Как определить большую сторону треугольника

Свойства сторон и углов треугольника

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

Как определить большую сторону треугольника,

где α – больший угол треугольника.

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

Как определить большую сторону треугольника,

где β – меньший угол треугольника.

Как определить большую сторону треугольника,

ФигураРисунокФормулировка
ТреугольникКак определить большую сторону треугольника
Большая сторона треугольникаКак определить большую сторону треугольникаПротив большей стороны треугольника лежит больший угол
Больший угол треугольникаПротив большего угла треугольника лежит большая сторона
Меньшая сторона треугольникаКак определить большую сторону треугольникаПротив меньшей стороны треугольника лежит меньший угол
Меньший угол треугольникаПротив меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона
Длины сторон треугольникаКак определить большую сторону треугольника
Углы треугольникаКак определить большую сторону треугольника
Внешний угол треугольникаКак определить большую сторону треугольника
Больший угол треугольникаКак определить большую сторону треугольника
Меньший угол треугольникаКак определить большую сторону треугольника
Теорема косинусовКак определить большую сторону треугольника
Теорема синусовКак определить большую сторону треугольника

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Определение . Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

Как определить большую сторону треугольника,

где α – больший угол треугольника.

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

Как определить большую сторону треугольника,

где β – меньший угол треугольника.

Как определить большую сторону треугольника,

Треугольник
Как определить большую сторону треугольника
Большая сторона треугольника
Как определить большую сторону треугольникаПротив большей стороны треугольника лежит больший угол
Больший угол треугольника
Как определить большую сторону треугольникаПротив большего угла треугольника лежит большая сторона
Меньшая сторона треугольника
Как определить большую сторону треугольникаПротив меньшей стороны треугольника лежит меньший угол
Меньший угол треугольника
Как определить большую сторону треугольникаПротив меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона
Длины сторон треугольника
Как определить большую сторону треугольника
Углы треугольника
Как определить большую сторону треугольника
Внешний угол треугольника
Как определить большую сторону треугольника
Больший угол треугольника
Как определить большую сторону треугольника
Меньший угол треугольника
Как определить большую сторону треугольника
Теорема косинусов
Как определить большую сторону треугольника
Теорема синусов
Как определить большую сторону треугольника
Треугольник
Как определить большую сторону треугольника

Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.

Определение . Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .

Большая сторона треугольникаКак определить большую сторону треугольника

Свойство большей стороны треугольника:

Против большей стороны треугольника лежит больший угол

Больший угол треугольникаКак определить большую сторону треугольника

Свойство большего угла треугольника:

Против большего угла треугольника лежит большая сторона

Меньшая сторона треугольникаКак определить большую сторону треугольника

Свойство меньшей стороны треугольника:

Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол

Меньший угол треугольникаКак определить большую сторону треугольника

Свойство меньшего угла треугольника:

Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона

Длины сторон треугольникаКак определить большую сторону треугольника

Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.

Углы треугольникаКак определить большую сторону треугольника

Свойство углов треугольника:

Сумма углов треугольника равна 180°

Внешний угол треугольника

Как определить большую сторону треугольника

Как определить большую сторону треугольника

Свойство внешнего угла треугольника:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Больший угол треугольникаКак определить большую сторону треугольника

Свойство большего угла треугольника:

Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.

Как определить большую сторону треугольника,

где α – больший угол треугольника.

Меньший угол треугольникаКак определить большую сторону треугольника

Свойство меньшего угла треугольника:

Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.

Как определить большую сторону треугольника,

где β – меньший угол треугольника.

Теорема косинусовКак определить большую сторону треугольника

Теорема синусовКак определить большую сторону треугольника

Свойство меньшего угла треугольника:

Как определить большую сторону треугольника,

Содержание
  1. Как найти сторону треугольника — в помощь школьнику
  2. При помощи сторон и углов
  3. Равнобедренный треугольник
  4. Прямоугольный треугольник
  5. Итоги
  6. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  7. Типы треугольников
  8. По величине углов
  9. По числу равных сторон
  10. Вершины углы и стороны треугольника
  11. Свойства углов и сторон треугольника
  12. Теорема синусов
  13. Теорема косинусов
  14. Теорема о проекциях
  15. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  16. Медианы треугольника
  17. Свойства медиан треугольника:
  18. Формулы медиан треугольника
  19. Биссектрисы треугольника
  20. Свойства биссектрис треугольника:
  21. Формулы биссектрис треугольника
  22. Высоты треугольника
  23. Свойства высот треугольника
  24. Формулы высот треугольника
  25. Окружность вписанная в треугольник
  26. Свойства окружности вписанной в треугольник
  27. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  28. Окружность описанная вокруг треугольника
  29. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  30. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  31. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  32. Средняя линия треугольника
  33. Свойства средней линии треугольника
  34. Периметр треугольника
  35. Формулы площади треугольника
  36. Формула Герона
  37. Равенство треугольников
  38. Признаки равенства треугольников
  39. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  40. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  41. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  42. Подобие треугольников
  43. Признаки подобия треугольников
  44. Первый признак подобия треугольников
  45. Второй признак подобия треугольников
  46. Третий признак подобия треугольников
  47. 📸 Видео

Видео:Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать

Найдите сторону треугольника на рисунке

Как найти сторону треугольника — в помощь школьнику

Есть несколько способов решения этой геометрической задачи. Они описаны в статье.

Видео:Найдите третью сторону треугольникаСкачать

Найдите третью сторону треугольника

При помощи сторон и углов

Итак, первый способ нахождения сторон треугольника — это по нескольким сторонам и углу между ними (и аналогично с углами и одной прилежащей стороной). Данный способ подойдет для старшей школы, так как здесь используются такие понятия, как синус, косинус, квадрат числа и корень. Итак, как найти сторону треугольника, который является произвольным? Для начала нарисуем эту самую фигуру. Теперь давайте обзовем элементы нашей фигуры. Стороны будут a, b и c. Угол, находящийся напротив стороны a, у нас будет «альфа», напротив b -«бета», напротив c — «гамма».

Как определить большую сторону треугольника

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

Равнобедренный треугольник

Что такое равнобедренный треугольник? Сам по себе он имеет две одинаковые стороны и так называемое основание. Стороны-близнецы обозначим буквой a, основание — b. Стало быть, раз у треугольника есть два «бедра» одной величины, то и углы на «фундаменте» тоже будут одинаковыми. Их назовем «альфа». Для того чтобы ответить, как найти сторону равнобедренного треугольника, необходимо ввести еще одну величину — угол, образованный между равными «бедрами».
Так как он располагается напротив b, то назвать его лучше всего «бета». Здесь при поиске неизвестных сторон можно пользоваться несколькими формулами. Давайте же посмотрим, какими именно. Первые две — это те, по которым можно вычислить длину стороны основания равнобедренного треугольника. Основана она на знаниях ученика о синусах и косинусах.

Как определить большую сторону треугольника

Как определить большую сторону треугольника

Видео:Почти никто не решил ➜ Найдите сторону треугольникаСкачать

Почти никто не решил ➜ Найдите сторону треугольника

Прямоугольный треугольник

Наверное, каждый школьник, который только начал изучение геометрии, знает, что такое прямоугольный треугольник. С первого взгляда в данной фигуре нет ничего особенного, сложного и непонятного. Но вот когда «теряются» данные о той или иной стороне сего геометрического объекта, начинаются проблемы. Дело все в том, что вопрос: «Как найти сторону прямоугольного треугольника?» — затрагивает не только понятия синуса и косинуса, а еще и тангенсов углов. Таким образом, вычисления становятся намного сложнее и больше. Итак, сначала обозначим два катета нарисованного прямоугольного треугольника через a и b. Углы, лежащие напротив этих сторон, как и принято было прежде, назовем «альфа» и «бета» соответственно. Нашей гипотенузой будет служить сторона c. Угол, лежащий против него, нам не понадобится — он будет прямым. Вариантов вычислений тут несколько. Первый называется классическим. Для катета a формулы выглядит как: a=c*cos»бета»=c*sin»альфа»=b*tg»альфа».

Как определить большую сторону треугольника

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Итоги

Итак, сегодня мы разобрались, как найти сторону треугольника, и выучили много новых формул. Для того чтобы лучше их запомнить, запишите их на какую-нибудь бумажку, по которой потом будет проще учить все наизусть. Не стоит пугаться «страшных» цифр и больших вычислений. Все проще, чем кажется.

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Типы треугольников

По величине углов

Как определить большую сторону треугольника

Как определить большую сторону треугольника

Как определить большую сторону треугольника

По числу равных сторон

Как определить большую сторону треугольника

Как определить большую сторону треугольника

Как определить большую сторону треугольника

Видео:Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5Скачать

Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Как определить большую сторону треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Медианы треугольника

Как определить большую сторону треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать

Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.

Биссектрисы треугольника

Как определить большую сторону треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Задача про стороны треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Задача про стороны треугольника. Геометрия 7 класс.

Высоты треугольника

Как определить большую сторону треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

9 класс, 15 урок, Решение треугольников

Окружность вписанная в треугольник

Как определить большую сторону треугольника

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?

Окружность описанная вокруг треугольника

Как определить большую сторону треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Определить вид треугольника по сторонам. 9 классСкачать

Определить вид треугольника по сторонам. 9 класс

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Как определить большую сторону треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать

Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16

Периметр треугольника

Как определить большую сторону треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Формулы площади треугольника

Как определить большую сторону треугольника

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Видео:Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬСкачать

Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬ

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Подобие треугольников

Как определить большую сторону треугольника

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

📸 Видео

Указать большую сторону треугольника по величине угла.Скачать

Указать большую сторону треугольника по величине угла.
Поделиться или сохранить к себе: