Описанная в предыдущей главе модель отражения света никак не связана с видом проецирования (параллельным или перспективным). Она является общей, т. е. может применяться как к плоским, так и к криволинейным поверхностям, причем расстояние между поверхностью и наблюдателем не учитывается. Большая часть вычислений в процессе закрашивания изображений пространственной сцены приходится на определение компонентов векторов, используемых в модели Фонга, и их скалярных произведений. В процессе выполнения этих вычислений часто используются разнообразные упрощения, учитывающие специфику конкретной ситуации. Например, если анализируемая поверхность — плоский многоугольник, то для всех ее точек вектор нормали будет одним и тем же. Если источник света достаточно далеко удален от поверхности, то для всех точек этой поверхности вектор, характеризующий направление падения лучей от этого источника, будет одним и тем же.
В этой главе рассматриваются методы вычисления компонентов векторов для общего случая.
Видео:Геометрия. 9 класс. Уравнение прямой. Направляющий вектор и вектор нормали прямой /22.10.2020/Скачать
Вектор нормали к поверхности
Вектор нормали на гладкой поверхности существует в каждой ее точке и определяет локальную ориентацию участка поверхности в окрестности этой точки. Метод вычисления компонентов вектора нормали зависит от способа математического описания поверхности. Продемонстрируем, как вычислить нормаль для плоскости и сферы.
Плоскость описывается уравнением
Уравнение плоскости можно записать в виде произведения вектора нормали п в точке Р0 и любого вектора, принадлежащего этой плоскости,
где Р — любая точка (х, у, z) на рассматриваемой плоскости.
Плоскость может быть однозначно задана совокупностью трех точек плоскости не лежащих на одной прямой (неколлинеарных). Для определения нормали можно использовать их векторное произведение
Для любой поверхности в системе компьютерной графики различают внешнюю и внутреннюю стороны. От порядка сомножителей в векторном произведении зависит направление вектора нормали, а следовательно, определение внешней стороны поверхности. Некоторые графические системы автоматически вычисляют вектор нормали, используя первые три вершины в определении многоугольника, полагая его плоским. В библиотеки OpenGL этого не предусмотрено, но существует возможность самостоятельно организовать в программе определение нормали, что позволяет прикладному программисту гибко управлять свойствами модели освещения.
Способ вычисления компонентов вектора нормали к криволинейной поверхности существенно зависит от принятого способа описания поверхности. Покажем несколько способов определения нормали к сферической поверхности единичного радиуса, центр которой совпадает с началом координат. Обычно такая сфера описывается уравнением в неявной форме
или в векторной форме
Нормаль определяется вектором градиента (gradient vector), который представляется в виде матрицы-столбца
Сфера может быть описана и уравнением в параметрической форме. При этом координаты х, у и z любой точки на сферической поверхности представляют собой независимые уравнения от двух параметров и и v
В системах компьютерной графики предпочтение следует отдать параметрической форме, особенно при описании кривых и поверхностей. Один из вариантов описания сферы имеет вид
Изменяя и и v в диапазоне -я/2 дР дР
ститочки/*. Прямые, параллельные векторам — и —, проходятче-
рез точку Р и лежат в касательной плоскости. Векторы — и —
определяются следующим образом:
Вектор нормали формируется как векторное произведение
Подставляя в это уравнение параметрические функции сферической поверхности, получим
Поскольку нас интересует только направление вектора нормали, то для сферы единичного радиуса получим n = Р.
В графической системе основным типом примитива, с которым выполняются все вычисления, являются вершины. Таким образом, и вектор нормали следует формировать достаточно близко к той точке, нормаль в которой нас интересует. В рамках конвейерной архитектуры графических систем организовать такое вычисление довольно сложно, поскольку по «конвейеру» точки следуют одна за другой. Поэтому в большинстве графических систем программисту приходится самостоятельно организовывать вычисление векторов нормалей в прикладной программе.
Видео:Орт вектора. Нормировать вектор. Найти единичный векторСкачать
Вектор нормали: расчет и пример
Видео:Направляющий и нормальный вектор прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать
Содержание:
В нормальный вектор Он определяет направление, перпендикулярное рассматриваемому геометрическому объекту, который может быть, например, кривой, плоскостью или поверхностью.
Это очень полезная концепция для позиционирования движущейся частицы или какой-либо поверхности в пространстве. На следующем графике можно увидеть, как вектор нормали к произвольной кривой C:
Рассмотрим точку P на кривой C. Точка может представлять движущуюся частицу, которая движется по траектории C. Касательная линия к кривой в точке P нарисована красным.
Обратите внимание, что вектор Т касается C в каждой точке, а вектор N перпендикулярно Т y указывает на центр воображаемого круга, дуга которого является сегментом C. Векторы выделены жирным шрифтом в печатном тексте, чтобы отличать их от других не векторных величин.
Вектор Т он всегда указывает, куда движется частица, следовательно, указывает ее скорость. Вместо вектора N всегда указывает в том направлении, в котором вращается частица, отмечая, таким образом, вогнутость кривой C.
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Как получить вектор нормали к плоскости?
Вектор нормали не обязательно является единичным вектором, то есть вектором с модулем 1, но если это так, он называется нормальный единичный вектор.
Во многих приложениях необходимо знать вектор нормали к плоскости вместо кривой. Этот вектор показывает ориентацию указанной плоскости в пространстве. Например, рассмотрим самолет п (желтый) рисунка:
К этой плоскости есть два нормальных вектора: п1 Y п2. Использование того или другого будет зависеть от контекста, в котором находится упомянутый самолет. Получить вектор нормали к плоскости очень просто, если вы знаете его уравнение:
ах + по + cz + d = 0, с участием к, б, c Y d вещественные числа.
Ну, нормальный вектор к указанной плоскости задается следующим образом:
N = а я + b j + c k
Здесь вектор N Он выражается через единичные векторы и перпендикулярно друг другу. я, j Y k, направленных по трем направлениям, определяющим пространство X и Zсм. рисунок 2 справа.
Видео:Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать
Вектор нормали из векторного произведения
Очень простая процедура нахождения вектора нормали использует свойства векторного произведения между двумя векторами.
Как известно, три разные точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость Р. Теперь можно получить два вектора или Y v которые принадлежат упомянутой плоскости, имеющей эти три точки.
Когда у вас есть векторы, векторный продуктили Икс v — операция, результатом которой, в свою очередь, является вектор, который имеет свойство быть перпендикулярным плоскости, определяемой или Y v.
Известный этот вектор, он обозначается как N, и из него можно будет определить уравнение плоскости благодаря уравнению, указанному в предыдущем разделе:
N = или Икс v
На следующем рисунке показана описанная процедура:
Видео:Вектор нормали к поверхности поля в точкеСкачать
пример
Найти уравнение плоскости, определяемой точками A (2,1,3); В (0,1,1); С (4.2.1).
Видео:Репетитор по математике ищет нормаль к плоскостиСкачать
Решение
Это упражнение иллюстрирует описанную выше процедуру. Имея 3 точки, одна из них выбирается как общее начало двух векторов, которые принадлежат плоскости, определенной этими точками. Например, точка A устанавливается в качестве начала координат и строятся векторы AB Y AC.
Вектор AB — вектор, начало которого — точка A, а конец — точка B. Координаты вектора AB определяются соответственно вычитанием координат B из координат A:
AB = (0-2) я + (1-1) j + (1-3) k = -2я + 0j -2 k
Таким же образом поступаем и находим вектор AC:
AC = (4-2) я + (2-1) j + (1-3) k = 2я + j -2 k
Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать
Расчет векторного произведения AB x AC
Существует несколько процедур для нахождения векторного произведения между двумя векторами. В этом примере используется мнемоническая процедура, которая использует следующий рисунок для поиска векторных произведений между единичными векторами. я, j Y k:
Для начала следует помнить, что векторные произведения между параллельными векторами равны нулю, поэтому:
я Икс я = 0; j Икс j = 0; k Икс k = 0
А поскольку векторное произведение — это еще один вектор, перпендикулярный участвующим векторам, двигаясь в направлении красной стрелки, мы имеем:
я Икс j = k ; j Икс k = я; k Икс я = j
Если вам нужно двигаться в направлении, противоположном стрелке, добавьте знак (-):
j Икс я = – k; k Икс j = –я; я Икс k = –j
Всего можно составить 9 векторных произведений с единичными векторами. я, j Y k, из которых 3 будут нулевыми.
AB Икс AC = (-2я + 0j -2 k) х (2я + j -2 k)= -4(я Икс я) -2(я Икс j)+4 (я Икс k)+0 (j Икс я) + 0 (j Икс j) – 0 (j Икс k) – 4 (k Икс я)-2 (k Икс j) + 4 (k Икс k) = -2k-4j-4j+2я = 2я -8j-2k
Видео:Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать
Уравнение плоскости
Вектор N был определен с помощью предварительно рассчитанного векторного произведения:
N = 2я -8j-2k
Следовательно, a = 2, b = -8, c = -2, искомая плоскость:
ах + по + cz + d = 0 → 2x-8y-2z + d = 0
Значение d. Это легко сделать, если значения любой из имеющихся точек A, B или C подставить в уравнение плоскости. Выбор C, например:
2,4 — 8,2 — 2,1 + d = 0
Вкратце, искомая карта:
Пытливый читатель может задаться вопросом, был бы такой же результат, если бы вместо выполнения AB Икс AC они бы предпочли произвести AC Икс AB. Ответ: да, плоскость, определяемая этими тремя точками, уникальна и имеет два вектора нормали, как показано на рисунке 2.
Что касается точки, выбранной в качестве исходной точки векторов, нет проблем с выбором любого из двух других.
Видео:Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Ссылки
- Фигероа, Д. (2005). Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. Отредактировал Дуглас Фигероа (USB). 31-62.
- Нахождение нормали к плоскости. Получено с: web.ma.utexas.edu.
- Ларсон, Р. (1986). Исчисление и аналитическая геометрия. Мак Гроу Хилл. 616-647.
- Линии и плоскости в R 3. Получено с: math.harvard.edu.
- Нормальный вектор. Получено с сайта mathworld.wolfram.com.
Конструктивная апраксия: симптомы, причины и лечение
Страх перед женщинами: виды, причины и способы его преодоления
🎥 Видео
Аналитическая геометрия, 1 урок, Векторы в пространствеСкачать
#3.3 Найти поток вектор r/r через всю поверх. сферы x^2+y^2+z^2=R^2 в направлении внешней нормалиСкачать
Урок 222. Поток вектора напряженности электрического поляСкачать
18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
Метод координат для ЕГЭ с нуля за 30 минут.Скачать
Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).Скачать
Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. 10 класс.Скачать
Применение теоремы Гаусса-Остроградского. Напряжённость поля пластины, сферы и шара.Скачать
Видеоурок "Нормальное уравнение прямой"Скачать
Координаты вектора. 9 класс.Скачать
