Как найти параллельную прямую в трапеции

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Как найти параллельную прямую в трапеции

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Как найти параллельную прямую в трапеции

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Как найти параллельную прямую в трапеции

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Как найти параллельную прямую в трапеции

Видео:Задача повышенной сложности из ОГЭ. Найти длину прямой, параллельной основаниям трапецииСкачать

Задача повышенной сложности из ОГЭ. Найти длину прямой, параллельной основаниям трапеции

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Как найти параллельную прямую в трапеции

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Как найти параллельную прямую в трапеции

3. Треугольники Как найти параллельную прямую в трапециии Как найти параллельную прямую в трапеции, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Как найти параллельную прямую в трапеции

Отношение площадей этих треугольников есть Как найти параллельную прямую в трапеции.

Как найти параллельную прямую в трапеции

4. Треугольники Как найти параллельную прямую в трапециии Как найти параллельную прямую в трапеции, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Как найти параллельную прямую в трапеции

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Как найти параллельную прямую в трапеции

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Как найти параллельную прямую в трапеции

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Как найти параллельную прямую в трапеции

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Как найти параллельную прямую в трапеции

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Как найти параллельную прямую в трапеции

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Как найти параллельную прямую в трапеции

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Как найти параллельную прямую в трапеции

Видео:Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые #математика #огэ #впрСкачать

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые #математика #огэ #впр

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Как найти параллельную прямую в трапециии она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Как найти параллельную прямую в трапециии Как найти параллельную прямую в трапеции, то Как найти параллельную прямую в трапеции

Как найти параллельную прямую в трапеции

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.

Площадь

Как найти параллельную прямую в трапецииили Как найти параллельную прямую в трапециигде Как найти параллельную прямую в трапеции– средняя линия

Как найти параллельную прямую в трапеции

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Трапеция. Задачи. Найти углы трапеции. Равнобедренной,прямоугольной,Скачать

Трапеция. Задачи. Найти углы трапеции. Равнобедренной,прямоугольной,

Трапеция

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Как найти параллельную прямую в трапеции

Данный урок посвящён ещё одному специфическому виду четырёхугольников – трапециям. Как и в параллелограмме, в трапеции две стороны параллельны. Однако существенным отличием является то, что две другие стороны трапеции являются непараллельными. То есть параллелограмм не является частным случаем трапеции. Вместе с тем, несмотря на менее строгие условия в определении, трапеция обладает целым рядом интересных свойств. Кроме того, существует несколько видов трапеции – равнобедренная или равнобокая, прямоугольная трапеция. В школьном курсе геометрии очень много задач, в которых фигурирует трапеция. Поэтому изучение и понимание данной темы является необходимым для успешного освоения геометрии.

Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Как найти параллельную прямую в трапеции

Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.

$$ 4.^$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям — подобны.

$$ 4.^$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

Как найти параллельную прямую в трапеции

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме

(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).

Как найти параллельную прямую в трапеции

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).

Как найти параллельную прямую в трапеции

$$ 4.^$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` — диагональ, `c` — боковая сторона, `a` и `b` основания.

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

$$ 4.^$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Докажем, например, утверждение $$ 4.^$$ .

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,

`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Проводим `CK«||«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

`d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`.

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем

`d^2=c^2+ab`.

Как найти параллельную прямую в трапеции

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.^$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` — его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).

Как найти параллельную прямую в трапеции

По построению `ACKD` — параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`

(т. к. угол `BDK` — это угол между диагоналями трапеции).

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.

Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` — высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.^$$ `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е. `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`, откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah` и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`, то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна

Как найти параллельную прямую в трапеции

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).

Как найти параллельную прямую в трапеции

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.^$$ около этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.^$$

Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда

$$ 4.^$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

$$ 4.^$$. Если `S_1` и `S_2` — площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.

$$ 4.^$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` — какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` — смотрящий на неё вписанный угол.

🎬 Видео

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 класс

8 класс, 15 урок, Площадь трапецииСкачать

8 класс, 15 урок, Площадь трапеции

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны... (задание 23 ОГЭ)Скачать

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны... (задание 23 ОГЭ)

РЕШЕНО /// Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает еебоковые стороны AB и CD...Скачать

РЕШЕНО /// Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает еебоковые стороны AB и CD...

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.

8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать

8 класс, 6 урок, Трапеция

Диагонали трапеции и точка их пересеченияСкачать

Диагонали трапеции и точка их пересечения

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

Урок 1. №23 ОГЭ. Нахождение отрезка трапеции, параллельного основаниям. Оформление.Скачать

Урок 1.  №23 ОГЭ. Нахождение отрезка трапеции, параллельного основаниям. Оформление.

Геометрия Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CDСкачать

Геометрия Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD

Как найти углы трапеции | Свойства трапеции | Как решить задачу из пособия Балаян. 8кл+Скачать

Как найти углы трапеции | Свойства трапеции | Как решить задачу из пособия Балаян. 8кл+

Прямая, параллельная основаниям трапеции...Скачать

Прямая, параллельная основаниям трапеции...
Поделиться или сохранить к себе: