Как найти значение вектора по координатам трех точек

Нахождение координат вектора через координаты точек

Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора i → должно совпадать с осью O x , а направление вектора j → с осью O y .

Векторы i → и j → называют координатными векторами.

Координатные векторы неколлинеарны. Поэтому любой вектор p → можно разложить по векторам p → = x i → + y j → . Коэффициенты x и y определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p → по координатным векторам называются координатами вектора p → в данной системе координат.

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Координаты вектора записываются в фигурных скобках p → x ; y . На рисунке вектор O A → имеет координаты 2 ; 1 , а вектор b → имеет координаты 3 ; — 2 . Нулевой вектор представляется в виде 0 → 0 ; 0 .

Если векторы a → и b → равны, то и y 1 = y 2 . Запишем это так: a → = x 1 i → + y 1 j → = b → = x 2 i → + y 2 j → , значит x 1 = x 2 , y 1 = y 2 .

Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на O x y заданы координаты точек начала и конца A B → : A x a , y a , B x b , y b . Найти координаты заданного вектора.

Изобразим координатную ось.

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Из формулы сложения векторов имеем O A → + A B → = O B → , где O – начало координат. Отсюда следует, что A B → = O B → — O A → .

O A → и O B → – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения O A → = x a , y a , O B → = x b , y b .

По правилу операций над векторами найдем A B → = O B → — O A → = x b — x a , y b — y a .

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.

Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.

Найти координаты O A → и A B → при значении координат точек A ( 2 , — 3 ) , B ( — 4 , — 1 ) .

Для начала определяется радиус-вектор точки A . O A → = ( 2 , — 3 ) . Чтобы найти A B → , нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца.

Получаем: A B → = ( — 4 — 2 , — 1 — ( — 3 ) ) = ( — 6 , 2 ) .

Ответ: O A → = ( 2 , — 3 ) , A B → = ( — 6 , — 2 ) .

Задано трехмерное пространство с точкой A = ( 3 , 5 , 7 ) , A B → = ( 2 , 0 , — 2 ) . Найти координаты конца A B → .

Подставляем координаты точки A : A B → = ( x b — 3 , y b — 5 , z b — 7 ) .

По условию известно, что A B → = ( 2 , 0 , — 2 ) .

Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений: x b — 3 = 2 y b — 5 = 0 z b — 7 = — 2

Отсюда следует, что координаты точки B A B → равны: x b = 5 y b = 5 z b = 5

Ответ: B ( 5 , 5 , 5 ) .

Видео:11 класс, 3 урок, Связь между координатами векторов и координатами точекСкачать

11 класс, 3 урок, Связь между координатами векторов и координатами точек

Как найти вектор по точкам

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

Формула

Чтобы найти координаты вектора $overline$ на плоскости, если он задан координатами своих начала $Aleft(x_ ; y_right)$ и конца $Bleft(x_ ; y_right)$, необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала, то есть

Чтобы найти координаты вектора $overline$, заданного в пространстве координатами $Aleft(x_ ; y_ ; z_right)$ и $Bleft(x_ ; y_ ; z_right)$, необходимо, по аналогии с плоским случаем, из координат конца вычесть координаты начала:

Примеры нахождения координат вектора по точкам

Задание. Даны точки $A(4;-1)$ и $B(2;1)$. Найти координаты векторов $overline$ и $overline$

Решение. Для вектора $overline$ точка $A$ является началом, а точка $B$ — концом. Тогда координаты вектора $overline$ равны

Для вектора Как найти значение вектора по координатам трех точекточка $B$ является началом, а точка $A$ — концом. Тогда координаты вектора $overline$ равны

Ответ. $overline=(-2 ; 2), overline=(2 ;-2)$

Задание. Даны три точки в пространстве точки $A(1;-2;0,5)$, $B(3;2;1,5)$ и $C(0;-1;1)$. Найти координаты векторов $overline$, $overline$, $overline$

Решение. Для искомого вектора $overline$ точка $A$ является началом, а точка $B$ — концом. Тогда координаты вектора $overline$ соответственно равны:

$$overline=(3-1 ; 2-(-2) ; 1,5-0,5)=(2 ; 4 ; 1)$$

Для вектора $overline$ точка $A$ является началом, а точка $C$ — концом. Тогда его координаты соответственно равны

Для вектора $overline$ точка $B$ является началом, а точка $C$ — концом. Его координаты равны

Ответ. $overline=(2 ; 4 ; 1), overline=(-1 ; 1 ; 0,5), overline=(-3 ;-3 ;-0,5)$

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Как найти значение вектора по координатам трех точек
Как найти значение вектора по координатам трех точек

Длина вектора Как найти значение вектора по координатам трех точекв пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы Как найти значение вектора по координатам трех точеки Как найти значение вектора по координатам трех точек.

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Произведение вектора на число:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Скалярное произведение векторов:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Косинус угла между векторами:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами Как найти значение вектора по координатам трех точеки Как найти значение вектора по координатам трех точек. Для этого нужны их координаты.

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Запишем координаты векторов:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

и найдем косинус угла между векторами Как найти значение вектора по координатам трех точеки Как найти значение вектора по координатам трех точек:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Координаты точек A, B и C найти легко:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Из прямоугольного треугольника AOS найдем Как найти значение вектора по координатам трех точек

Координаты вершины пирамиды: Как найти значение вектора по координатам трех точек

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Найдем координаты векторов Как найти значение вектора по координатам трех точеки Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

и угол между ними:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Запишем координаты точек:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Найдем координаты векторов Как найти значение вектора по координатам трех точеки Как найти значение вектора по координатам трех точек, а затем угол между ними:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:Координаты середины отрезкаСкачать

Координаты середины отрезка

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Как найти значение вектора по координатам трех точек

То есть A + C + D = 0.

Как найти значение вектора по координатам трех точекКак найти значение вектора по координатам трех точек

Аналогично для точки K:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Получили систему из трех уравнений:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Решив систему, получим:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Вектор Как найти значение вектора по координатам трех точек— это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Как найти значение вектора по координатам трех точекимеет вид:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор Как найти значение вектора по координатам трех точекперпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: Как найти значение вектора по координатам трех точек

Напишем уравнение плоскости AEF.

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Берем уравнение плоскости Как найти значение вектора по координатам трех точеки по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Как найти значение вектора по координатам трех точекКак найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF: Как найти значение вектора по координатам трех точек

Нормаль к плоскости AEF: Как найти значение вектора по координатам трех точек

Найдем угол между плоскостями:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор Как найти значение вектора по координатам трех точекили, еще проще, вектор Как найти значение вектора по координатам трех точек.

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Координаты вектора Как найти значение вектора по координатам трех точек— тоже:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Получим:
Как найти значение вектора по координатам трех точек

Ответ: Как найти значение вектора по координатам трех точек

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть Как найти значение вектора по координатам трех точек— вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), Как найти значение вектора по координатам трех точек— нормаль к плоскости α.

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Находим координаты вектора Как найти значение вектора по координатам трех точек.

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор Как найти значение вектора по координатам трех точек.

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Ответ: Как найти значение вектора по координатам трех точек

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = Как найти значение вектора по координатам трех точек, AD = Как найти значение вектора по координатам трех точек. Высота параллелепипеда AA1 = Как найти значение вектора по координатам трех точек. Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

Как найти значение вектора по координатам трех точекКак найти значение вектора по координатам трех точек

Решим эту систему. Выберем Как найти значение вектора по координатам трех точек

Тогда Как найти значение вектора по координатам трех точек

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

Как найти значение вектора по координатам трех точек

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

💥 Видео

Как построить точки в системе координат OXYZСкачать

Как построить точки в системе координат OXYZ

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

9 класс, 3 урок, Связь между координатами вектора и координатами его начала и концаСкачать

9 класс, 3 урок, Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).Скачать

№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).

Длина вектора через координаты. 9 класс.Скачать

Длина вектора через координаты. 9 класс.

11 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

11 класс, 2 урок, Координаты вектора

Определение координаты движущегося тела | Физика 9 класс #3 | ИнфоурокСкачать

Определение координаты движущегося тела | Физика 9 класс #3 | Инфоурок

§3 Координаты вектораСкачать

§3 Координаты вектора

Как найти координаты вектора?Скачать

Как найти координаты вектора?

Координаты в новом базисеСкачать

Координаты в новом базисе

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика
Поделиться или сохранить к себе: