Как найти угол между радиус вектором и осью

Нахождение угла между векторами

Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.

Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →

Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .

Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^

Как найти угол между радиус вектором и осью

Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.

a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.

Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.

Видео:Построение проекции вектора на осьСкачать

Построение проекции вектора на ось

Нахождение угла между векторами

Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.

Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.

Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.

Решение

Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,

Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4

Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.

Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.

Решение

  1. Для решения задачи можем сразу применить формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70

  1. Также можно определить угол по формуле:

cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,

но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70

Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.

Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .

Решение

Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )

Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:

A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,

b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^

и отсюда выведем формулу косинуса угла:

cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →

Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.

Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Проекция вектора на ось в физике — формулы и определения с примерами

Содержание:

Проекция вектора на ось:

Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое проекция вектора? Как ее определяют?

Начнем с понятия проекция точки на ось.

Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось.

На рисунке 24 точка Как найти угол между радиус вектором и осью

Как найти угол между радиус вектором и осью

Видео:Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

Как определяют проекцию вектора на ось

Проекция вектора на ось — это длина отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+» или «-». Знак «+» берут, если угол между вектором и осью острый, а знак «-» — если угол тупой.

На рисунке 25 проекция вектора Как найти угол между радиус вектором и осьюна ось Ох обозначена через Как найти угол между радиус вектором и осьюа проекция вектора Как найти угол между радиус вектором и осью— через Как найти угол между радиус вектором и осью
Как найти угол между радиус вектором и осью
Проекция Как найти угол между радиус вектором и осью— число положительное, т. к. угол Как найти угол между радиус вектором и осьюна рисунке 25, а — острый. Проекция Как найти угол между радиус вектором и осью— число отрицательное Как найти угол между радиус вектором и осьют. к. угол Как найти угол между радиус вектором и осьюна рисунке 25, б — тупой.

А если вектор перпендикулярен оси? Тогда его проекция на эту ось равна нулю (рис. 26).

Как найти угол между радиус вектором и осью

Проекцию вектора можно выразить через его модуль и угол между вектором и осью.

Рассмотрим треугольник Как найти угол между радиус вектором и осьюна рисунке 25, а. Его гипотенуза Как найти угол между радиус вектором и осьюкатет Как найти угол между радиус вектором и осьюа угол между ними равен Как найти угол между радиус вектором и осьюСледовательно,

Как найти угол между радиус вектором и осью

Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью.

Это правило справедливо при любых углах между вектором и осью. Подтвердите это с помощью рисунков 25 и 26.

Обратим внимание на еще одно важное свойство проекций: проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.

Как найти угол между радиус вектором и осью

С помощью рисунка 27, а, б убедитесь, что из векторного равенства Как найти угол между радиус вектором и осьюследует равенство для проекций: Как найти угол между радиус вектором и осьюНе забывайте о знаках проекций.

Можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси

Как найти угол между радиус вектором и осью

Рассмотрим вектор Как найти угол между радиус вектором и осьюлежащий в плоскости Как найти угол между радиус вектором и осью(рис. 28). Его проекции на оси Как найти угол между радиус вектором и осьюопределим из рисунка: Как найти угол между радиус вектором и осью

Модуль вектора Как найти угол между радиус вектором и осьюнаходим по теореме Пифагора из треугольника ACD: Как найти угол между радиус вектором и осьюРазделив Как найти угол между радиус вектором и осьюна Как найти угол между радиус вектором и осьюполучим: Как найти угол между радиус вектором и осьюПо значению косинуса находим угол Как найти угол между радиус вектором и осью

Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, полностью определяется двумя проекциями на оси координат.

Вектор в пространстве определяется тремя проекциями: Как найти угол между радиус вектором и осью(рис. 29).
Как найти угол между радиус вектором и осью

Главные выводы:

  1. Проекция вектора на ось — это длина отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+» или «-».
  2. Если угол между вектором и осью острый, то его проекция на эту ось положительна, если угол тупой — отрицательна, если прямой — равна нулю.
  3. Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью.
  4. Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.

Пример №1

Как найти угол между радиус вектором и осью

1. Определите сумму и разность взаимно перпендикулярных векторов Как найти угол между радиус вектором и осью(рис. 30). Найдите модули векторов суммы Как найти угол между радиус вектором и осьюи разности Как найти угол между радиус вектором и осью

Решение

Сумму векторов Как найти угол между радиус вектором и осьюнаходим по правилу треугольника (рис. 31, а) или параллелограмма (рис. 31, б). Так как векторы Как найти угол между радиус вектором и осьювзаимно перпендикулярны, модуль вектора Как найти угол между радиус вектором и осьюнаходим по теореме Пифагора: Как найти угол между радиус вектором и осьюРазность векторов Как найти угол между радиус вектором и осьюопределим по правилам вычитания векторов (рис. 32, а, б).

Как найти угол между радиус вектором и осью

Модуль вектора Как найти угол между радиус вектором и осьюнаходим аналогично:

Как найти угол между радиус вектором и осью

Ответ: Как найти угол между радиус вектором и осью

Пример №2

Выразите вектор Как найти угол между радиус вектором и осьючерез векторы Как найти угол между радиус вектором и осью(рис. 33). Как связаны между собой проекции этих векторов на оси Ох и Оу?

Решение

Как найти угол между радиус вектором и осью

По правилу треугольника находим: Как найти угол между радиус вектором и осьюОтсюда Как найти угол между радиус вектором и осьюОпределив координаты Как найти угол между радиус вектором и осьюначальных и конечных точек векторов Как найти угол между радиус вектором и осьюнаходим проекции этих векторов: Как найти угол между радиус вектором и осьюКак найти угол между радиус вектором и осью

Вычислением убедимся, что проекции векторов связаны теми же равенствами, что и сами векторы: Как найти угол между радиус вектором и осью

Ответ: Как найти угол между радиус вектором и осью

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Физика
  2. Атомная физика
  3. Ядерная физика
  4. Квантовая физика
  5. Молекулярная физика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Путь и перемещение
  • Равномерное прямолинейное движение
  • Прямолинейное неравномерное движение
  • Прямолинейное равноускоренное движение
  • Колебательное движение
  • Физический и математический маятники
  • Пружинные и математические маятники
  • Скалярные и векторные величины и действия над ними

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Радиус векторСкачать

Радиус вектор

iSopromat.ru

Как найти угол между радиус вектором и осью

Пример решения задачи по определению в заданный момент времени угла между вектором ускорения точки, движущейся по траектории окружности и радиусом этой окружности.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Задача

Точка движется по окружности радиуса R по закону: S=2πRt 2 .

В момент времени:

Как найти угол между радиус вектором и осью

сек, определить угол между вектором ускорения и радиусом.

Как найти угол между радиус вектором и осью

Видео:Урок 9. Проекции вектора на координатные осиСкачать

Урок 9. Проекции вектора на координатные оси

Решение

Выбрав начало отсчета и положительное направление движения, показываем положение точки в заданный момент времени:

Как найти угол между радиус вектором и осью

При длине дуги (1/2)R центральный угол φ=S/R=1/2 рад.

Как найти угол между радиус вектором и осью

Вектор скорости направлен по касательной к траектории движения, в сторону возрастания дуговой координаты.

Касательное, нормальное и полное ускорения точки:

Как найти угол между радиус вектором и осью

Угол между вектором ускорения и радиусом :

Как найти угол между радиус вектором и осью

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Видео:Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси.  9 класс.

Решение задач, контрольных и РГР

Стоимость мы сообщим в течение 5 минут
на указанный вами адрес электронной почты.

Если стоимость устроит вы сможете оформить заказ.

Видео:2.4. Радиус-вектор и вектор перемещенияСкачать

2.4. Радиус-вектор и вектор перемещения

Набор студента для учёбы

Как найти угол между радиус вектором и осью

— Рамки A4 для учебных работ
— Миллиметровки разного цвета
— Шрифты чертежные ГОСТ
— Листы в клетку и в линейку

💥 Видео

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

найти угол между единичными векторамиСкачать

найти угол между единичными векторами

Лекция 4.1 | Радиус-вектор, скорость и ускорение | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

Лекция 4.1 | Радиус-вектор, скорость и ускорение | Александр Чирцов | Лекториум

Радиус-векторыСкачать

Радиус-векторы

Нахождение угла между векторами через координаты. 9 класс.Скачать

Нахождение угла между векторами  через координаты. 9 класс.

Лекция 4. ВЕКТОРА │ кинематика с нуляСкачать

Лекция 4. ВЕКТОРА │ кинематика с нуля

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

Векторные величины Проекция вектора на осьСкачать

Векторные величины  Проекция вектора на ось

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Проекции вектораСкачать

Проекции вектора

ФИЗИКА 10 класс. Проекции вектора на оси координат | ВидеоурокСкачать

ФИЗИКА 10 класс. Проекции вектора на оси координат | Видеоурок
Поделиться или сохранить к себе: