Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Выберите верное утверждение и запишите в ответе его номер.

1) В любом треугольнике есть хотя бы один острый угол.

2) Центром окружности, описанной около любого треугольника, является точка пересечения медиан этого треугольника.

3) Если один из углов равнобедренного треугольника равен 30°, то другой угол равен 60°.

1) Верно, поскольку сумма углов треугольника равна 180°, в нём может быть только один прямой или тупой угол, а остальные — острые.

2) Неверно, центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его серединных перпендикуляров.

3) Неверно, если один из углов равнобедренного треугольника равен 30°, то другие два угла равны 30° и 120° или 75° и 75°.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Please wait.

Видео:Центром описанной окружности треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центром описанной окружности треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Точка пересечения медиан в треугольникеСкачать

Точка пересечения медиан в треугольнике

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Центром вписанной в треугольник окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центром вписанной в треугольник окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d871064fea77a69 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

Видео:№366. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точкаСкачать

№366. Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, а О — произвольная точка

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медианСерединный перпендикуляр к отрезку
Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медианОкружность описанная около треугольника
Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медианСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медианДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Видео:Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой ЭйлераСкачать

Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой Эйлера

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Точка пересечения медиан.Скачать

Точка пересечения медиан.

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Видео:Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать

Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медианВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаЦентром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медианОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медианЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медианЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовЦентром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан
Площадь треугольникаЦентром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан
Радиус описанной окружностиЦентром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаЦентром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиЦентром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиЦентром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовЦентром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаЦентром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиЦентром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Для любого треугольника справедливо равенство:

Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения его медиан

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

🎦 Видео

Почему точка пересечения медиан называется центром масс?Скачать

Почему точка пересечения медиан называется центром масс?

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точкиСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: 4 замечательные точки

Точка пересечения биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляровСкачать

Точка пересечения биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольникаСкачать

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольника

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Задание 16 ОГЭ 2022 математика | Точка пересечения медиан треугольникаСкачать

Задание 16 ОГЭ 2022 математика | Точка пересечения медиан треугольника

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Центром окружности, описанной около треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центром окружности, описанной около треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

#31. Регион ВсОШ 2023, 11.5Скачать

#31. Регион ВсОШ 2023, 11.5

ВСЕ свойства ортоцентра для №16 на ЕГЭ 2023 по математикеСкачать

ВСЕ свойства ортоцентра для №16 на ЕГЭ 2023 по математике

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник
Поделиться или сохранить к себе: