Задача:
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, построен на векторах AB(4,3,0), AD(2,1,2) и AA1(-3,-2,5).
Найти:
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, построен на векторах AB(4,3,0), AD(2,1,2) и AA1(-3,-2,5). Решение:
- а) Объем параллелепипеда будем искать через смешанное произведение векторов (AB AD AA1). Мы знаем, что модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда, построенному на этих векторах.
| (AB AD AA1) | = |
| = | 20 — 18 + 0 — 0 — 30 + 16 | = | -12 | . |
|---|
Мы нашли смешанное произведение, ещё надо его взять по модулю и найдём объем параллелепипеда:
VABCDA1B1C1D1=12.
б) Площадь, как мы уже знаем, можно искать через векторное произведение векторов. Грань ABCD построена на векторах AB и AD, найдём их векторное произведение. SABCD= |[AB AD]|.
| [AB AD] | = |
| = | 6i — 8j — 2k | , |
|---|
Теперь найдём модуль этого вектора:
| SABCD= |[AB AD]|=√ | (36+64+4) | =2√(26). |
|---|
| [AD AA1] | = |
| = | 9i — 16j — k | , |
|---|
SADD1A1= |[AD AA1]|=√(81+256+1)=13√2.
| h | = |
| = |
| = |
| = |
| . |
|---|
| cos(λ1) | = |
| . |
|---|
Координаты вектора AB мы имеем, от вектор B1D надо найти. Для этого используем следующую формулу:
B1D = B1A1 + A1A + AD = — AB — AA1 + AD1 = — (4, 3, 0) — (-3, -2, 5) + (2, 1, 2); (Не забывайте, что всё это векторы, надо сложить их соответствующие координаты. )
Сделав вычисления по этой формуле, мы найдём, что вектор B1D имеет координаты (1, 0, -3). Теперь надо найти длину векторов AB и B1D:
|AB|=√(16+9+0)=5, |B1D|=√(1+0+9)=√(10).
Найдём скалярное произведение векторов AB и B1D, (AB B1D)=4*1 + 3*0 + 0*(-3)=4.
Теперь, имея все данные мы можем подставить их в нашу формулу:
| cos(λ1) | = |
| = |
| . |
|---|
д) Что бы найти cos(λ2), мы используем то, что угол между двумя плоскостями равен углу между перпендикулярами до этих плоскостей. А как мы знаем, векторное произведение — это и есть перпендикуляр до плоскости перемножаемых векторов. Поэтому в роле перпендикуляра к плоскости ADD1A1 мы можем взять вектор [AD AA1], который мы нашли в пункте б), и знаем, что его координаты (9, -16, -1), точно также и для плоскости ABCD — вектор [AB AD] с координатами (6, -8, -2).
Теперь нам остаётся, как в предыдущем варианте найти только косинус угла между двумя векторами, координаты которых нам известны.
| cos(λ2) | = |
| = |
| . |
|---|
Вот таким не хитрым способом мы и нашли косинус угла между гранями ABCD и ADD1A1.
- Нахождение площади прямоугольного параллелепипеда: формула и пример
- Формула вычисления площади
- Пример задачи
- Онлайн калькулятор. Площадь параллелограмма построенного на векторах.
- Калькулятор для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах
- Инструкция использования калькулятора для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах
- Ввод данных в калькулятор для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах
- Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади параллелограмма построенного на векторах
- Теория. Площадь параллелограмма построенного на векторах.
Нахождение площади прямоугольного параллелепипеда: формула и пример
В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда и разберем пример решения задачи для закрепления материала.
Формула вычисления площади
Площадь (S) поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется следующим образом:
Формула получена следующим образом:
- Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, причем противоположные грани равны между собой:
- два основания: со сторонами a и b;
- четыре боковые грани: со стороной a/b и высотой c.
- Сложив площади всех граней, каждая из которых равна произведению сторон разной длины, получаем: S = ab + ab + bc + bc + ac + ac = 2 (ab + bc + ac).
Пример задачи
Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его длина равна 6 см, ширина – 4 см, а высота – 7 см.
Решение:
Воспользуемся формулой выше, подставив в нее известные значения:
S = 2 ⋅ (6 см ⋅ 4 см + 6 см ⋅ 7 см + 4 см ⋅ 7 см) = 188 см 2 .
Онлайн калькулятор. Площадь параллелограмма построенного на векторах.
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти площадь параллелограмма построенного на векторах.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление площади параллелограмма построенного на векторах и закрепить пройденый материал.
Калькулятор для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах
Выберите каким образом задается параллелограмм:
Введите значения векторов: Введите координаты трех любых вершин параллелограмма:
Инструкция использования калькулятора для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах
Ввод данных в калькулятор для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади параллелограмма построенного на векторах
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.
Теория. Площадь параллелограмма построенного на векторах.
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.