямые (рис. 6.20). Проведем прямые Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, соответственно параллельные Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, так, что прямая Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхпересекается с прямой Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, а прямая Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Через прямые Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхкоторые попарно пересекаются, проводим плоскости Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.
Плоскости Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— параллельные. Произвольные прямые Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, которые пересекают прямую Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи перпендикулярны плоскости Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, лежат в одной плоскости. Назовем ее Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Эта плоскость пересекает плоскость Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхпо прямой Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, параллельной Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Пусть точка Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— точка пересечения прямых Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи некой прямой Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, а точка Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— точка пересечения той же прямой Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Тогда прямая Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, перпендикулярная плоскости Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, перпендикулярна и плоскости Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, поскольку Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Отсюда вытекает, что Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.

Отрезок Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— общий перпендикуляр к плоскостям Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, а следовательно, и к прямым Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Докажем, что он единственный. Пусть прямые Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхимеют другой общий перпендикуляр Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Проведем через точку Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхпрямую Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, параллельную Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Прямая Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхперпендикулярна прямой Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, а следовательно, и Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.

Поскольку она перпендикулярна прямым Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхиКак определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, которые проходят через точку Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, то она перпендикулярна плоскости Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Тогда Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхпараллельна прямой Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Имеем, что через прямые Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, как через параллельные прямые, можно провести плоскость и она будет содержать скрещивающиеся прямые Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. А это невозможно. Получили противоречие. Теорема доказана.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Пример №2

Отрезок Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхперпендикулярен плоскости треугольника Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, стороны Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхкоторого соответственно равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите расстояние от точки Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхдо стороны Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, если Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Пусть Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— высота данного остроугольного треугольника Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(рис. 6.21). Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи длина Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхбудет расстоянием от точки Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхдо стороны Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Определим ее из прямоугольного треугольника Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(поскольку Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях), то Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях). Для этого предварительно найдем Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.

Из формулы для площади треугольника Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.
Необходимую площадь определим по формуле Герона: Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях
Тогда Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхиКак определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.

Пример №3

Прямая Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхперпендикулярна плоскости ромба, диагонали которого пересекаются в точке Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Докажите, что расстояния от точки Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхдо всех сторон ромба равны между собой.

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Пусть Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— ромб и Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— точка пересечения его диагоналей (рис. 6.22). Тогда Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— центр вписанной в ромб окружности. Пусть Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— точки касания сторон к окружности. Тогда Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Поскольку Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхКак определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, то по теореме о трех перпендикулярах Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Итак, Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— расстояния от точки Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхдо сторон ромба. Из равенства треугольников Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхвытекает, что Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. Ч.т.д.

Пример №4

Точка Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхне лежит в плоскости прямоугольного треугольника Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи находится на расстояниях Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхот прямых, содержащих катеты Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(рис. 6.23). Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— перпендикуляр к плоскости этого треугольника. Докажите, что четырехугольник Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях-прямоугольник.

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Поскольку отрезки Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— расстояния от точки Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхсоответственно до прямых Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, то Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях. По условию Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, поэтому Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— проекции наклонных Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхна плоскость Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхи Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(по теореме о трех перпендикулярах). Однако Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхпо условию, поэтому Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях— прямоугольник. Ч.т.д.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Подобие треугольников
  • Решение прямоугольных треугольников
  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Квадрат и его свойства
  • Трапеция и ее свойства
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными к этим плоскостямСкачать

Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными к этим плоскостям

Угол между прямыми онлайн

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

1. Угол между прямыми на плоскости

Прямые заданы каноническими уравнениями

1.1. Определение угла между прямыми

Пусть в двухмерном пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях,(1.1)
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях,(1.2)

Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 (рис.1).

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях,
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях,(1.3)

Из выражения (1.3) получим:

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхКак определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(1.4)

Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ1. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.

Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(1.5)
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(1.6)
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.

Упростим и решим:

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Угол между прямыми равен:

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

1.2. Условие параллельности прямых

Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(1.7)

Сделаем преобразования с выражением (1.7):

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях,
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях,
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхКак определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях,
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях,
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях,
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(1.8)

Таким образом условие параллельности прямых L1 и L2 имеет вид (1.8). Если m2≠0 и p2≠0, то (1.8) можно записать так:

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(1.9)

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(1.10)
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(1.11)
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.

Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.

1.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(1.12)

Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(1.13)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(1.14)
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(1.15)
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(16)

Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.

Прямые заданы общими уравнениями

1.4. Определение угла между прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(1.17)
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(1.18)

Так как нормальным вектором прямой L1 является n1=(A1, B1), а нормальным вектором прямой L2 является n2=(A2, B2), то задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла φ между векторами n1 и n2 (Рис.2).

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.

Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(1.19)

Из уравнения (19) получим

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхКак определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(1.20)

Пример 4. Найти угол между прямыми

5x1−2x2+3=0(1.21)
x1+3x2−1=0.(1.22)
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(23)
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Упростим и решим:

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

1.5. Условие параллельности прямых

Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(1.24)

С другой стороны условие параллельности прямых L1 и L2 эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2 и можно представить так:

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(1.25)

Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A2≠0 и B2≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).

Пример 5. Определить, параллельны ли прямые

4x+2y+2=0(1.26)

Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.

1.6. Условие перпендикулярности прямых

Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n1,n2)=0. Откуда

A1A2+B1B2=0.(1.28)

Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).

Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые

4x−1y+2=0(1.29)
2x+8y−14=0.(1.30)

Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 11 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 11 класс.

2. Угол между прямыми в пространстве

2.1. Определение угла между прямыми

Пусть в пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях,(2.1)
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях,(2.2)

Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 .

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях,(2.3)

Из выражения (2.3) получим:

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхКак определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(2.4)

Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.

Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Пример 1. Определить угол между прямыми

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(2.5)
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(2.6)
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхКак определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.

Упростим и решим:

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

Угол между прямыми равен:

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях

2.2. Условие параллельности прямых

Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q1 и q2, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть

m1=αm2, p1=αp2, l1=αl2(2.7)

где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q1 и q2 пропорциональны, и, следовательно прямые L1 и L2 параллельны.

Условие параллельности прямых можно представить и так:

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(2.8)

Отметим, что любую пропорцию Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхнужно понимать как равенство ad=bc.

Пример 2. Определить, параллельны ли прямые

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(2.9)
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(2.10)
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.

Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.

Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.

Пример 3. Определить, параллельны ли прямые

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(2.11)
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(2.12)
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(2.13)

Выражение (2.13) нужно понимать так:

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях, Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(2.14)

Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.

2.3. Условие перпендикулярности прямых

Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(2.15)

Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(2.16)

Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые

Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях(2.17)
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(2.18)
Как определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостяхКак определить угол между прямыми лежащими в параллельных плоскостях.(2.19)

Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.

💥 Видео

10 класс, 9 урок, Угол между прямымиСкачать

10 класс, 9 урок, Угол между прямыми

9. Угол между плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности плоскостейСкачать

9. Угол между плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Урок 6. Угол между прямыми в пространстве. Стереометрия с нуля.Скачать

Урок 6. Угол между прямыми в пространстве. Стереометрия с нуля.

Видеоурок "Угол между прямыми в пространстве"Скачать

Видеоурок "Угол между прямыми в пространстве"

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

Видеоурок "Угол между прямыми"Скачать

Видеоурок "Угол между прямыми"

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекции

Стереометрия для ЕГЭ: 3 - угол между прямыми и плоскостьюСкачать

Стереометрия для ЕГЭ: 3 - угол между прямыми и плоскостью

ЕГЭ по математике - Угол между скрещивающимися прямымиСкачать

ЕГЭ по математике - Угол между скрещивающимися прямыми

9. Угол между прямымиСкачать

9. Угол между прямыми

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.

10 класс, 21 урок, Угол между прямой и плоскостьюСкачать

10 класс, 21 урок, Угол между прямой и плоскостью
Поделиться или сохранить к себе: