Как найти вектор силы в точке

Вектор силы (Определение, Пример)

Видео:Момент силы относительно точки и осиСкачать

Момент силы относительно точки и оси

ЧТО ТАКОЕ ВЕКТОР СИЛЫ

Как найти вектор силы в точкеЭто то, что тянет и толкает; силы мы чувствуем, когда они на нас действуют; силы растягивают пружины, заставляют тело двигаться быстрее. Мы будем измерять силы при помощи пружинных весов. Поскольку эти приборы обычно градуируют в килограммах силы мы будем пока выражать силу тоже в килограммах силы.

При сооружении и проектировании мостов, зданий, кранов, машин инженеров очень заботит сложение сил или же разность сил для определения силы, необходимой для достижения равновесия. Можно показать, что силы — это векторы, т. е. они подчиняются правилу геометрического сложения.

Векторному сложению и разложению уравновешенных сил посвящен раздел физики, называемый «статикой». Это большой, но скучный раздел физики, и большинство учебников уделяет ему много места, излагая приемы решения задач инженерной статики. Мы ограничимся лишь несколькими примерами, и даже их, пожалуй, лучше было бы опустить, чтобы уделить больше времени изучению силы и движения.

Прежде всего мы должны удостовериться в том, что силы — это векторы. Сказать, что они должны быть векторами, поскольку они характеризуются величиной и направлением, недостаточно. Это не убеждает нас в том, что силы складываются геометрически.

Хотя это утверждение кажется вполне правдоподобным, особенно тем, кто имеет дело с канатами и веревками на кораблях или кому приходится заниматься разбивкой палаток, мы же должны проворить его непосредственно.

Опыт по определению вектора силы

Как найти вектор силы в точкеЧасто прибегают еще к одному способу проверки. Этот способ проще, но его косвенный характер порой (не совсем добросовестно) игнорируют. К узлу прикладывают две тянущие силы FА и FВ (применяют гири и блоки или пружинные весы), а третья сила FС удерживает узел в покое. Затем при помощи построения определяется сумма сил FА и FВ .

Она равна и проти воположна силе FС. Это требует дополнительного доказательства, поскольку FС не равнодействующая (сумма) двух других сил, а «равновесная» сила, необходимая, чтобы им противостоять.

Рис. Косвенная проверка векторного сложения сил.

Равновесие сил

Как найти вектор силы в точкеЕсли на какую-нибудь деталь крана или моста действует несколько сил сразу, а инженеру нужно, чтобы она была и оставалась в состоянии покоя, то для этого сумма всех действующих сил должна быть равна нулю. Тогда в соответствии с представлением Галилея эта деталь должна либо постоянно двигаться, либо постоянно оставаться в состоянии покоя.

В этом случае мы говорим, что силы находятся «в равновесии». Если сумма нескольких сил равна нулю, то это должно быть видно на диаграмме векторного сложения; длина линии, соединяющей исходную точку диаграммы с конечной, должна быть равна нулю. Это означает, что векторная диаграмма должна представлять собой замкнутую фигуру.

Таким образом, если сумма сил равна нулю, то конец векторного многоугольника должен прийти обратно к началу. Это иллюстрирует рис. 3. Условие равенства нулю равнодействующей для постоянного равновесия сил должно выполняться для всей конструкции, например для всего крана или моста, но оно должно также выполняться для каждой отдельной детали конструкции, находящейся в состоянии равновесия.

Применяя это условие к какой-нибудь определенной детали, например к стреле крана, к одной опоре моста, к заклепке, связывающей воедино несколько различных деталей моста, или к грузу маятника, нужно быть внимательным и учитывать все силы, действующие на данную деталь. Тогда мы сможем утверждать, что имеем полный набор сил, образующих замкнутую векторную диаграмму, если, конечно, деталь находится в равновесии.

При решении задач не следует включать в рассмотрение силы, приложенные к другим деталям. Сначала выберите и пометьте выбранную деталь, которая, как вы считаете, находится в равновесии.

Равновесие трех сил, треугольник сил

Как найти вектор силы в точкеЕсли три силы находятся в равновесии, то их векторная диаграмма должна представлять собой замкнутый треугольник (рис. 4). Если известны две силы, то можно вычислить величину и направление третьей.

а — три силы в равновесии) б — три силы не находятся в равновесии.

Этим пользуются при решении инженерных задач. Во многих конструкциях на каждую деталь, играющую важную роль, действуют как раз три силы. Чтобы конструкция была устойчивей, каждая деталь должна оставаться в состоянии покоя; сумма всех действующих на нее сил должна быть равна нулю. Таким образом, если к любой детали приложены три силы, мы строим для них замкнутый треугольник.

Похожие страницы:

Понравилась статья поделись ей

Видео:Правило рук 👋 КАК ЛЕГКО определять НАПРАВЛЕНИЕ ЛИНИЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ??Скачать

Правило рук 👋 КАК ЛЕГКО определять НАПРАВЛЕНИЕ ЛИНИЙ МАГНИТНОГО ПОЛЯ??

Момент силы относительно точки и относительно оси в теоретической механике

Содержание:

Момент силы относительно точки и относительно оси:

Пусть дана сила Р, направленная как угодно в пространстве, и произвольная точка О (рис. 100).

Как найти вектор силы в точке

Опустим из точки О перпендикуляр на силу Р (на чертеже перпендикуляр не показан) и обозначим плечо силы Р относительно точки О через р. Тогда моментом силы Р относительно точки О (или линейным моментом силы) Называется вектор М, численно равный произведению Р на плечо р и отложенный от точки О перпендикулярно плоскости, проходящей через Р и О в такую сторону, чтобы, смотря с конца стрелки вектора М, сила Р вращала плоскость ОАВ вокруг точки О против часовой стрелки.

Если из центра моментов О провести радиус-вектор Как найти вектор силы в точке

Как найти вектор силы в точке

Из сказанного следует, что, линейный момент силы может быть представлен, как векторное произведение радиуса-вектора Как найти вектор силы в точкена силу Р, т. е.:

Как найти вектор силы в точке

где Как найти вектор силы в точке— единичный вектор направления М.

Наряду с линейным моментом силы введем в рассмотрение еще одно важное понятие момента силы относительно оси.

Пусть требуется найти момент силы Р относительно какой-либо оси, например z (рис. 100). Для этого силу Р спроектируем на любую плоскость, перпендикулярную к оси z, например на координатную плоскость хОу; обозначим эту проекцию через Как найти вектор силы в точке. Затем из точки О пересечения оси z с плоскостью хОу опускаем перпендикуляр Как найти вектор силы в точкена направление найденной проекции Как найти вектор силы в точкесилы Р. Тогда произведение Как найти вектор силы в точке, взятое со знаком Как найти вектор силы в точкеили Как найти вектор силы в точке, и будет искомым моментом силы Р относительно оси z, т. е:

Как найти вектор силы в точке

где знак Как найти вектор силы в точкеберется, если, смотря с положительного направления оси z, проекция силы Р представляется вращающей плоскость хОу вокруг оси z против часовой стрелки, и знак минус, если по часовой стрелке. В нашем случае (рис. 100) в правой части равенства (41) следует взять знак плюс.

Следует заметить, что момент силы относительно оси обращается в нуль, когда сила параллельна оси или пересекает ось, т. е. когда вообще сила и ось расположены в одной плоскости.

Как найти вектор силы в точке

С понятием момента силы относительно оси часто придется встречаться в дальнейшем. Если представить себе цилиндр (рис. 101), который может вращаться вокруг неподвижной оси z, то сила Р, действующая на цилиндр, не будет его вращать в двух случаях: когда она пересекает ось z (положение Как найти вектор силы в точке) и когда она параллельна оси (положение Как найти вектор силы в точке), т. е. когда сила Р и ось z лежат в одной плоскости и, следовательно, момент силы Р относительно оси z обращается в нуль.

Найдем зависимость между моментом силы Р относительно оси, например z (рис. 100), и моментом силы Р относительно точки О, взятой на этой оси.

Обозначим линейный момент силы через М, а момент силы относительно оси z представим в виде вектора Как найти вектор силы в точке, отложенного от точки О в положительном направлении оси z. Обозначим угол между М и Как найти вектор силы в точкечерез Как найти вектор силы в точке. Из рисунка 100 видно, что Как найти вектор силы в точкепредставляет собой проекцию Как найти вектор силы в точкена плоскость хОу, а поэтому, по известной теореме геометрии, имеем:

Как найти вектор силы в точке

где Как найти вектор силы в точке— угол между плоскостями треугольников, или, что то же, — между векторами М и Как найти вектор силы в точке.

Умножив обе части последнего равенства на 2, получим:

Как найти вектор силы в точке

Тогда на основании равенств (40) и (41) будем иметь:

Как найти вектор силы в точке

Из равенства (42) следует, что проекции линейного момента силы Как найти вектор силы в точкена координатные оси х, у и z представляют собой момент силы Р относительно осей х, у и z.

Линейный момент М может быть выражен по формуле (4) через компоненты:

Как найти вектор силы в точке

Величины Как найти вектор силы в точкеможно определить, пользуясь равенствами (42) и (5) или (40а) и (11):

Как найти вектор силы в точке

где Как найти вектор силы в точке— проекции радиуса вектора Как найти вектор силы в точкена координатные оси, или, что все равно, координаты точки приложения силы;

Как найти вектор силы в точке— проекции силы Р на координатные оси;

Как найти вектор силы в точке— углы, которые образует вектор М с координатными осями.

Как найти вектор силы в точке

Если на точку А (рис. 102) действуют силы Как найти вектор силы в точке— их равнодействующая, то

Как найти вектор силы в точке

Умножая векторно обе части равенства на радиус-вектор Как найти вектор силы в точке, проведенный из любой точки О в точку приложения сил А, имеем:

Как найти вектор силы в точке

или Как найти вектор силы в точке

т. е. момент равнодействующей сил, линии действия которых пересекаются в точке, относительно любой точки равен геометрической сумме моментов сил составляющих относительно той же точки.

Проектируя векторное равенство (45) на координатные оси, согласно (42) получаем:

Как найти вектор силы в точке

т. е. момент равнодействующей сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, относительно какой-либо оси равен алгебраической сумме моментов сил составляющих относительной той же оси.

Как найти вектор силы в точке

На основании последних равенств формулы (44) могут быть получены непосредственно из чертежа. Для этого представим силу Р (рис. 103), приложенную в точке А, определяемой координатами х, у и z в виде трех составляющих Как найти вектор силы в точке, параллельных координатным осям. Тогда на основании равенств (46) моменты Как найти вектор силы в точкесилы Р относительно координатных осей найдутся непосредственно из чертежа:

Как найти вектор силы в точке

Задача:

Найти моменты Как найти вектор силы в точкеи Как найти вектор силы в точкесилы Как найти вектор силы в точкеотносительно осей х, у и z (рис. 104), если сила Р параллельна оси Оу и OA совпадает с Как найти вектор силы в точке

Как найти вектор силы в точке

Решение. Момент силы Р относительно оси у равен нулю, так как сила Р параллельна оси Оу, т. е. Как найти вектор силы в точке.

Для нахождения момента силы Р относительно оси Ох проектируем силу Р на плоскость yOz, перпендикулярную к оси Ох (проекция Р). Опустив далее из точки О пересечения оси Ох с плоскостью yOz перпендикуляр Как найти вектор силы в точкена направление проекции Как найти вектор силы в точке, имеем:

Как найти вектор силы в точке

Аналогично находим, что Как найти вектор силы в точке. Моменты Как найти вектор силы в точкеи Как найти вектор силы в точкесилы Р относительно осей х, у и z можно было бы найти также по формулам (44):

Как найти вектор силы в точке

Задача:

Найти линейный момент М силы Как найти вектор силы в точкеотносительно точки О, если сила Р направлена по диагонали куба (рис. 106) и Как найти вектор силы в точкеи Как найти вектор силы в точке

Как найти вектор силы в точке

Решение. Проекции силы Р на координатные оси будут:

Как найти вектор силы в точке

Так как точка приложения силы Как найти вектор силы в точкенам известна, то проекции линейного момента М на координатные оси найдутся по формулам (44):

Как найти вектор силы в точке

откуда по формуле (43) находим:

Как найти вектор силы в точке

Видео:Момент силы. Определение, размерность и знаки. Плечо силыСкачать

Момент силы. Определение, размерность и знаки. Плечо силы

Момент силы относительно точки

Для равновесия рычага необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов действующих на него сил относительно точки опоры равнялась нулю

Условие равновесия рычага. Твердое тело, имеющее возможность поворачиваться вокруг неподвижной оси под воздействием сил, линии действия которых расположены в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, называют рычагом. Пусть рычаг (рис. 27) представляет собой невесомый жесткий стержень. На него действуют только две силы Как найти вектор силы в точкеи Как найти вектор силы в точке, перпендикулярные к рычагу в точках А и В.

Если точка опоры С, т. е. точка пересечения оси вращения с плоскостью чертежа, лежит между линиями действия сил (рис. 27, а), то рычаг называют рычагом первого рода. Рычагом второго рода называют рычаг, в котором точка опоры находится по одну сторону от линий действия сил (рис. 27, б).

Для равновесия рычага необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая активных сил Как найти вектор силы в точкеи Как найти вектор силы в точкебыла уравновешена реакцией в точке опоры. Таким образом, равнодействующая сил Как найти вектор силы в точкеи Как найти вектор силы в точкедолжна проходить через точку С, т. е. должно существовать равенство

Как найти вектор силы в точке

Как найти вектор силы в точке

Будем называть расстояние от точки опоры до линии действия силы плечом силы, а произведение модуля силы на плечо—моментом силы относительно точки опоры С. Момент .мы считаем положительным, если сила стремится повернуть рычаг против вращения стрелок часов, и отрицательным, если сила стремится повернуть плечо в ту же сторону, в какую поворачиваются стрелки часов. Момент силы Как найти вектор силы в точкеотносительно опоры на левом чертеже положительный, а момент силы Как найти вектор силы в точке— отрицательный.

Таким образом, условие равновесия рычага выразим так: для равновесия рычага необходимо и достатнчно, чтобы сумма моментов сил относительно точки опоры равнялась нулю:

Как найти вектор силы в точке(13)

Задача:

Груз G (рис. 28, а) поднимают тросом, перекинутым через блок и намотанным на барабан l лебедки. Барабан лебедки жестко скреплен с зубчатым колесом ll, которое находится в зацеплении с зубчатым колесом lll, жестко скрепленным с рукояткой O3A. Определить силу F, прикладываемую к точке А рукоятки лебедки для равномерного поднятия груза G, в положении, изображенном на чертеже. Даны диаметры: D1, D2, D3. Длина рукоятки O3A=l.

Решение. Лебедку можно рассматривать как состоящую из двух рычагов. Один рычаг (назовем его первым) представляет собой твердое тело, состоящее из барабана l и шестерни ll и имеющее неподвижную ось O1. Другой рычаг—твердое тело, состоящее из шестерни lll и рукоятки O3A и имеющее неподвижную ось O3. Для решения задачи из условия равновесия первого рычага определим давление P3,2 между зубцами шестерен, а зная его, найдем F из условия равновесия второго рычага.

На первый рычаг действуют следующие силы (рис. 28, б): 1) сила натяжения троса, равная весу груза, направленная вверх и стремящаяся повернуть рычаг по ходу часовой стрелки; 2) давление P3,2 зубцов колеса lll на зубцы колеса ll, направленное вверх и поворачивающее первый рычаг против хода часов, и 3) реакция в оси O1.

Момент силы T относительно точки опоры O1 равен — Как найти вектор силы в точке. Момент силы P3,2 равен Как найти вектор силы в точке. Момент реакции в оси относительно точки O1 равен нулю. Из условия равновесия рычага находим

Как найти вектор силы в точке

Как найти вектор силы в точке

Как найти вектор силы в точке
Рис. 28

Ко второму рычагу (рис. 28, в) приложены: I) сила давления зубцов колеса II, равная (по принципу равенства действия и противодействия) P3,2, но направленная вниз и стремящаяся повернуть второй рычаг против хода часов; 2) давление F руки человека, направленное вниз и поворачивающее рычаг по ходу часов, и 3) реакция в оси O3, момент которой относительно O3 равен нулю.

Момент силы P3,2 относительно точки опоры O3 равен Как найти вектор силы в точке. Момент искомой силы F равен —F∙l. Пo условию равновесия рычага

Как найти вектор силы в точке

Как найти вектор силы в точке

Мы выясни ли, что момент силы относительно точки опоры рычага зависит не только от величины силы, но и от ее положения по отношению к точке опоры рычага. Чем дальше от точки опоры лежит линия действия силы, тем больше момент. Если сила не перпендикулярна рычагу (рис. 29), то способность ее поворачивать рычаг вокруг точки опоры мы и в этом случае будем измерять моментом силы, а под плечом будем понимать кратчайшее расстояние от точки опоры до линии действия силы. Пусть сила F приложена к рычагу в точке А и составляет с ним некоторый угол а. Разложим силу на две составляющие, из которых одна (F sin a) перпендикулярна к рычагу, а другая (F cos a) направлена вдоль рычага. Эта вторая составляющая не может повернуть рычаг, а поворачивать его будет только первая составляющая (F sin a) или, как говорят, только эта составляющая создает вращающий момент.

Как найти вектор силы в точке
Рис. 29

Следовательно, момент силы F относительно опоры C

Как найти вектор силы в точке

Но, как видно из чертежа, АC sin a= h. Называя плечом силы относительно точки длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы, мы находим, что и в этом случае момент равен произведению модуля силы на плечо:

Как найти вектор силы в точке(14)

Момент силы относительно точки выражается произведением модуля силы на плечо, взятым со знаком плюс или минус

Момент силы относительно точки. Понятие момента применимо не только к силам, действующим на рычаг, но и к силам, приложенным ко всякому твердому телу. Момент силы может быть определен не только относительно опоры, но и относительно всякой точки. Точку, относительно которой определен момент силы, называют центром момента.

Таким образом, опуская из точки О перпендикуляр на линию действия силы Как найти вектор силы в точкеи умножая модуль силы на длину этого перпендикуляра, получим момент силы F относительно точки О. Знак момента будем определять, руководствуясь следующим правилом: если мысленно, закрепив центр момента и действуя на плечо в направлении силы, будем поворачивать плечо против хода часовой стрелки, то момент силы относительно данного центра положителен, если же по ходу часовой стрелки, то ‘.момент отрицателен.

Так (рис. 30), моменты сил Как найти вектор силы в точке, Как найти вектор силы в точкеи Как найти вектор силы в точкеотносительно точки О положительны, а моменты сил Как найти вектор силы в точкеи Как найти вектор силы в точкеотносительно той же точки отрицательны.

Одна и та же сила может иметь положительный момент относительно одной точки и отрицательный —относительно другой. Так, момент силы Как найти вектор силы в точке(рис. 31) относительно точки О положителен, а относительно точки C отрицателен.

Как найти вектор силы в точке
Рис. 30

Как найти вектор силы в точке
Рис. 31

Момент силы относительно начала координат связан с проекциями X и Y силы на оси и с координатами х и у точки ее приложения соотношением M0=xY-yX.

Аналитическое выражение момента силы.

Пусть дана сила Как найти вектор силы в точке(рис. 32), направление которой составляет с осями координат углы αF и βF. Направляющие косинусы этой силы

Как найти вектор силы в точке;

Как найти вектор силы в точке.

Проведем вектор Как найти вектор силы в точкеиз начала координат в точку приложения силы. Этот вектор называют радиусом-вектором. Если координаты точки приложения силы обозначить через х и у, то, как видно из чертежа,

Как найти вектор силы в точке;

Как найти вектор силы в точке.

Плечо силы h относительно точки О определим из △OAN:

h = r sin δ.

И для определения величины момента силы получаем следующую формулу:

M0= r Fsin δ. (15)

Угол δ как внутренний угол ΔOAK равен внешнему aF без другого внутреннего, с ним не смежного—ar, поэтому

Подставляя сюда, а затем в (15) найденные выше значения тригонометрических величин, получим
Как найти вектор силы в точке

M0= хY — yX 1 . (16)

Определяя момент силы по формуле (16), нет надобности определять его знак, сообразуясь с ходом часовой стрелки, т. к. знак получается непосредственно из формулы в зависимости от знаков χ, y, X, Y. В нашем курсе формуле (16) уделена значительная роль.

Момент силы относительно точки выражается векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы: Как найти вектор силы в точке

Момент силы относительно точки как вектор

Напомним, что векторным произведением Как найти вектор силы в точкена Как найти вектор силы в точкеназывают вектор Как найти вектор силы в точкенаправленный перпендикулярно к a и b согласно «правилу буравчика», а по модулю равный произведению модулей a и b на синус угла между направлениями этих векторов.

Следовательно, как видно из (15), величина момента силы равна модулю векторного произведения радиуса-вектора Как найти вектор силы в точкена вектор силы Как найти вектор силы в точкеМомент силы относительно точки О как вектор можно представить:

Как найти вектор силы в точке(17)

Вектор Как найти вектор силы в точкене изображен на рис. 32, потому что он направлен перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы Как найти вектор силы в точкеи Как найти вектор силы в точке, т. е. в данном случае перпендикулярно плоскости чертежа. Если же изобразить силу Как найти вектор силы в точкене в плоскости чертежа, а в трехмерном пространстве, то момент Как найти вектор силы в точкесилы Как найти вектор силы в точкеотносительно точки О надо отложить от точки О перпендикулярно к плоскости, составляемой радиусом-вектором и вектором силы. Удобна следующая геометрическая интерпретация (рис. 33). Обозначив буквами А и В начало и конец вектора силы, получим треугольник OAB, площадь которого равна половине произведения основания AB на высоту h = OA sin δ.

Как найти вектор силы в точке
Рис. 32

Как найти вектор силы в точке
Рис. 33

Сравнивая это равенство с (14), найдем, что момент Как найти вектор силы в точкесилы Как найти вектор силы в точкеотносительно точки О численно равен удвоенной площади треугольника OAB. Напомним, что отрезок AB выражен в единицах силы, а потому площадь треугольника OAB выражается не в единицах площади, а в единицах момента силы (ед. силы × ед. длины):

M0 = 2 пл. ΔOAB 1

Вектор момента направлен от точки О перпендикулярно к плоскости OAB в такую сторону, с которой вектор силы AB представляется поворачивающим треугольник OAB вокруг точки О против хода часов. По модулю он равен (в некотором выбранном масштабе) удвоенной площади треугольника OAB.

Если вектор силы AB переместить вдоль линии действия силы в пределах абсолютно твердого тела, к которому сила AB приложена, оставив точку О неизменной, то вектор момента не изменится, так как не изменятся плоскость и площадь треугольника OAB. Сила является вектором скользящим, и действие силы, а следовательно, и ее момент не изменяются при перенесении силы вдоль линии действия. Напротив, если мы переменим точку О, то положение и площадь треугольника OAB, вообще говоря, изменятся, а следовательно, изменится и момент силы. Поэтому момент силы относительно какой-либо точки О является вектором прикрепленным, он приложен к точке О и переносить его в какое-либо другое место тела нельзя.
Выражение момента силы относительно точки в виде вектора вполне соответствует физической сущности этого понятия, и если силы расположены в различных плоскостях, то моменты сил относительно точки складывают по правилу параллелограмма. Только при рассмотрении системы сил, расположенных в одной плоскости, можно игнорировать направление вектора момента, а учитывать его величину и знак, т. е. определять момент по формулам (14), (15) или (16). В такой системе, когда все силы и центр моментов расположены в одной плоскости, векторы моментов различных сил относительно какой-либо точки О направлены от точки О перпендикулярно к этой плоскости в ту или другую сторону, и в этом случае их складывают алгебраически.

Момент равнодействующей равен сумме моментов составляющих

Теорема Вариньона

Пусть даны пространственный пучок сил Как найти вектор силы в точке, Как найти вектор силы в точке, . Как найти вектор силы в точке(рис. 34) и равнодействующая Как найти вектор силы в точкеэтого пучка. Возьмем где-либо совершенно произвольно точку О, проведем радиус вектор Как найти вектор силы в точкеиз точки О в точку приложения сил пучка, определим момент каждой силы относительно точки О и сложим эти моменты:

Как найти вектор силы в точке
Как найти вектор силы в точке

Заменяя согласно (1) геометрическую сумму всех сил сходящейся системы их равнодействующей, получим

Как найти вектор силы в точке(18)

Словами это равенство можно прочитать так: момент равнодействующей системы сходящихся сил относительно какой-либо точки равен сумме моментов всех сил относительно той же точки. Момент
силы относительно точки есть вектор, поэтому сумма является геометрической. В частном случае, если все силы и центр моментов лежат в одной плоскости, то все векторы моментов направлены по одной прямой, перпендикулярной к этой плоскости, и геометрическое сложение моментов сил заменяется алгебраическим.

Как найти вектор силы в точке
Рис. 35

Таким образом, момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил равен алгебраической сумме моментов составляющих. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей справедлива не только для пучка сил, ио для всякой системы сил, имеющей равнодействующую. Так, например, момент равнодействующей R двух параллельных сил F1 и F2 относительно произвольной точки О (рис. 35) равен:

что и требовалось доказать. Методом от n к n+1 нетрудно показать справедливость теоремы Вариньона для любого числа сил.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Момент силы относительно оси

Чтобы определить момент силы относительно оси, нужно спроецировать силу на плоскость, перпендикулярную к оси, и затем определить момент проекции силы относительно точки пересечения оси и плоскости

Момент силы относительно оси. Ознакомление с понятием момента силы относительно оси, имеющим большое значение, начнем с конкретного примера. Дверь (рис. 36) может поворачиваться вокруг оси. Механическое воздействие силы Как найти вектор силы в точке, поворачивающей дверь, зависит не только от величины, но и от положения вектора силы по отношению к оси. Разложим силу Как найти вектор силы в точкена две составляющие, из которых одну Как найти вектор силы в точкенаправим параллельно осн, а другую (Как найти вектор силы в точке) расположим в плоскости, перпендикулярной к оси. Очевидно, что составляющая, параллельная оси, поворачивать дверь не будет, действие же составляющей, расположенной в плоскости, перпендикулярной к оси, зависит не только от ее величины Р, но и от кратчайшего расстояния между линией действия этой составляющей и осью. Иначе говоря, действие силы Как найти вектор силы в точкена закрепленную на оси дверь характеризуется моментом составляющей Как найти вектор силы в точке(расположенной в плоскости, перпендикулярной к оси) относительно точки пересечения оси и плоскости.

Установим теперь общее правило определения момента силы относительно оси.

Чтобы определить момент силы относительно оси, нужно эту силу спроецировать на перпендикулярную к оси плоскость и определить момент проекции силы относительно точки пересечения оси и плоскости. Момент силы относительно оси — скалярная величина, потому что у него нет собственного направления, а «направлен» он по оси в ту или иную сторону, т. е. определяется величиной и знаком и, конечно, направлением оси.

Где именно проведена перпендикулярная к оси плоскость, не имеет значения, так как проекции силы на параллельные плоскости и плечи проекций силы во всех случаях одни и те же.

Если сила параллельна оси или пересекает ось, то момент силы относительно оси равен нулю. Эти два случая можно объединить в один: момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

Как найти вектор силы в точке
Рис. 36

Момент силы относительно оси равен проекции на эту ось момента силы относительно какой-либо точки, взятой на оси

Покажем, что момент силы относительно оси равен проекции на данную ось вектора момента силы относительно какой-либо точки той же оси.

Возьмем на оси zz’ произвольную точку О (рис. 37) и определим момент силы Как найти вектор силы в точкеотносительно этой точки. Момент Как найти вектор силы в точкесилы Как найти вектор силы в точкеотносительно точки О выражается вектором, по модулю равным удвоенной площади треугольника OAB и приложенным в точке О перпендикулярно к плоскости Δ OAB.

Проведем через точку О плоскость, перпендикулярную к оси. Чтобы определить момент Mz силы относительно оси, спроецируем силу на эту плоскость и определим момент проекции Как найти вектор силы в точкеотносительно точки пересечения оси и плоскости, т. е. относительно точки О. Этот момент численно равен удвоенной площади треугольника Oab и направлен перпендикулярно к Oab, т. е. по оси zz’.

Но Δ Oab является проекцией Δ OAB на плоскость, перпендикулярную к оси. Площадь проекции равна площади проецируемой фигуры, умноженной на косинус двугранного угла между плоскостями, измеряемого линейным углом между перпендикулярами к этим плоскостям, т. е.
Как найти вектор силы в точке

Спроецировав на ось момент силы относительно точки О и принимая во внимание это равенство, найдем, что численно

Как найти вектор силы в точке(19)

При решении задач особенно часто приходится определять моменты сил относительно координатных осей. Согласно только что доказанному момент силы относительно какой-либо из осей координат равен проекции на эту ось момента сил относительно любой точки этой оси, в частности относительно точки О начала координат:

Как найти вектор силы в точке(20)

где cosaM, cosβM и CosγM-направляющие косинусы вектора момента силы относительно начала координат.

Если момент относительно оси умножим на единичный вектор этой оси, то получим не проекцию, а составляющую момента относительно точки, не скалярную, а векторную величину:

Как найти вектор силы в точке(21)

Из равенств (20) и (21) непосредственно получаем

Как найти вектор силы в точке(22)

Как найти вектор силы в точке(22 / )

Аналитические выражения моментов силы относительно осей координат. Выразим моменты силы относительно осей координат через координаты точки приложения силы и проекции силы на координатные оси.

На чертеже (рис. 38) изображены оси координат и составляющие силы, приложенной к точке А (xyz) (сама сила на чертеже не показана). Чтобы определить моменты силы относительно оси Ох, нужно сначала спроецировать силу Как найти вектор силы в точкена плоскость yОz. Проекция равнодействующей равна сумме проекций составляющих, и вместо того, чтобы спроецировать силу Как найти вектор силы в точке, мы можем спроецировать ее составляющие. Проекция составляющей Как найти вектор силы в точкеравна нулю, проекции же составляющих Как найти вектор силы в точкеи Как найти вектор силы в точкеравны этим составляющим.

Теперь нам остается определить алгебраическую сумму моментов этих проекций относительно точки О, которая по теореме Вариньона равна моменту проекции равнодействующей на плоскость yОz, или, что то же, моменту силы Как найти вектор силы в точкеотносительно оси Ох. Так мы получаем первую из формул (23). Аналогично можно доказать две другие формулы (23), выражающие моменты силы относительно осей Oy и Oz:

Как найти вектор силы в точке(23)

Для вывода формул (23) мы выбрали точку приложения силы в первом октанте (х, у и z положительны) и направили силу от начала координат (X, Y и Z положительны). Если координаты или проекции силы отрицательны, то в формулы (23) надо, конечно, подставить отрицательные значения.

Достаточно запомнить одну из формул (23), а следующую можно получить из предыдущей, применив круговую подстановку, т. е. заменив всюду икс на игрек, игрек на зет и зет на икс. Случаи, когда формулы можно получить одну из другой такой подстановкой, мы будем отмечать символом:
Как найти вектор силы в точке

Выражение (23) можно получить непосредственно из свойств векторного произведения, если представить векторное произведение определителем третьего порядка:

Как найти вектор силы в точке(17 / )

Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, найдем:
Как найти вектор силы в точке

Как найти вектор силы в точке

Сравнив это равенство с (22′), получим формулы (23).

Обратим внимание на то, что правая часть третьей из формул (23) тождественна выражению (16) момента силы, лежащей в плоскости хОу, относительно начала координат. Объяснение заключается в том, что при выводе формулы (23) для определения Мz силу сначала спроецировали на плоскость хОу и затем определили момент проекции относительно начала координат. Формула же (16) выражает момент относительно начала координат силы, лежащей в плоскости хОу. Моменты этой силы относительно осей, расположенных с ней в одной плоскости, равны нулю (Mx= 0, My= 0), а момент относительно оси Oz численно равен величине момента относительно начала координат (Mz = M0).

Как найти вектор силы в точке
Рис. 34
Рекомендую подробно изучить предмет:
  • Теоретическая механика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Теория пар, не лежащих в одной плоскости
  • Произвольная пространственная система сил
  • Центр параллельных сил и центр тяжести
  • Поступательное движение твердого тела
  • Равновесие системы, состоящей из нескольких тел
  • Графостатика в теоретической механике
  • Расчет ферм
  • Пространственная система сходящихся сил

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Тренировочные задания по теме: "Результирующая сила"Скачать

Тренировочные задания по теме: "Результирующая сила"

Законы сложения сил в механике

При воздействии на одно тело нескольких сил одновременно тело начинает двигаться с ускорением, являющимся векторной суммой ускорений, которые бы возникли под воздействием каждой силы по отдельности. К действующим на тело силам, приложенным к одной точке, применяется правило сложения векторов.

Векторная сумма всех сил, одновременно воздействующих на тело, это сила равнодействующая, которая определяется по правилу векторного сложения сил:

R → = F 1 → + F 2 → + F 3 → + . . . + F n → = ∑ i = 1 n F i → .

Равнодействующая сила действует на тело также, как и сумма всех действующих на него сил.

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Правило параллелограмма и правило многоугольника

Для сложения 2 -х сил используют правило параллелограмма (рисунок 1 ).

Как найти вектор силы в точке

Рисунок 1 . Сложение 2 -х сил по правилу параллелограмма

Выведем формулу модуля равнодействующей силы с помощью теоремы косинусов:

R → = F 1 → 2 + F 2 → 2 + 2 F 1 → 2 F 2 → 2 cos α

При необходимости сложения более 2 -х сил используют правило многоугольника: от конца
1 -й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 2 -й силе; от конца 2 -й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 3 -й силе и т.д.

Как найти вектор силы в точке

Рисунок 2 . Сложение сил правилом многоугольника

Конечный вектор, проведенный от точки приложения сил в конец последней силы, по величине и направлению равняется равнодействующей силе. Рисунок 2 наглядно иллюстрирует пример нахождения равнодействующей сил из 4 -х сил: F 1 → , F 2 → , F 3 → , F 4 → . Причем суммируемые векторы совсем необязательно должны быть в одной плоскости.

Результат действия силы на материальную точку будет зависеть только от ее модуля и направления. У твердого тела есть определенные размеры. Потому силы с одинаковыми модулями и направлениями вызывают разные движения твердого тела в зависимости от точки приложения.

Линией действия силы называют прямую, проходящую через вектор силы.

Как найти вектор силы в точке

Рисунок 3 . Сложение сил, приложенных к различным точкам тела

Если силы приложены к различным точкам тела и действуют не параллельно по отношению друг к другу, тогда равнодействующая приложена к точке пересечения линий действия сил (рисунок 3 ). Точка будет находиться в равновесии, если векторная сумма всех сил, действующих на нее, равняется 0 : ∑ i = 1 n F i → = 0 → . В данном случае равняется 0 и сумма проекций данных сил на любую координатную ось.

Видео:Равнодействующая и сложение силСкачать

Равнодействующая и сложение сил

Разложение вектора силы по направлениям

Разложение сил на две составляющие – это замена одной силы 2 -мя, приложенными в той же точке и производящими на тело такое же действие, как и эта одна сила. Разложение сил осуществляется, как и сложение, правилом параллелограмма.

Задача разложения одной силы (модуль и направление которой заданы) на 2 , приложенные в одной точке и действующие под углом друг к другу, имеет однозначное решение в следующих случаях, когда известны:

  • направления 2 -х составляющих сил;
  • модуль и направление одной из составляющих сил;
  • модули 2 -х составляющих сил.

Пример 1

Необходимо разложить силу F на 2 составляющие, находящиеся в одной плоскости с F и направленные вдоль прямых a и b (рисунок 4 ). Тогда достаточно от конца вектора F провести 2 прямые, параллельные прямым a и b . Отрезок F A и отрезок F B изображают искомые силы.

Как найти вектор силы в точке

Рисунок 4 . Разложение вектора силы по направлениям

Второй вариант данной задачи – найти одну из проекций вектора силы по заданным векторам силы и 2 -й проекции (рисунок 5 а ).

Как найти вектор силы в точке

Рисунок 5 . Нахождение проекции вектора силы по заданным векторам

Во втором варианте задачи необходимо построить параллелограмм по диагонали и одной из сторон, как в планиметрии. На рисунке 5 б изображен такой параллелограмм и обозначена искомая составляющая F 2 → силы F → .

Итак, 2 -й способ решения: прибавим к силе силу, равную — F 1 → (рисунок 5 в ). В итоге получаем искомую силу F → .

Три силы F 1 → = 1 Н ; F 2 → = 2 Н ; F 3 → = 3 Н приложены к одной точке, находятся в одной плоскости (рисунок 6 а ) и составляют углы с горизонталью α = 0 ° ; β = 60 ° ; γ = 30 ° соответственно. Необходимо найти равнодействующую силу.

Решение

Как найти вектор силы в точке

Рисунок 6 . Нахождение равнодействующей силы по заданным векторам

Нарисуем взаимно перпендикулярные оси О Х и O Y таким образом, чтобы ось О Х совпадала с горизонталью, вдоль которой направлена сила F 1 → . Сделаем проекцию данных сил на координатные оси (рисунок 6 б ). Проекции F 2 y и F 2 x отрицательны. Сумма проекций сил на координатную ось О Х равняется проекции на данную ось равнодействующей: F 1 + F 2 cos β — F 3 cos γ = F x = 4 — 3 3 2 ≈ — 0 , 6 Н .

Точно также для проекций на ось O Y : — F 2 sin β + F 3 sin γ = F y = 3 — 2 3 2 ≈ — 0 , 2 Н .

Модуль равнодействующей определим с помощью теоремы Пифагора:

F = F x 2 + F y 2 = 0 , 36 + 0 , 04 ≈ 0 , 64 Н .

Направление равнодействующей найдем при помощи угла между равнодействующей и осью (рисунок 6 в ):

t g φ = F y F x = 3 — 2 3 4 — 3 3 ≈ 0 , 4 .

Сила F = 1 к Н приложена в точке В кронштейна и направлена вертикально вниз (рисунок 7 а ). Необходимо найти составляющие данной силы по направлениям стержней кронштейна. Все необходимые данные отображены на рисунке.

Решение

Как найти вектор силы в точке

Рисунок 7 . Нахождение составляющих силы F по направлениям стержней кронштейна

Дано:

F = 1 к Н = 1000 Н

Пускай стержни прикручены к стене в точках А и С . На рисунке 7 б изображено разложение силы F → на составляющие вдоль направлений А В и В С . Отсюда понятно, что

F 1 → = F t g β ≈ 577 Н ;

F 2 → = F cos β ≈ 1155 Н .

Ответ: F 1 → = 557 Н ; F 2 → = 1155 Н .

🔥 Видео

Построение проекции вектора на осьСкачать

Построение проекции вектора на ось

Как разложить силы на проекции (динамика 10-11 класс) ЕГЭ по физикеСкачать

Как разложить силы на проекции (динамика 10-11 класс) ЕГЭ по физике

Как найти момент силы на ЕГЭ по физике?Скачать

Как найти момент силы на ЕГЭ по физике?

Момент силыСкачать

Момент силы

Физика | Ликбез по векторамСкачать

Физика | Ликбез по векторам

Урок 80 (осн). Момент силы. Правило моментовСкачать

Урок 80 (осн). Момент силы. Правило моментов

Момент силы относительно точкиСкачать

Момент силы относительно точки

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.Скачать

Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.

Как проецировать вектор сил на оси | ЕГЭ Физика | Николай Ньютон. ТехноскулСкачать

Как проецировать вектор сил на оси | ЕГЭ Физика | Николай Ньютон. Техноскул

Момент силыСкачать

Момент силы

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси.  9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: