Как описать окружность 7 класс треугольника

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Как описать окружность 7 класс треугольникаСерединный перпендикуляр к отрезку
Как описать окружность 7 класс треугольникаОкружность описанная около треугольника
Как описать окружность 7 класс треугольникаСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Как описать окружность 7 класс треугольникаДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Как описать окружность 7 класс треугольника

Содержание
  1. Серединный перпендикуляр к отрезку
  2. Окружность, описанная около треугольника
  3. Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
  4. Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
  5. Окружность, описанная около треугольника 7 класс
  6. «Снятие эмоционального напряжения у детей и подростков с помощью арт-практик и психологических упражнений»
  7. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  8. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  9. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  10. Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
  11. Материал подходит для УМК
  12. Дистанционные курсы для педагогов
  13. Другие материалы
  14. Вам будут интересны эти курсы:
  15. Оставьте свой комментарий
  16. Автор материала
  17. Дистанционные курсы для педагогов
  18. Подарочные сертификаты
  19. Окружность, описанная около треугольника
  20. Определение окружности, описанной около треугольника
  21. Теорема об окружности, описанной около треугольника
  22. 🔥 Видео

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Как описать окружность 7 класс треугольника

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Как описать окружность 7 класс треугольника

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Как описать окружность 7 класс треугольника

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Как описать окружность 7 класс треугольника

Как описать окружность 7 класс треугольника

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Как описать окружность 7 класс треугольника

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Как описать окружность 7 класс треугольника

Как описать окружность 7 класс треугольника

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Как описать окружность 7 класс треугольника

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Как описать окружность 7 класс треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Как описать окружность 7 класс треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Как описать окружность 7 класс треугольникаВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаКак описать окружность 7 класс треугольникаОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиКак описать окружность 7 класс треугольникаЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиКак описать окружность 7 класс треугольникаЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовКак описать окружность 7 класс треугольника
Площадь треугольникаКак описать окружность 7 класс треугольника
Радиус описанной окружностиКак описать окружность 7 класс треугольника
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Как описать окружность 7 класс треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаКак описать окружность 7 класс треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиКак описать окружность 7 класс треугольника

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиКак описать окружность 7 класс треугольника

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиКак описать окружность 7 класс треугольника

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовКак описать окружность 7 класс треугольника

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Как описать окружность 7 класс треугольника,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаКак описать окружность 7 класс треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиКак описать окружность 7 класс треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

Как описать окружность 7 класс треугольника

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Как описать окружность 7 класс треугольника

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Как описать окружность 7 класс треугольника

Как описать окружность 7 класс треугольника.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Как описать окружность 7 класс треугольника

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Окружность, описанная около треугольника 7 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Как описать окружность 7 класс треугольника

Урок № 57 Тема: Окружность, описанная около треугольника Дата _______

сформировать у учеников знания о понятии окружности, описанной около треугольника, научить находить центр окружности, описанной около треугольника;

способствовать развитию познавательного интереса, умения работать с инструментами, литературой;

воспитывать интерес к геометрии, общую культуру поведения.

Цель: создать условия для формирования знаний, организовать работу по усвоению понятия окружности, описанной около треугольника.

Оборудование, наглядные пособия: циркуль, линейка, доска, учебник, CD — диск.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Методы: репродуктивные, объяснительно-иллюстрационные.

Проверка домашней работы

Актуализация учебного процесса (фронтальный опрос)

Формирование новых знаний

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Как описать окружность 7 класс треугольника

Теорема. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон.

Как описать окружность 7 класс треугольника

Доказательство. Пусть ABC-данный треугольник и О-центр описанной около него окружности. Треугольник АОС равнобедренный; у него стороны ОА и ОС равны как радиусы. Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне АС и проходящей через ее середину. Точно так же доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугольника.

Замечание. Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром.

Как описать окружность 7 класс треугольника

Первичное закрепление изученного материала. Решение задач

Какие углы образует хорда АВ, равная радиусу окружности, с касательной в точке А?

Как описать окружность 7 класс треугольника

Подведение итогов урока. Задание на дом

Глава III, § 1.2, №(стр. 66-68) (А.Н. Шыныбеков Геометрия-7)

Как описать окружность 7 класс треугольника

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 942 человека из 79 регионов

Как описать окружность 7 класс треугольника

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 316 человек из 68 регионов

Как описать окружность 7 класс треугольника

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 691 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 487 913 материалов в базе

Материал подходит для УМК

Как описать окружность 7 класс треугольника

«Геометрия», Погорелов А.В.

39. Окружность, описанная около треугольника

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Дистанционные курсы для педагогов

Другие материалы

Как описать окружность 7 класс треугольника

  • 28.10.2018
  • 269

Как описать окружность 7 класс треугольника

  • 28.10.2018
  • 419

Как описать окружность 7 класс треугольника

  • 28.10.2018
  • 681

Как описать окружность 7 класс треугольника

  • 24.10.2018
  • 2451

Как описать окружность 7 класс треугольника

  • 24.10.2018
  • 256

Как описать окружность 7 класс треугольника

  • 24.10.2018
  • 401

Как описать окружность 7 класс треугольника

  • 24.10.2018
  • 419

Как описать окружность 7 класс треугольника

  • 24.10.2018
  • 220

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 29.10.2018 1664 —> —> —> —>
  • DOCX 310.5 кбайт —> —>
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Малюков Андрей Николаевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Как описать окружность 7 класс треугольника

  • На сайте: 6 лет и 6 месяцев
  • Подписчики: 1
  • Всего просмотров: 24898
  • Всего материалов: 17

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)

Дистанционные курсы
для педагогов

548 курсов от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Как описать окружность 7 класс треугольника

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Как описать окружность 7 класс треугольника

В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений

Время чтения: 1 минута

Как описать окружность 7 класс треугольника

WWF выпустил настольную игру об изменении климата

Время чтения: 3 минуты

Как описать окружность 7 класс треугольника

В Петербурге дали рекомендации по переводу школьников на дистант

Время чтения: 3 минуты

Как описать окружность 7 класс треугольника

Свободное движение повышает креативность

Время чтения: 1 минута

Как описать окружность 7 класс треугольника

Минспорта утвердило программу подготовки киберспортсменов

Время чтения: 1 минута

Как описать окружность 7 класс треугольника

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:7 класс, 21 урок, ОкружностьСкачать

7 класс, 21 урок, Окружность

Окружность, описанная около треугольника

Видео:ОПИСАННАЯ и ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 классСкачать

ОПИСАННАЯ и  ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 класс

Определение окружности, описанной около треугольника

Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).

Как описать окружность 7 класс треугольника

При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .

Видео:Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.

Как описать окружность 7 класс треугольника

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.Как описать окружность 7 класс треугольника

Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Как описать окружность 7 класс треугольника

🔥 Видео

Треугольники. 7 класс.Скачать

Треугольники. 7 класс.

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

7 класс. Окружность, описанная около треугольникаСкачать

7 класс. Окружность, описанная около треугольника

ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА. Видеоурок | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА. Видеоурок | ГЕОМЕТРИЯ 7 класс

Треугольник, вписанный в окружность геометрия 7 классСкачать

Треугольник, вписанный в окружность геометрия 7 класс

7 класс. Геометрия. Окружность вписанная в треугольник и окружность описанная около треугольника #11Скачать

7 класс. Геометрия. Окружность вписанная в треугольник и окружность описанная около треугольника #11

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Вписанная и описанная окружности треугольника, 7 классСкачать

Вписанная и описанная окружности треугольника, 7 класс
Поделиться или сохранить к себе: