Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дугиВписанные четырехугольники и их свойства
Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дугиТеорема Птолемея

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаКак найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дугиОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаКак найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дугиОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииКак найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дугиОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаКак найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дугиОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникКак найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Окружность, описанная около параллелограмма
Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дугиОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дугиОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дугиОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дугиОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги
Окружность, описанная около параллелограмма
Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаКак найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииКак найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаКак найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникКак найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Докажем, что справедливо равенство:

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

откуда вытекает равенство:

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Четырёхугольник вписан в окружность

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Четырёхугольник вписан в окружность (задачи). Продолжаем рассматривать задания входящие в состав ЕГЭ по математике. В этой статье мы решим несколько задач с использованием свойств вписанного угла. Теория была подробно уже изложена, обязательно посмотрите . В указанной статье решение заданий по сути сводилось к применению свойства вписанного угла сразу же, то есть это были задания практически в одно действие. Здесь нужно чуть подумать, ход решения не всегда с ходу очевиден.

Применяются: теорема о сумме углов треугольника, свойства вписанного угла, свойство четырёхугольника вписанного в окружность. О последнем подробнее.

*Это свойство было уже представлено, но в другой интерпретации. Итак:

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Вписанный четырехугольник — это четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180 градусам.

То есть, если мы такой четырёхугольник, то сумма его противоположных углов равна 180 градусам.

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

27870. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 110 0 . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Треугольник BОC равнобедренный, так как ОС=ОВ (это радиусы). Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Рассмотрим ∠BOC и ∠AOD:

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Угол АОВ является центральным углом для вписанного угла АСВ. По свойству вписанного в окружность угла

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Сумма смежных углов равна 180 0 , значит

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

27871. Угол А четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58 0 . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Здесь достаточно вспомнить свойство такого четырёхугольника. Известно, что сумма его противоположных углов такого равна 180 градусам, значит угол С будет равен

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Построим ОВ и OD.

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

По свойству вписанного угла градусная величина дуги BCD равна

Следовательно градусная величина дуги BAD будет равна

360 0 – 116 0 = 244 0

По свойству вписанного угла угол С будет в два раза меньше, то есть 122 0 .

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

27872. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95 0 , 49 0 , 71 0 , 145 0 . Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Построим радиусы АО, OD, OC:

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Градусная величина дуги AD равна 145 0 , градусная величина дуги СD равна 71 0 , значит градусная величина дуги АDС равна 145 0 + 71 0 = 216 0 .

По свойству вписанного угла угол В будет в два раза меньше центрального угла соответствующего дуге АDС, то есть

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

27874. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Данная задача может вызвать затруднение. Сразу невозможно явно увидеть ход решения. Вспомним, что известно про вписанный четырёхугольник: сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Найдём

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

На данный момент мы нашли тот угол, который сразу же возможно определить по известному свойству. Если есть возможность найти какую-либо величину, сделайте это, пригодится. Действуем по принципу «находим то, что можно найти исходя из данных величин».

Далее используя теорему о сумме углов треугольника найдём угол ACD:

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Вписанные углы ABD и ACD опираются на одну и туже дугу, это означает, что они равны, то есть

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

27875. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75 0 , угол CAD равен 35 0 . Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Известно, что вписанные углы опирающиеся на одну и ту же дугу, и лежащие от неё по одну сторону равны. Следовательно

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

В треугольнике ACD известно два угла, можем найти третий:

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Далее воспользуемся свойством – известно, что у вписанного в окружность четырехугольника сумма противолежащих углов равна 180 0 , значит

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

27869. AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 38 0 . Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

27873. Точки A, B, C, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги AB, BC, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

27876. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110 0 , угол ABD равен 70 0 . Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Отмечу, что важно помнить указанные свойства и задачи вы решите без проблем. Конечно, можно выстроить решение не совсем корректно. Например, в задаче 27876 для самостоятельного решения приведено «длинное», или как ещё говорят нерациональное решение. Ничего страшного, если вы именно также решите задачу.

Главное чтобы вы помнили и применяли теорию, и в конечном итоге РЕШИЛИ задание.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, приглашаю вас на блог!

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких

Комиссия спрашивает у директора простой сельской школы:
— По какой причине у вас все дети говорят: пришедши, ушедши?
— А кто их знает, может они так привыкши!

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Вписанный четырехугольник. Задание 6

Вписанный четырехугольник. Задание 6

При решении задач на нахождение углов вписанного четырехугольника нам нужно вспомнить, что

1. Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности:

2. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°:

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Рассмотрим решение задач из Открытого банка заданий по математике:

1 .Задание B7 (№ 27871)

Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах. Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дуги

Сумма углов А и С равна 180°, поэтому угол С равен 180°-58°=122°

Ответ: 122°

2 . Задание B7 (№ 27927)

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Как найти угол вписанного четырехугольника в окружность если известны дугиУглы 82° и 58° не могут быть противоположными, так как их сумма не равна 180°. Значит, оставшиеся углы являются противоположными к этим. очевидно. что величина большего угла равна 180°-58°=122°

3 . Задание B7 (№ 27928)

Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 1:2:3. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

Введем единичный угол. Тогда величины углов А, В и С можно записать так:

А=х, В=2х, С=3х. Суммы противоположных углов вписанного четырехугольника равны и равны 180°. Сумма углов А и С равна 4х и равна 180°. Отсюда х=45°.

Очевидно, что величина угла D равна 4х-2х=90°

📽️ Видео

Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Геометрия Найдите углы четырехугольника MNKP, вписанного в окружность, если угол MKP = 58, угол MPNСкачать

Геометрия Найдите углы четырехугольника MNKP, вписанного в окружность, если угол MKP = 58, угол MPN

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABCСкачать

2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABC

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Если в четырёхугольник можно вписать окружность

Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Угол, вписанный в окружность. Решение задач. Часть 1. Геометрия 8-9 классСкачать

Угол, вписанный в окружность. Решение задач. Часть 1. Геометрия 8-9 класс

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольникСкачать

11 класс, 43 урок, Вписанный четырехугольник

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)
Поделиться или сохранить к себе: