Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны

Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости называются скрещивающимися. Прямая и плоскость в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельныКак называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельныКак называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения плоскостей параллельны. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести параллельную плоскость, и притом только одну.

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельныКак называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельныКак называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны, так как Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельныКак называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельныКак называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны

Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны.

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны= Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны= Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны

Прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку их пересечения.

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны

Прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым в плоскости, проходящим через точку их пересечения.

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны.

Через каждую точку плоскости можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. Все прямые, перпендикулярные данной плоскости, параллельны.

Перпендикуляр, опущенный из данной точки на данную плоскость, — это отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, которая перпендикулярна плоскости. Основание перпендикуляра — это его конец, лежащий в плоскости.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного от этой точки на плоскость.

Наклонная, проведенная из данной точки к данной плоскости, — это любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, который не является перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, который лежит в плоскости, — это основание наклонной. Проекция наклонной — это отрезок, который соединяет основания перпендикуляра (точку С) и наклонной (точку А).

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны

Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если плоскость, перпендикулярная прямой их пересечения, пересекает данные плоскости по перпендикулярным прямым.

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны

Так как Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельныКак называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельныКак называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны, то Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельныКак называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельныКак называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №6. Параллельность плоскостей

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

  1. Определение параллельных плоскостей;
  2. Свойства параллельных плоскостей;
  3. Признак параллельности плоскостей.

Глоссарий по теме

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии 10 Москва «Просвещение» 2013 год. С. 1-4.

Зив Б. Г. Геометрия 10 класс Дидактические материалы Москва «Просвещение» 2013 год. С.4, 14, 24

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Как известно из аксиом стереометрии, если плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Значит две плоскости или пересекаются, или не пересекаются.

Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Параллельные плоскости α и β обозначаются α∥β.

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны

Любая конструкция с полом, потолком и стенами даёт нам представление о параллельных плоскостях — пол и потолок как две параллельные плоскости, боковые стены как параллельные плоскости.

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельныПризнак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Пусть α и β — данные плоскости, a1 и a2 – пересекающиеся прямые в плоскости α, а b1 и b2 соответственно параллельные им прямые в плоскости β.

Допустим, что плоскости α и β не параллельны, то есть они пересекаются по некоторой прямой c.

Прямая a1 параллельна прямой b1, значит она параллельна и самой плоскости β.

Прямая a2 параллельна прямой b2, значит она параллельна и самой плоскости β (признак параллельности прямой и плоскости).

Прямая c принадлежит плоскости α, значит хотя бы одна из прямых a1 или a2 пересекает прямую c, то есть имеет с ней общую точку. Но прямая c также принадлежит и плоскости β, значит, пересекая прямую c, прямая a1 или a2 пересекает плоскость β, чего быть не может, так как прямые a1 и a2 параллельны плоскости β.

Из этого следует, что плоскости α и β не пересекаются, то есть они параллельны.

Свойства параллельных плоскостей.

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельныТеорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.

Пусть α и β — параллельные плоскости, а γ- плоскость, пересекающая их.

Плоскость α пересекается с плоскостью γ по прямой a.

Плоскость β пересекается с плоскостью γ по прямой b.

Линии пересечения a и b лежат в одной плоскости γ и потому могут быть либо пересекающимися, либо параллельными прямыми. Но, принадлежа двум параллельным плоскостям, они не могут иметь общих точек. Следовательно, они параллельны.

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельныТеорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.

Пусть α и β — параллельные плоскости, а a и b – параллельные прямые, пересекающие их.

Через прямые a и b можно провести плоскость — эти прямые параллельны, значит определяют плоскость, причём только одну.

Проведённая плоскость пересекается с плоскостью α по прямой AB, а с плоскостью β по прямой CD.

По предыдущей теореме прямые AB и CD параллельны. Четырехугольник ABCD есть параллелограмм (у него противоположные стороны параллельны). А раз это параллелограмм, то противоположные стороны у него равны, то есть BC=AD.

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны

Теорема 3. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

Пусть α||β, a пересекает α в точке А.

Выберем в плоскости любую точку C. Через эту точку и прямую a проведём плоскость.

Так как плоскость имеет с плоскостями α и β общие точки A и C соответственно, то она пересекает эти плоскости по некоторым прямым b и c, которые проходят соответственно через точки A и C. По предыдущей теореме прямые b и c параллельны. Тогда в плоскости прямая a пересекает (в точке A) прямую b, которая параллельна прямой c. Значит, прямая a пересекает и прямую c в некоторой точке B. Так как прямая c лежит в плоскости, то точка B является точкой пересечения прямой a и плоскости. Теорема доказана.

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельныТеорема 4. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.

Пусть α||β, α и γ пересекаются.

Докажем, что плоскости β и γ пересекаются.

Проведём в плоскости γ прямую a, пересекающую плоскость α в некоторой точке B. Тогда по теореме 3 прямая a пересекает и плоскость β в некоторой точке A. Следовательно, плоскости β и γ имеют общую точку A, т. е. пересекаются. Теорема доказана.

Теорема 5. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Пусть нам даны плоскость α и точка М, ей не принадлежащая.

Докажем, что существует плоскость β, которой принадлежит точка М, параллельная плоскости α.

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельныВ данной плоскости α проведём две произвольные пересекающиеся прямые a и b. Через точку M проведём прямые a1 и b1, параллельные соответственно a и b. Плоскость, проходящую через пересекающиеся прямые a1 и b1, обозначим β. На основании признака параллельности плоскостей плоскость β параллельна плоскости α.

Докажем методом от противного, что β — единственная плоскость, удовлетворяющая условию теоремы.

Допустим, что через точку M проходит другая плоскость, например β1, параллельная α.

Так как β1 пересекает плоскость β (они имеют общую точку M), то по теореме 4 плоскость β1 пересекает и плоскость α (β ‖ α). Мы пришли к противоречию. Таким образом, предположение о том, что через точку M можно провести плоскость, отличную от плоскости β и параллельную плоскости α, неверно. Значит, плоскость β — единственна. Теорема доказана.

Рассмотрим несколько примеров на применение данных свойств.

Даны две пересекающиеся прямые a и b точка А, не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку А проходит плоскость, параллельная прямым a и b, и притом только одна.

Прямые a и b пересекаются по условию, следовательно, по следствию из аксиомы А1, эти прямые единственным образом определяют плоскость α.

Известно, что через точку А, не принадлежащую плоскости α, проходит единственная плоскость, параллельная α, т.е. параллельная прямым a и b (по теореме 5) .

Плоскости α и β параллельны, прямая m лежит в плоскости α. Докажите, что прямая m параллельна плоскости β.

Предположим, что прямая m пересекает плоскость β в точке М. Тогда точка М принадлежит плоскости α (т.к. прямая m лежит в плоскости α) и М принадлежит плоскости β, значит, α и β пересекаются, но они параллельны по условию. Очевидно, m не пересекает плоскость α, т.е. параллельна ей.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельныТри отрезка А1А2, В1В2 и С1С2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны.

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые А1А2 и В1В2

(она существует и единственная, т.к. прямые пересекаются).

В этой плоскости лежит четырехугольник А1В1А2В2, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом (признак параллелограмма), значит, А1В1 и А2В2 параллельны.

Аналогично доказывается параллельность В1С1 и В2С2. Из вышеперечисленного следует, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны по признаку параллельности плоскостей.

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые А1А2 и В1В2

(она существует и единственная, т.к. прямые пересекаются).

В этой плоскости лежит четырехугольник А1В1А2В2, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом (признак параллелограмма), значит, А1В1 и А2В2 параллельны.

Аналогично доказывается параллельность В1С1 и В2С2. Из вышеперечисленного следует, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны по признаку параллельности плоскостей.

Тип задания: выделение цветом

Два равнобедренных треугольника FKС и FKD с общим основанием FK расположены так, что точка С не лежит в плоскости FKD. Определите взаимное расположение прямых, содержащих медианы треугольников, проведенных к сторонам KС и KD.

Прямые, которые содержат медианы треугольников к KC и KD- выходят из одной точки F. Соответственно, можно сделать вывод, что данные прямые пересекаются.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Как называются две прямые если они не лежат в одной плоскости и не параллельны

На этом уроке мы дадим основные определения и теоремы на тему параллельных прямых в пространстве.
В начале урока рассмотрим определение параллельных прямых в пространстве и докажем теорему о том, что через любую точку пространства можно провести только одну прямую, параллельную данной. Далее докажем лемму о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость. И с ее помощью докажем теорему о двух прямых, параллельных третьей прямой.

📸 Видео

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

№7. Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точкуСкачать

№7. Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку

№64. Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают однСкачать

№64. Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одн

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

10 класс, 3 урок, Некоторые следствия из аксиомСкачать

10 класс, 3 урок, Некоторые следствия из аксиом

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

№15. Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскостиСкачать

№15. Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

№4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости, а) Могут ли какие-то три изСкачать

№4. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости, а) Могут ли какие-то три из

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскости

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Где заканчивается Вселенная?Скачать

Где заканчивается Вселенная?

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскости

Параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые | МатематикаСкачать

Параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые | Математика

№21. Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите,Скачать

№21. Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите,
Поделиться или сохранить к себе: