Найдем такие вектора (называются собственными векторами) v
и такие числа — значения (называются собственными значениями) l
матрицы A, для v, l и A выполняется:
A*v = l*v.
Также вычисляется кратность собственных значений и находит характеристическое уравнение матрицы.
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
- Где учитесь?
- Собственные векторы матрицы
- Содержание
- 1. Базовые сведения
- 1.1 Матрицы
- 1.2. Простейшие операции с матрицами
- 1.3. Умножение матриц
- 1.4. Квадратные матрицы
- 1.5. След и определитель
- 1.6. Векторы
- 1.7. Простейшие операции с векторами
- 1.8. Произведения векторов
- 1.9. Норма вектора
- 1.10. Угол между векторами
- 1.11. Векторное представление матрицы
- 1.12. Линейно зависимые векторы
- 1.13. Ранг матрицы
- 1.14. Обратная матрица
- 1.15. Псевдообратная матрица
- 1.16. Умножение вектора на матрицу
- 2. Дополнительная информация
- 2.1. Системы линейных уравнений
- 2.2. Билинейные и квадратичные формы
- 2.3. Положительно определенные матрицы
- 2.4. Разложение Холецкого
- 2.5. Полярное разложение
- 2.6. Собственные векторы и собственные значения
- 2.7. Собственные значения
- 2.8. Собственные векторы
- 2.9. Эквивалентные и подобные матрицы
- 2.10. Приведение матрицы к диагональному виду
- 2.11. Разложение по сингулярным значениям (SVD)
- 2.12. Линейное пространство
- 2.13. Базис линейного пространства
- 2.14. Геометрическая интерпретация
- 2.15. Множественность базисов
- 2.16. Подпространство
- 2.17. Проекция на подпространство
- Заключение
Видео:Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать
Где учитесь?
Для правильного составления решения, укажите:
Видео:Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать
Собственные векторы матрицы
Онлайн калькулятор нахождение собственных чисел и собственных векторов — Собственный вектор — понятие в линейной алгебре, определяемое для квадратной матрицы или произвольного линейного преобразования как вектор, умножение матрицы на который или применение к которому преобразования даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение, называемое собственным числом матрицы или линейного преобразования.
Данный калькулятор поможет найти собственные числа и векторы, используя характеристическое уравнение.
Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать
Содержание
В этом документе собраны основные сведения из алгебры матриц и векторов, которые используются в хемометрике. Приведенный текст не может служить учебником по матричной алгебре — он скорее является конспектом, справочником в этой области. Более глубокое и систематическое изложение может быть найдено в литературе.
Текст разбит на две части названные — «Базовые сведения» и «Дополнительная информация». В первой части изложены положения, минимально необходимые для понимания хемометрики, а во второй части — факты, которые необходимо знать для более глубокого постижения методов многомерного анализа. Изложение иллюстрируется примерами, выполненными в рабочей книге Excel Matrix.xls, которая сопровождает этот документ.
Ссылки на примеры помещены в текст как объекты Excel. Эти примеры имеют абстрактный характер, они никак не привязаны к задачам аналитической химии. Реальные примеры использования матричной алгебры в хемометрике рассмотрены в других текстах, посвященных разнообразным хемометрическим приложениям.
Большинство измерений, проводимых в аналитической химии, являются не прямыми, а косвенными . Это означает, что в эксперименте вместо значения искомого аналита C (концентрации) получается другая величина x (сигнал), связанная, но не равная C, т.е. x (C) ≠ С. Как правило, вид зависимости x (C) не известен, однако, к счастью, в аналитической химии большинство измерений пропорциональны. Это означает, что при увеличении концентрации С в a раз, сигнал X увеличится на столько же., т.е. x ( a C) = a x (C). Кроме того, сигналы еще и аддитивны, так что сигнал от пробы, в которой присутствуют два вещества с концентрациями C 1 и C 2 , будет равен сумме сигналов от каждого компонента, т.е. x (C 1 + C 2 ) = x (C 1 )+ x (C 2 ). Пропорциональность и аддитивность вместе дают линейность . Можно привести много примеров, иллюстрирующих принцип линейности, но достаточно упомянуть два самых ярких примера — хроматографию и спектроскопию. Вторая особенность, присущая эксперименту в аналитической химии — это многоканальность . Современное аналитическое оборудование одновременно измеряет сигналы для многих каналов. Например, измеряется интенсивность пропускания света сразу для нескольких длин волн, т.е. спектр. Поэтому в эксперименте мы имеем дело со множеством сигналов x 1 , x 2 . x n , характеризующих набор концентраций C 1 ,C 2 , . C m веществ, присутствующих в изучаемой системе.
Итак, аналитический эксперимент характеризуется линейностью и многомерностью. Поэтому удобно рассматривать экспериментальные данные как векторы и матрицы и манипулировать с ними, используя аппарат матричной алгебры. Плодотворность такого подхода иллюстрирует пример, показанный на Рис. 1, где представлены три спектра, снятые для 200 длин волн от 4000 до 4796 cm −1 . Первый ( x 1 ) и второй ( x 2 ) спектры получены для стандартных образцов, в которых концентрация двух веществ A и B, известны: в первом образце [A] = 0.5, [B] = 0.1, а во втором образце [A] = 0.2, [B] = 0.6. Что можно сказать о новом, неизвестном образце, спектр которого обозначен x 3 ?
Рассмотрим три экспериментальных спектра x 1 , x 2 и x 3 как три вектора размерности 200. Средствами линейной алгебры можно легко показать, что x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2 , поэтому в третьем образце очевидно присутствуют только вещества A и B в концентрациях [A] = 0.5×0.1 + 0.2×0.3 = 0.11 и [B] = 0.1×0.1 + 0.6×0.3 = 0.19.
Видео:7 4 Собственные векторы и собственные значенияСкачать
1. Базовые сведения
Видео:Собственные значения и собственные векторы. ТемаСкачать
1.1 Матрицы
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, например
Матрицы обозначаются заглавными полужирными буквами ( A ), а их элементы — соответствующими строчными буквами с индексами, т.е. a ij . Первый индекс нумерует строки, а второй — столбцы. В хемометрике принято обозначать максимальное значение индекса той же буквой, что и сам индекс, но заглавной. Поэтому матрицу A можно также записать как < a ij , i = 1. I ; j = 1. J >. Для приведенной в примере матрицы I = 4, J = 3 и a 23 = −7.5.
Пара чисел I и J называется размерностью матрицы и обознается как I × J . Примером матрицы в хемометрике может служить набор спектров, полученный для I образцов на J длинах волн.
Видео:Урок 1. Матрицы, определитель матрицы и ранг матрицы | Высшая математика | TutorOnlineСкачать
1.2. Простейшие операции с матрицами
Матрицы можно умножать на числа. При этом каждый элемент умножается на это число. Например —
Рис. 3 Умножение матрицы на число
Две матрицы одинаковой размерности можно поэлементно складывать и вычитать. Например,
Рис. 4 Сложение матриц
В результате умножения на число и сложения получается матрица той же размерности.
Нулевой матрицей называется матрица, состоящая из нулей. Она обозначается O . Очевидно, что A + O = A , A − A = O и 0 A = O .
Матрицу можно транспонировать . При этой операции матрица переворачивается, т.е. строки и столбцы меняются местами. Транспонирование обозначается штрихом, A ‘ или индексом A t . Таким образом, если A = < a ij , i = 1. I ; j = 1. J >, то A t = < a ji , j = 1. J ; i = 1. I >. Например
Рис. 5 Транспонирование матрицы
Очевидно, что ( A t ) t = A , ( A + B ) t = A t + B t .
Видео:Собственные значения и собственные векторыСкачать
1.3. Умножение матриц
Матрицы можно перемножать, но только в том случае, когда они имеют соответствующие размерности. Почему это так, будет ясно из определения. Произведением матрицы A , размерностью I × K , и матрицы B , размерностью K × J , называется матрица C , размерностью I × J , элементами которой являются числа
Таким образом для произведения AB необходимо, чтобы число столбцов в левой матрице A было равно числу строк в правой матрице B . Пример произведения матриц —
Рис.6 Произведение матриц
Правило перемножения матриц можно сформулировать так. Для того, чтобы найти элемент матрицы C , стоящий на пересечении i -ой строки и j -ого столбца ( c ij ) надо поэлементно перемножить i -ую строку первой матрицы A на j -ый столбец второй матрицы B и сложить все результаты. Так в показанном примере, элемент из третьей строки и второго столбца, получается как сумма поэлементных произведений третьей строки A и второго столбца B
Рис.7 Элемент произведения матриц
Произведение матриц зависит от порядка, т.е. AB ≠ BA , хотя бы по соображениям размерности. Говорят, что оно некоммутативно. Однако произведение матриц ассоциативно. Это означает, что ABC = ( AB ) C = A ( BC ). Кроме того, оно еще и дистрибутивно, т.е. A ( B + C ) = AB + AC . Очевидно, что AO = O .
Видео:Матрицы и векторыСкачать
1.4. Квадратные матрицы
Если число столбцов матрицы равно числу ее строк ( I = J = N ), то такая матрица называется квадратной. В этом разделе мы будем рассматривать только такие матрицы. Среди этих матриц можно выделить матрицы, обладающие особыми свойствами.
Единичной матрицей (обозначается I, а иногда E ) называется матрица, у которой все элементы равны нулю, за исключением диагональных, которые равны 1, т.е.
Очевидно AI = IA = A .
Матрица называется диагональной , если все ее элементы, кроме диагональных ( a ii ) равны нулю. Например
Рис. 8 Диагональная матрица
Матрица A называется верхней треугольной , если все ее элементы, лежащие ниже диагонали, равны нулю, т.е. a ij = 0, при i > j . Например
Рис. 9 Верхняя треугольная матрица
Аналогично определяется и нижняя треугольная матрица.
Матрица A называется симметричной , если A t = A . Иными словами a ij = a ji . Например
Рис. 10 Симметричная матрица
Матрица A называется ортогональной , если
Матрица называется нормальной если
Видео:Обратная матрицаСкачать
1.5. След и определитель
Следом квадратной матрицы A (обозначается Tr( A ) или Sp( A )) называется сумма ее диагональных элементов,
Рис. 11 След матрицы
Sp(α A ) = α Sp( A ) и
Sp( A + B ) = Sp( A )+ Sp( B ).
Можно показать, что
Sp( A ) = Sp( A t ), Sp( I ) = N ,
Другой важной характеристикой квадратной матрицы является ее определитель (обозначается det( A )). Определение определителя в общем случае довольно сложно, поэтому мы начнем с простейшего варианта — матрицы A размерностью (2×2). Тогда
Для матрицы (3×3) определитель будет равен
В случае матрицы ( N × N ) определитель вычисляется как сумма 1·2·3· . · N = N ! слагаемых, каждый из которых равен
Индексы k 1 , k 2 . k N определяются как всевозможные упорядоченные перестановки r чисел в наборе (1, 2, . , N ). Вычисление определителя матрицы — это сложная процедура, которую на практике осуществляется с помощью специальных программ. Например,
Рис. 12 Определитель матрицы
Отметим только очевидные свойства:
det( I ) = 1, det( A ) = det( A t ),
det( AB ) = det( A )det( B ).
Видео:Айгенвектора и айгензначения | Сущность Линейной Алгебры, глава 10Скачать
1.6. Векторы
Если матрица состоит только из одного столбца ( J = 1), то такой объект называется вектором . Точнее говоря, вектором-столбцом. Например
Можно рассматривать и матрицы, состоящие из одной строки, например
Этот объект также является вектором, но вектором-строкой . При анализе данных важно понимать, с какими векторами мы имеем дело — со столбцами или строками. Так спектр, снятый для одного образца можно рассматривать как вектор-строку. Тогда набор спектральных интенсивностей на какой-то длине волны для всех образцов нужно трактовать как вектор-столбец.
Размерностью вектора называется число его элементов.
Ясно, что всякий вектор-столбец можно превратить в вектор-строку транспонированием, т.е.
В тех случаях, когда форма вектора специально не оговаривается, а просто говорится вектор, то имеют в виду вектор-столбец. Мы тоже будем придерживаться этого правила. Вектор обозначается строчной прямой полужирной буквой. Нулевым вектором называется вектор, все элементы которого раны нулю. Он обозначается 0 .
Видео:Собственные значения матрицыСкачать
1.7. Простейшие операции с векторами
Векторы можно складывать и умножать на числа так же, как это делается с матрицами. Например,
Рис. 13 Операции с векторами
Два вектора x и y называются колинеарными , если существует такое число α, что
Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать
1.8. Произведения векторов
Два вектора одинаковой размерности N можно перемножить. Пусть имеются два вектора x = ( x 1 , x 2 . x N ) t и y = ( y 1 , y 2 . y N ) t . Руководствуясь правилом перемножения «строка на столбец», мы можем составить из них два произведения: x t y и xy t . Первое произведение
называется скалярным или внутренним . Его результат — это число. Для него также используется обозначение ( x , y ) = x t y . Например,
Рис. 14 Внутреннее (скалярное) произведение
называется внешним . Его результат — это матрица размерности ( N × N ). Например,
Рис. 15 Внешнее произведение
Векторы, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными .
Видео:А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицыСкачать
1.9. Норма вектора
Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратом. Эта величина
определяет квадрат длины вектора x . Для обозначения длины (называемой также нормой вектора) используется обозначение
Рис. 16 Норма вектора
Вектор единичной длины (|| x || = 1) называется нормированным. Ненулевой вектор ( x ≠ 0 ) можно нормировать, разделив его на длину, т.е. x = || x || ( x/ || x ||) = || x || e . Здесь e = x/ || x || — нормированный вектор.
Векторы называются ортонормированными, если все они нормированы и попарно ортогональны.
Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать
1.10. Угол между векторами
Скалярное произведение определяет и угол φ между двумя векторами x и y
Если вектора ортогональны, то cosφ = 0 и φ = π/2, а если они колинеарны, то cosφ = 1 и φ = 0.
Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать
1.11. Векторное представление матрицы
Каждую матрицу A размера I × J можно представить как набор векторов
Здесь каждый вектор a j является j -ым столбцом, а вектор-строка b i является i -ой строкой матрицы A
Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
1.12. Линейно зависимые векторы
Векторы одинаковой размерности ( N ) можно складывать и умножать на число, также как матрицы. В результате получится вектор той же размерности. Пусть имеется несколько векторов одной размерности x 1 , x 2 . x K и столько же чисел α α 1 , α 2 . α K . Вектор
y = α 1 x 1 + α 2 x 2 +. + α K x K
называется линейной комбинацией векторов x k .
Если существуют такие ненулевые числа α k ≠ 0, k = 1. K , что y = 0 , то такой набор векторов x k называется линейно зависимым . В противном случае векторы называются линейно независимыми. Например, векторы x 1 = (2, 2) t и x 2 = (−1, −1) t линейно зависимы, т.к. x 1 +2 x 2 = 0
Видео:Матрица линейного оператораСкачать
1.13. Ранг матрицы
Рассмотрим набор из K векторов x 1 , x 2 . x K размерности N . Рангом этой системы векторов называется максимальное число линейно-независимых векторов. Например в наборе
имеются только два линейно независимых вектора, например x 1 и x 2 , поэтому ее ранг равен 2.
Очевидно, что если векторов в наборе больше, чем их размерность ( K > N ), то они обязательно линейно зависимы.
Рангом матрицы (обозначается rank( A )) называется ранг системы векторов, из которых она состоит. Хотя любую матрицу можно представить двумя способами (векторы столбцы или строки), это не влияет на величину ранга, т.к.
rank( A ) = rank( A t ).
Видео:Собственные значения и собственные векторы. ПримерСкачать
1.14. Обратная матрица
Квадратная матрица A называется невырожденной, если она имеет единственную обратную матрицу A -1 , определяемую условиями
Обратная матрица существует не для всех матриц. Необходимым и достаточным условием невырожденности является
det( A ) ≠ 0 или rank( A ) = N .
Обращение матрицы — это сложная процедура, для выполнения которой существуют специальные программы. Например,
Рис. 17 Обращение матрицы
Приведем формулы для простейшего случая — матрицы 2×2
Если матрицы A и B невырождены, то
Видео:Математика это не ИсламСкачать
1.15. Псевдообратная матрица
Если матрица A вырождена и обратная матрица не существует, то в некоторых случаях можно использовать псевдообратную матрицу, которая определяется как такая матрица A + , что
Псевдобратная матрица — не единственная и ее вид зависит от способа построения. Например для прямоугольной матрицы можно использовать метод Мура-Пенроуза.
Если число столбцов меньше числа строк, то
A + =(A t A) −1 A t
Рис. 1 7a Псевдообращение матрицы
Если же число столбцов больше числа строк, то
A + =A t (AA t ) −1
Видео:Матрица переходаСкачать
1.16. Умножение вектора на матрицу
Вектор x можно умножать на матрицу A подходящей размерности. При этом вектор-столбец умножается справа Ax , а вектор строка — слева x t A . Если размерность вектора J , а размерность матрицы I × J то в результате получится вектор размерности I . Например,
Рис. 18 Умножение вектора на матрицу
Если матрица A — квадратная ( I × I ), то вектор y = Ax имеет ту же размерность, что и x . Очевидно, что
A (α 1 x 1 + α 2 x 2 ) = α 1 Ax 1 + α 2 Ax 2 .
Поэтому матрицы можно рассматривать как линейные преобразования векторов. В частности Ix = x , Ox = 0 .
2. Дополнительная информация
2.1. Системы линейных уравнений
Пусть A — матрица размером I × J , а b — вектор размерности J . Рассмотрим уравнение
относительно вектора x , размерности I . По сути — это система из I линейных уравнений с J неизвестными x 1 . x J . Решение существует в том, и только в том случае, когда
rank( A ) = rank( B ) = R ,
где B — это расширенная матрица размерности I ×( J+1 ), состоящая из матрицы A , дополненной столбцом b , B = ( A b ). В противном случае уравнения несовместны.
Если R = I = J , то решение единственно
Если R I , то существует множество различных решений, которые можно выразить через линейную комбинацию J − R векторов. Система однородных уравнений Ax = 0 с квадратной матрицей A ( N × N ) имеет нетривиальное решение ( x ≠ 0 ) тогда и только тогда, когда det( A ) = 0. Если R = rank( A ) N , то существуют N − R линейно независимых решений.
2.2. Билинейные и квадратичные формы
Если A — это квадратная матрица , а x и y — вектора соответствующей размерности, то скалярное произведение вида x t Ay называется билинейной формой , определяемой матрицей A . При x = y выражение x t Ax называется квадратичной формой.
2.3. Положительно определенные матрицы
Квадратная матрица A называется положительно определенной, если для любого ненулевого вектора x ≠ 0 ,
Аналогично определяются отрицательно ( x t Ax x t Ax ≥ 0) и неположительно ( x t Ax ≤ 0) определенные матрицы.
2.4. Разложение Холецкого
Если симметричная матрица A положительно определена, то существует единственная треугольная матрица U с положительными элементами, для которой
Рис. 19 Разложение Холецкого
2.5. Полярное разложение
Пусть A — это невырожденная квадратная матрица размерности N × N . Тогда существует однозначное полярное представление
где S — это неотрицательная симметричная матрица, а R — это ортогональная матрица. Матрицы S и R могут быть определены явно:
S 2 = AA t или S = ( AA t ) ½ и R = S −1 A = ( AA t ) −½ A .
Рис. 20 Полярное разложение
Если матрица A вырождена, то разложение не единственно — а именно: S по-прежнему одна, а вот R может быть много. Полярное разложение представляет матрицу A как комбинацию сжатия/растяжения S и поворота R .
2.6. Собственные векторы и собственные значения
Пусть A — это квадратная матрица. Вектор v называется собственным вектором матрицы A , если
где число λ называется собственным значением матрицы A . Таким образом преобразование, которое выполняет матрица A над вектором v , сводится к простому растяжению или сжатию с коэффициентом λ. Собственный вектор определяется с точностью до умножения на константу α ≠ 0, т.е. если v — собственный вектор, то и α v — тоже собственный вектор.
2.7. Собственные значения
У матрицы A , размерностью ( N × N ) не может быть больше чем N собственных значений. Они удовлетворяют характеристическому уравнению
являющемуся алгебраическим уравнением N -го порядка. В частности, для матрицы 2×2 характеристическое уравнение имеет вид
Рис. 21 Собственные значения
Набор собственных значений λ 1 . λ N матрицы A называется спектром A .
Спектр обладает разнообразными свойствами. В частности
det( A ) = λ 1 ×. ×λ N , Sp( A ) = λ 1 +. +λ N .
Собственные значения произвольной матрицы могут быть комплексными числами, однако если матрица симметричная ( A t = A ), то ее собственные значения вещественны.
2.8. Собственные векторы
У матрицы A , размерностью ( N × N ) не может быть больше чем N собственных векторов, каждый из которых соответствует своему собственному значению. Для определения собственного вектора v n нужно решить систему однородных уравнений
Она имеет нетривиальное решение, поскольку det( A − λ n I ) = 0.
Рис. 22 Собственные вектора
Собственные вектора симметричной матрицы ортогональны.
2.9. Эквивалентные и подобные матрицы
Две прямоугольные матрицы A и B одной размерности I × J эквивалентны , если существуют такие квадратные матрицы S , размерности I × I , и T , размерности J × J , что
Эквивалентные матрицы имею один и тот же ранг.
Две прямоугольные матрицы A и B одной размерности N × N подобны , если существует такая невырожденная матрица T , что
Матрица T называется преобразованием подобия.
Подобные матрицы имеют один и тот же ранг, след, определитель и спектр.
2.10. Приведение матрицы к диагональному виду
Нормальную (в частности симметричную) матрицу A можно привести к диагональному виду преобразованием подобия —
Здесь Λ = diag(λ 1 . λ N ) — это диагональная матрица, элементами которой являются собственные значения матрицы A , а T — это матрица, составленная из соответствующих собственных векторов матрицы A , т.е. T = ( v 1 . v N ).
Рис. 23 Приведение к диагональному виду
2.11. Разложение по сингулярным значениям (SVD)
Пусть имеется прямоугольная матрица A размерностью I × J ранга R ( I ≤ J ≤ R ). Ее можно разложить в произведение трех матриц P R ( I × R ), D R ( R × R ) и Q R ( J × R ) —
.
Здесь P R — матрица, образованная R ортонормированными собственными векторами p r матрицы AA t , соответствующим R наибольшим собственным значениям λ r ;
AA t p r = λ r p r ;
Q R — матрица, образованная R ортонормированными собственными векторами q r матрицы A t A ;
A t Aq r = λ r q r .
D R = diag (σ 1 . σ R ) — положительно определенная диагональная матрица , элементами которой являются σ 1 ≥. ≥σ R ≥0 — сингулярные значения матрицы A , равные квадратным корням из собственных значений матрицы A t A —
Рис. 24 SVD разложение
Дополняя матрицы P R и Q R ортонормированными столбцами, а матрицу D R нулевыми значениями, можно сконструировать матрицы P ( I × J ), D ( J × J ) и Q ( J × J ) такие, что
2.12. Линейное пространство
Рассмотрим все возможные векторы размерности N . Это множество называется линейным пространством размерности N и обозначается R N . Так как в R N включены все возможные векторы, то любая линейная комбинация векторов из R N будет также принадлежать этому пространству.
2.13. Базис линейного пространства
Любой набор из N линейно независимых векторов называется базисом в пространстве R N . Простейший пример базиса — это набор векторов
в каждом из которых только один элемент равен 1, а остальные равны нулю. Тогда любой вектор x = ( x 1 , x 2 . x N ) t может быть представлен как линейная комбинация x = x 1 e 1 + x 2 e 2+ . + x N e N базисных векторов.
Базис, составленный из попарно ортогональных векторов, называется ортогональным , а если базисные вектора еще и нормированы, то этот базис называется ортонормированным .
2.14. Геометрическая интерпретация
Линейному пространству можно дать удобную геометрическую интерпретацию. Представим себе N -мерное пространство, в котором базисные вектора задают направления осей координат. Тогда произвольный вектор x = ( x 1 , x 2 . x N ) t можно изобразить точкой в этом пространстве с координатами ( x 1 , x 2 . x N ).
Рис. 25 Координатное пространство
2.15. Множественность базисов
В линейном пространстве могут быть неограниченное число базисов. Так, в пространстве R 3 помимо обычного ортонормированного базиса
можно установить и другой ортонормированный базис, например
Каждый базис можно представить матрицей B = ( b 1 . b N ), составленной из базисных векторов. Переход от одного базиса к другому осуществляется с помощью невырожденной квадратной матрицы T , т.е. B 2 = TB 1 .
2.16. Подпространство
Пусть имеется набор из K линейно независимых векторов x 1 , x 2 . x K в пространстве R N . Рассмотрим все возможные линейные комбинации этих векторов
x = α 1 x 1 + α 2 x 2 +. + α K x K
О получившимся множестве Q говорят, что оно является линейной оболочкой или что оно натянуто на векторы x 1 , x 2 . x K . По определению линейного пространства это множество Q само является линейным пространством размерности K . При этом оно принадлежит пространству R N , поэтому Q называется линейным подпространством R K в пространстве R N .
2.17. Проекция на подпространство
Рассмотрим подпространство R K , натянутое на векторы X = ( x 1 , x 2 . x K ) в пространстве R N . Матрица базиса X имеет размерность ( N × K ). Любой вектор y из R N может быть спроецирован на подпространство R K , т.е. представлен в виде
где вектор y || принадлежит R K , а вектор y ⊥ ортогонален y || .
Рис. 26 Проекция на подпространство
Проекцию y || можно представить как результат действия проекционной матрицы P
Проекционная матрица определяется как
Рис. 27 Проекционное разложение
Заключение
Матричные методы активно используются при анализе данных, в том числе и хемометрическими методами.