 Вписанные и центральные углы |
| Углы, образованные хордами, касательными и секущими |
| Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью |
- Вписанные и центральные углы
- Теоремы о вписанных и центральных углах
- Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
- Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
- Теорема с доказательством Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, одна из которых заключена между сторонами данного угла, а другая — между сторонами угла,вертикального данному.
- Углы в окружности
- 🔥 Видео
Видео:Углы с вершиной внутри и вне окружности.Скачать
Вписанные и центральные углы
Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).
Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Видео:Углы с вершинами внутри и вне кругаСкачать
Теоремы о вписанных и центральных углах
| Фигура | Рисунок | Теорема | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный угол |  | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный угол |  | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный угол |  | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный угол |  | Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный угол |  | Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |  |
| Вписанный угол | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| Фигура | Рисунок | Теорема | Формула |
| Угол, образованный пересекающимися хордами |  |  | |
| Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга |  |  | |
| Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания |  |  | |
| Угол, образованный касательной и секущей |  | | |
| Угол, образованный двумя касательными к окружности |  |  |
| Угол, образованный пересекающимися хордами хордами |
|
| Формула: |
| Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга |
| Формула: |
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
| Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания |
|
| Формула: |
| Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей |
| Формула: |
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
| Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности |
| Формулы: |
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать  Доказательства теорем об углах, связанных с окружностьюТеорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).
Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана. Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).
В этом случае справедливы равенства
и теорема 1 в этом случае доказана. Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).
В этом случае справедливы равенства
что и завершает доказательство теоремы 1. Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.
Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать. Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.
Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать. Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.
Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.
Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать. Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.
Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство Видео:Теорема об измерении угла с вершиной внутри круга ДоказательствоСкачать  Теорема с доказательством Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, одна из которых заключена между сторонами данного угла, а другая — между сторонами угла,вертикального данному.Теорема 2. Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, одна из которых заключена между сторонами данного угла, а другая — между сторонами угла,вертикального данному. Доказательство. Пусть вершина М угла АМВ находится внутри круга, его стороны пересекают окружность в точках А и В, a продолжения этих сторон — в точках А1 и В1. Угол АМВ — внешний угол треугольника AMB1 Поэтому В соответствии с теоремой 1 Видео:Угол с вершиной вне кругаСкачать  Углы в окружностиРассмотрим углы в окружности и углы, связанные с окружностью.
I. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Стороны центрального угла разбивают окружность на две части. Дугой, соответствующей данному центральному углу, называется та часть, которая содержится внутри угла.
Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего центрального угла:
Стороны вписанного угла также разбивают окружность на две дуги. Говорят, что вписанный угол опирается на лугу, которая лежит внутри него. Например, вписанный угол ABC опирается на дугу AC (или дугу AFC). Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:
Есть другой вариант формулировки свойства вписанного угла.
И наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность. Другая формулировка этого утверждения: (обратно: Если вписанный угол прямой, то он опирается на диаметр). III. Угол, вершина которого лежит в окружности — это угол между пересекающимися хордами. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.
IV. Угол с вершиной вне окружности, обе стороны которого пересекают окружность — это угол между секущими, которые пересекаются вне окружности. Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами. 🔥 ВидеоТеорема об измерении угла с вершиной вне круга ДоказательствоСкачать  Задание 25 ОкружностьСкачать  ❓ Угол между секущими (вне окружности)Скачать  Углы, связанные с окружностьюСкачать  Угол между секущимиСкачать  ❓ Угол между двумя секущими (внутри окружности)Скачать  Теоремы об отрезках, связанных с окружностью. Урок 22. Геометрия 11 классСкачать  Центральный угол в окружностиСкачать  Где находится точка в треугольнике заданном координатами вершин, внутри или вне треугольника.Скачать  Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать  Углы в окружности | ФормулыСкачать  Окружность..Угол между произвольными хордами.Скачать  Угол между касательной и хордойСкачать  ЕГЭ. Задачи на окружность. ХордаСкачать  |
Например, центральному углу AOC соответствует дуга AC (или дуга AFC. Обычно дугу называют двумя буквами. Но, поскольку любую из двух, на которые точки A и C делят окружность, можно назвать AC, то третью, дополнительную букву, иногда используют для уточнения выбранной дуги).
II. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.
