- Определение
- Формулы
- Радиус вписанной окружности в треугольник
- Радиус описанной окружности около треугольника
- Площадь треугольника
- Периметр треугольника
- Сторона треугольника
- Средняя линия треугольника
- Высота треугольника
- Свойства
- Доказательство
- Равнобедренные треугольники
- Все формулы для радиуса вписанной окружности
- Радиус вписанной окружности в треугольник
- Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
- Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
- 💡 Видео
Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать
Определение
Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.
На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.
ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.
O — центр вписанной в треугольник окружности.
Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
r — радиус вписанной окружности.
- Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:
Радиус описанной окружности около треугольника
R — радиус описанной окружности.
- Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:
Площадь треугольника
S — площадь треугольника.
- Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:
Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:
[ S = fracab cdot sin angle C ]
Периметр треугольника
P — периметр треугольника.
- Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:
Сторона треугольника
a — сторона треугольника.
- Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:
Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:
Средняя линия треугольника
l — средняя линия треугольника.
- Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:
Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:
Высота треугольника
h — высота треугольника.
- Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:
[ h = b cdot sin alpha ]
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:
Видео:Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать
Свойства
- Центр вписанной в треугольник окружности
находится на пересечении биссектрис. - В треугольник, вписанный в окружность,
можно вписать окружность, причем только одну. - Для треугольника, вписанного в окружность,
справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
и Теорема Пифагора. - Центр описанной около треугольника окружности
находится на пересечении серединных перпендикуляров. - Все вершины треугольника, вписанного
в окружность, лежат на окружности. - Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
- Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
формуле Герона.
Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать
Доказательство
Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.
окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.
окружность описана
около треугольника.
- Проведем серединные
перпендикуляры — HO, FO, EO. - O — точка пересечения серединных
перпендикуляров равноудалена от
всех вершин треугольника. - Центр окружности — точка пересечения
серединных перпендикуляров — около
треугольника описана окружность — O,
от центра окружности к вершинам можно
провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.
окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.
Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Равнобедренные треугольники
Равнобедренный треугольник — это такой треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми. Третья сторона называется основанием.
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
3. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
4. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
5. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.
6. В равнобедренном треугольнике:
— биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;
— высоты, проведенные из вершин при основании, равны;
— медианы, проведенные из вершин при основании, равны.
7. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане, проведенных к основанию.
8. Вписанная окружность точкой касания делит основание пополам.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
$∠BCD$ — внешний угол треугольника $АВС$.
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$.
Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
- Котангенсом ($ctg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:
- В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
- Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
- Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.
$cos BOA= — cos BOC;$
$ctg BOA= — ctg BOC.$
В треугольнике $ABC$ $AB=BC, AH$ — высота, $AC=34, cos ∠BAC=0.15$. Найдите $CH$.
Так как треугольник $АВС$ равнобедренный, то $∠A=∠С$ (как углы при основании)
Косинусы равных углов равны, следовательно, $cos∠BAC=cos∠ВСА=0.15$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $АНС$.
Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Распишем косинус $∠НСА$ (он же $∠ВСА$) по определению:
Из последнего равенства найдем $НС$, для этого $0.15$ представим в виде обыкновенной дроби и воспользуемся свойством пропорции:
Если на сторонах $ВС, АВ$ и продолжении стороны $АС$ треугольника $АВС$ за точку $С$ отмечены соответственно $А_1,С_1,В_1$, лежащие на одной прямой, то
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
В треугольнике $АВС$ $ВС=16, sin∠A=/$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.
Воспользуемся теоремой синусов:
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности
Далее подставим числовые данные и найдем $R$
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
Видео:№690. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружностиСкачать
Все формулы для радиуса вписанной окружности
Видео:№250. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 7 см и 3 смСкачать
Радиус вписанной окружности в треугольник
a , b , c — стороны треугольника
p — полупериметр, p=( a + b + c )/2
Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):
Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
a — сторона треугольника
r — радиус вписанной окружности
Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):
Видео:Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать
Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол
a — равные стороны равнобедренного треугольника
b — сторона ( основание)
α — угол при основании
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :
2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота
a — равные стороны равнобедренного треугольника
b — сторона ( основание)
h — высота
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :
💡 Видео
Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в равносторонний треугольник.Скачать
№107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметрСкачать
ЕГЭ 6 номер. Нахождение стороны правильного треугольника по радиусу вписанной окружности.Скачать
№689. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 смСкачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
№490. Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: а) основание равноСкачать
Вписанная окружность в равностороннем треугольникеСкачать
Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружностьСкачать
Как найти сторону равностороннего треугольника #shorts | ЕГЭ 2022 по профильной математике | ЭйджейСкачать