Как найти площадь параллелепипеда векторы

Объем параллелепипеда, построенного на векторах онлайн

Объём параллелепипеда равен смешанному произведению векторов на которых он построен:

Как найти площадь параллелепипеда векторы

Поскольку смешанное произведение векторов, может быть отрицательным числом, а объём геометрического тела — всегда число положительное, то при вычислении объёма параллелепипеда, построенного на векторах, результат смешанного произведения берется по модулю:

Таким образом, для того, чтобы вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах, нужно найти смешанное произведение данных векторов, и полученный результат взять по модулю.

Наш онлайн калькулятор, найдет площадь параллелепипеда с описанием подробного хода решения на русском языке.

Видео:Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать

Площадь параллелограмма, построенного на данных векторах

Смешанное, векторное и скалярное произведение векторов

Задача:

Как найти площадь параллелепипеда векторыДан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, построен на векторах AB(4,3,0), AD(2,1,2) и AA1(-3,-2,5).
Найти:

Решение:

  • а) Объем параллелепипеда будем искать через смешанное произведение векторов (AB AD AA1). Мы знаем, что модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенному на этих векторах.
(AB AD AA1)=
430
212
-3-25
=20 — 18 + 0 — 0 — 30 + 16=-12.

Мы нашли смешанное произведение, ещё надо его взять по модулю и найдём объем параллелепипеда:
VABCDA1B1C1D1=12.
б) Площадь, как мы уже знаем, можно искать через векторное произведение векторов. Грань ABCD построена на векторах AB и AD, найдём их векторное произведение. SABCD= |[AB AD]|.

[AB AD]=
ijk
430
212
=6i — 8j — 2k,

Теперь найдём модуль этого вектора:

SABCD= |[AB AD]|=√(36+64+4)=2√(26).
[AD AA1]=
ijk
212
-3-25
=9i — 16jk,

SADD1A1= |[AD AA1]|=√(81+256+1)=13√2.

  • в) Что бы найти длину высоты, проведенной из вершины A1 на грань ABCD, используем формулу для нахождения объема параллелепипеда V=h SABCD. С этой формулы видим:
    h=
    V
    SABCD
    =
    12
    2√(26)
    =
    6
    √(26)
    =
    3√(26)
    13
    .
  • г) Косинус угла λ1, между ребром AB и диагональю B1D будем высчитывать с помощью скалярного произведения векторов
    cos(λ1)=
    (AB B1D)
    |AB| * |B1D|
    .

    Координаты вектора AB мы имеем, от вектор B1D надо найти. Для этого используем следующую формулу:
    B1D = B1A1 + A1A + AD = — AB — AA1 + AD1 = — (4, 3, 0) — (-3, -2, 5) + (2, 1, 2); (Не забывайте, что всё это векторы, надо сложить их соответствующие координаты. )
    Сделав вычисления по этой формуле, мы найдём, что вектор B1D имеет координаты (1, 0, -3). Теперь надо найти длину векторов AB и B1D:
    |AB|=√(16+9+0)=5, |B1D|=√(1+0+9)=√(10).
    Найдём скалярное произведение векторов AB и B1D, (AB B1D)=4*1 + 3*0 + 0*(-3)=4.
    Теперь, имея все данные мы можем подставить их в нашу формулу:

    cos(λ1)=
    4
    5√(10)
    =
    2√(10)
    25
    .

    д) Что бы найти cos(λ2), мы используем то, что угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярами до этих плоскостей. А как мы знаем, векторное произведение — это и есть перпендикуляр до плоскости перемножаемых векторов. Поэтому в роле перпендикуляра к плоскости ADD1A1 мы можем взять вектор [AD AA1], который мы нашли в пункте б), и знаем, что его координаты (9, -16, -1), точно также и для плоскости ABCD — вектор [AB AD] с координатами (6, -8, -2).
    Теперь нам остаётся, как в предыдущем варианте найти только косинус угла между двумя векторами, координаты которых нам известны.

    cos(λ2)=
    6*9 + (-8)*(-16) + (-2)*(-1)
    2√(26) * 13√(2)
    =
    46√(13)
    169
    .

    Вот таким не хитрым способом мы и нашли косинус угла между гранями ABCD и ADD1A1.

    Видео:Площадь параллелограмма по векторамСкачать

    Площадь параллелограмма по векторам

    Нахождение площади прямоугольного параллелепипеда: формула и пример

    В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда и разберем пример решения задачи для закрепления материала.

    Видео:Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторахСкачать

    Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах

    Формула вычисления площади

    Площадь (S) поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется следующим образом:

    Как найти площадь параллелепипеда векторы

    Формула получена следующим образом:

    1. Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, причем противоположные грани равны между собой:
      • два основания: со сторонами a и b;
      • четыре боковые грани: со стороной a/b и высотой c.
    2. Сложив площади всех граней, каждая из которых равна произведению сторон разной длины, получаем: S = ab + ab + bc + bc + ac + ac = 2 (ab + bc + ac).

    Видео:Правило параллелепипеда для векторовСкачать

    Правило параллелепипеда для векторов

    Пример задачи

    Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его длина равна 6 см, ширина – 4 см, а высота – 7 см.

    Решение:
    Воспользуемся формулой выше, подставив в нее известные значения:
    S = 2 ⋅ (6 см ⋅ 4 см + 6 см ⋅ 7 см + 4 см ⋅ 7 см) = 188 см 2 .

    📸 Видео

    Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах.Скачать

    Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах.

    §20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать

    §20 Нахождение объёма параллелипипеда

    как найти площадь параллелограмма построенного на векторахСкачать

    как найти площадь параллелограмма построенного на векторах

    1. Векторы и параллелограмм задачи №1Скачать

    1. Векторы и параллелограмм задачи №1

    10 класс, 44 урок, Правило параллелепипедаСкачать

    10 класс, 44 урок, Правило параллелепипеда

    Площадь треугольника, построенного на векторахСкачать

    Площадь треугольника, построенного на векторах

    Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

    Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

    Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

    Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

    18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

    18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.

    Найти угол между векторами и площадь параллелограмма, построенного на этих векторахСкачать

    Найти угол между векторами и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах

    Найдите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a=(1;-1;-4) и b=(-5;3;8)Скачать

    Найдите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a=(1;-1;-4) и b=(-5;3;8)

    2. Векторы в параллелограмме Решение задач №2Скачать

    2. Векторы в параллелограмме Решение задач №2

    Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

    Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

    44. Правило параллелепипедаСкачать

    44. Правило параллелепипеда

    43. Компланарные векторыСкачать

    43. Компланарные векторы

    10 класс, 43 урок, Компланарные векторыСкачать

    10 класс, 43 урок, Компланарные векторы
  • Поделиться или сохранить к себе: