- Содержание:
- Особенности явления
- Способ вычислить площадь круга, вписанного в треугольник
- Задачи
- Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника
- Как найти площадь треугольника
- Основные понятия
- Формула площади треугольника
- Общая формула
- 1. Площадь треугольника через основание и высоту
- 2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
- 3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
- 4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
- 5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
- 6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
- Для прямоугольного треугольника
- Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
- Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
- Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
- Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
- Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
- Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
- Для равнобедренного треугольника
- Вычисление площади через основание и высоту
- Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
- Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
- Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
- Площадь равностороннего треугольника через сторону
- Площадь равностороннего треугольника через высоту
- Таблица формул нахождения площади треугольника
- 📺 Видео
Содержание:
В геометрии встречаются понятия описанной и вписанной геометрических фигур. Описанным будет треугольник, через вершины которого проходит окружность, вписанным – если его стороны соприкасаются с кругом. Такое построение в обоих случаях обладает рядом особенностей, которые применяются на практике и упрощают решение задач. Рассмотрим свойства и формулы для расчёта описанного 3-угольника.
Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать
Особенности явления
Окружность с центром O, проходящая через одну из точек: D, E либо F обязательно будет лежать и на двух остальных. Прямые, разделяющие углы пополам, или биссектрисы равностороннего треугольника пересекаются в общей точке – центре вписанной окружности, который находится на одинаковом удалении от сторон геометрической фигуры.
Из вышесказанного следуют свойства:
- В треугольник вписывается лишь один круг.
- Его центр находится на одинаковом расстоянии от ближайших точек на сторонах 3-угольника.
- Перпендикуляры, опущенные из центра O, и биссектрисы пересекаются в одной точке, называемой центром вписанной окружности.
Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Способ вычислить площадь круга, вписанного в треугольник
Для вычисления площади, если дан только размер стороны правильного треугольника, применяется ряд формул.
S=πr 2 .
a, где:
- a – длина стороны геометрической фигуры;
- r – радиус круга, расположенного внутри многоугольника с тремя равными сторонами.
После подстановки значения получается выражение для вычисления площади вписанной окружности:
.
В задачах могут давать длину сторон, тогда
Выражение для равностороннего треугольника можно записать в виде так как 3-угольник равносторонний. С иной стороны – это полупериметр рассматриваемой геометрической фигуры – p.
Зная это, формула записывается в виде: S = r * p.
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Задачи
В формулу подставим длину сторон треугольника, после вычислений получим результат.
Вычислить занимаемое вписанным в 3-угольник кругом пространство, если его сторона равна 10 см.
Для вычислений необходимо найти радиус r.
Известно, что он определяется по формуле:
После преобразований выражение упрощается до .
– полупериметр.
Начинаем проводить вычисления.
P = a + a + a = 10 +10 +10 или 10 * 3 = 30 см.
Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать
Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника
Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.
Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
Пусть сторона правильного треугольника равна .
Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: .
Радиус описанной окружности в два раза больше: .
Площадь правильного треугольника: .
Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.
. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .
. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .
Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.
. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .
Видео:Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать
Как найти площадь треугольника
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать
Основные понятия
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.
Популярные единицы измерения площади:
- квадратный миллиметр (мм 2 );
- квадратный сантиметр (см 2 );
- квадратный дециметр (дм 2 );
- квадратный метр (м 2 );
- квадратный километр (км 2 );
- гектар (га).
Видео:Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать
Формула площади треугольника
Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.
Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.
Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Общая формула
1. Площадь треугольника через основание и высоту
, где — основание, — высота.
2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
, где , — стороны, — угол между ними.
3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.
4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.
Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:
5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
, где — сторона, и — прилежащие углы.
6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.
, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:
Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать
Для прямоугольного треугольника
Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.
Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.
Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
, где — катет, — прилежащий угол.
Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.
Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.
Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
, где , — части гипотенузы.
Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:
Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать
Для равнобедренного треугольника
Вычисление площади через основание и высоту
, где — основание, — высота, проведенная к основанию.
Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
, где — радиус описанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
, где — радиус вписанной окружности.
Площадь равностороннего треугольника через сторону
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Видео:Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать
Таблица формул нахождения площади треугольника
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.
📺 Видео
Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать
Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать
Радиус описанной окружностиСкачать
ЕГЭ 6 номер. Нахождение стороны правильного треугольника по радиусу вписанной окружности.Скачать
Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в равносторонний треугольник.Скачать
Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметрСкачать
Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать
112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписаннойСкачать
15 задание треугольники огэ по математике / маттаймСкачать