Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат
Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Длина вектора Как найти координаты векторов в трехмерной системе координатв пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы Как найти координаты векторов в трехмерной системе координати Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Произведение вектора на число:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Скалярное произведение векторов:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Косинус угла между векторами:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами Как найти координаты векторов в трехмерной системе координати Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат. Для этого нужны их координаты.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Запишем координаты векторов:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

и найдем косинус угла между векторами Как найти координаты векторов в трехмерной системе координати Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Координаты точек A, B и C найти легко:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Из прямоугольного треугольника AOS найдем Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Координаты вершины пирамиды: Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Найдем координаты векторов Как найти координаты векторов в трехмерной системе координати Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

и угол между ними:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Запишем координаты точек:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Найдем координаты векторов Как найти координаты векторов в трехмерной системе координати Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат, а затем угол между ними:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:Как построить точки в системе координат OXYZСкачать

Как построить точки в системе координат OXYZ

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

То есть A + C + D = 0.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координатКак найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Аналогично для точки K:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Получили систему из трех уравнений:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Решив систему, получим:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Вектор Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат— это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Как найти координаты векторов в трехмерной системе координатимеет вид:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор Как найти координаты векторов в трехмерной системе координатперпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Напишем уравнение плоскости AEF.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Берем уравнение плоскости Как найти координаты векторов в трехмерной системе координати по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координатКак найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF: Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Нормаль к плоскости AEF: Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Найдем угол между плоскостями:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор Как найти координаты векторов в трехмерной системе координатили, еще проще, вектор Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат.

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Координаты вектора Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат— тоже:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Получим:
Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Ответ: Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат— вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат— нормаль к плоскости α.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Находим координаты вектора Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат.

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат.

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Ответ: Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат, AD = Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат. Высота параллелепипеда AA1 = Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат. Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координатКак найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Решим эту систему. Выберем Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Тогда Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Трехмерное пространство: векторы, координаты

Еще из школьного курса алгебры и геометрии мы знаем о понятии трехмерного пространства. Если разобраться, сам термин «трехмерное пространство» определяется как система координат с тремя измерениями (это знают все). По сути, описать любой объемный объект можно при помощи длины, ширины и высоты в классическом понимании. Однако давайте, как говорится, копнем несколько глубже.

Видео:Прямоугольная система координат в пространстве. 11 класс.Скачать

Прямоугольная система координат в пространстве. 11 класс.

Что такое трехмерное пространство

Как уже стало ясно, понимание трехмерного пространства и объектов, способных существовать внутри него, определяется тремя основными понятиями. Правда, в случае с точкой это именно три значения, а в случае с прямыми, кривыми, ломаными линиями или объемными объектами соответствующих координат может быть больше.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

В данном случае все зависит именно от типа объекта и применяемой системы координат. Сегодня наиболее распространенной (классической) считается Декартова система, которую иногда еще называют прямоугольной. Она и некоторые другие разновидности будут рассмотрены несколько позже.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Кроме всего прочего, здесь нужно разграничивать абстрактные понятия (если можно так сказать, бесформенные) вроде точек, прямых или плоскостей и фигуры, обладающие конечными размерами или даже объемом. Для каждого из таких определений существуют и свои уравнения, описывающие их возможное положение в трехмерном пространстве. Но сейчас не об этом.

Видео:11 класс, 1 урок, Прямоугольная система координат в пространствеСкачать

11 класс, 1 урок, Прямоугольная система координат в пространстве

Понятие точки в трехмерном пространстве

Для начала определимся, что представляет собой точка в трехмерном пространстве. В общем-то, ее можно назвать некой основной единицей, определяющей любую плоскую или объемную фигуру, прямую, отрезок, вектор, плоскость и т. д.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Сама же точка характеризуется тремя основными координатами. Для них в прямоугольной системе применяются специальные направляющие, называемые осями X, Y и Z, причем первые две оси служат для выражения горизонтального положения объекта, а третья относится к вертикальному заданию координат. Естественно, для удобства выражения положения объекта относительно нулевых координат в системе приняты положительные и отрицательные значения. Однако же сегодня можно найти и другие системы.

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Разновидности систем координат

Как уже говорилось, прямоугольная система координат, созданная Декартом, сегодня является основной. Тем не менее в некоторых методиках задания местоположения объекта в трехмерном пространстве применяются и некоторые другие разновидности.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Наиболее известными считаются цилиндрическая и сферическая системы. Отличие от классической состоит в том, что при задании тех же трех величин, определяющих местоположение точки в трехмерном пространстве, одно из значений является угловым. Иными словами, в таких системах используется окружность, соответствующая углу в 360 градусов. Отсюда и специфичное задание координат, включающее такие элементы, как радиус, угол и образующая. Координаты в трехмерном пространстве (системе) такого типа подчиняются несколько другим закономерностям. Их задание в данном случае контролируется правилом правой руки: если совместить большой и указательный палец с осями X и Y, соответственно, остальные пальцы в изогнутом положении укажут на направление оси Z.

Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

Понятие прямой в трехмерном пространстве

Теперь несколько слов о том, что представляет собой прямая в трехмерном пространстве. Исходя из основного понятия прямой, это некая бесконечная линия, проведенная через точку или две, не считая множества точек, расположенных в последовательности, не изменяющей прямое прохождение линии через них.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Если посмотреть на прямую, проведенную через две точки в трехмерном пространстве, придется учитывать по три координаты обеих точек. То же самое относится к отрезкам и векторам. Последние определяют базис трехмерного пространства и его размерность.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Определение векторов и базиса трехмерного пространства

Как принято считать, в трехмерной системе координат может существовать три основных вектора, которые определяют базис. При этом базисов с соответствующими независимыми тремя векторами может быть бесчисленное множество.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Заметьте, это могут быть только три вектора, но вот троек векторов можно определить сколько угодно. Размерность пространства определяется количеством линейно-независимых векторов (в нашем случае – три). И пространство, в котором имеется конечное число таких векторов, называется конечномерным.

Видео:Координаты точки в трехмерном пространствеСкачать

Координаты точки в трехмерном пространстве

Зависимые и независимые векторы

Что касается определения зависимых и независимых векторов, линейно-независимыми принято считать векторы, являющиеся проекциями (например, векторы оси X, спроецированные на ось Y).

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Как уже понятно, любой четвертый вектор является зависимым (теория линейных пространств). А вот три независимых вектора в трехмерном пространстве в обязательном порядке не должны лежать в одной плоскости. Кроме того, если определять независимые векторы в трехмерном пространстве, они не могут являться, так сказать, один продолжением другого. Как уже понятно, в рассматриваемом нами случае с тремя измерениями, согласно общей теории, можно построить исключительно только тройки линейно-независимых векторов в определенной системе координат (без разницы, какого типа).

Видео:11 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

11 класс, 2 урок, Координаты вектора

Плоскость в трехмерном пространстве

Если рассматривать понятие плоскости, не вдаваясь в математические определения, для более простого понимания этого термина, такой объект можно рассматривать исключительно как двумерный. Иными словами, это бесконечная совокупность точек, у которых одна из координат является постоянной (константой).

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

К примеру, плоскостью можно назвать любое количество точек с разными координатами по осям X и Y, но одинаковыми координатами по оси Z. В любом случае одна из трехмерных координат остается неизменной. Однако это, так сказать, общий случай. В некоторых ситуациях трехмерное пространство может пересекаться плоскостью по всем осям.

Видео:Координаты в новом базисеСкачать

Координаты в новом базисе

Существует ли более трех измерений

Вопрос о том, сколько может существовать измерений, достаточно интересен. Как считается, мы живем не в трехмерном с классической точки зрения пространстве, а в четырехмерном. Кроме известных всем длины, ширины и высоты, такое пространство включает в себя еще и время существования объекта, причем время и пространство между собой взаимосвязаны достаточно сильно. Это доказал еще Эйнштейн в своей теории относительности, хотя это больше относится к физике, нежели к алгебре и геометрии.

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

Интересен и тот факт, что сегодня ученые уже доказали существование как минимум двенадцати измерений. Конечно, понять, что они собой представляют, сможет далеко не каждый, поскольку это относится скорее к некой абстрактной области, которая находится вне человеческого восприятия мира. Тем не менее факт остается фактом. И не зря же многие антропологи и историки утверждают, что наши пращуры могли иметь некие специфичные развитые органы чувств вроде третьего глаза, которые помогали воспринимать многомерную действительность, а не исключительно трехмерное пространство.

Кстати сказать, сегодня существует достаточно много мнений по поводу того, что экстрасенсорика тоже является одним из проявлений восприятия многомерного мира, и тому можно найти достаточно много подтверждений.

Заметьте, что современными базовыми уравнениями и теоремами описать многомерные пространства, отличающиеся от нашего четырехмерного мира, тоже не всегда представляется возможным. Да и наука в этой области относится скорее к области теорий и предположений, нежели к тому, что можно явно ощутить или, так сказать, потрогать или увидеть воочию. Тем не менее косвенные доказательства существования многомерных миров, в которых может существовать четыре и более измерений, сегодня ни у кого не вызывают сомнений.

Видео:Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

Заключение

В целом же, мы очень кратко рассмотрели основные понятия, относящиеся к трехмерному пространству и базовым определениям. Естественно, существует множество частных случаев, связанных с разными системами координат. К тому же мы постарались особо не лезть в математические дебри для объяснения основных терминов только для того, чтобы вопрос, связанный с ними, был понятен любому школьнику (так сказать, объяснение «на пальцах»).

Тем не менее, думается, даже из таких простых трактовок можно сделать вывод о математическом аспекте всех составляющих, входящих в базовый школьный курс алгебры и геометрии.

Видео:КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ решение задачСкачать

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ решение задач

Метод координат в пространстве

Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три:

Главная формула — косинус угла φ между векторами a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2):

Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

  • Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат, D = 0. А если не проходит, то D = 1.
  • Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = (A; B; C).
  • На первый взгляд, выглядит угрожающе, но достаточно немного практики — и все будет работать великолепно.

    Задача. Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).

    Решение. Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу:

    Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

    Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.

    Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0) — то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

    Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
    A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

    Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
    A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
    A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

    Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

    Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

    Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

    Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

    Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) — вот и все!

    Видео:Координаты вектора.Скачать

    Координаты вектора.

    Вычисление координат векторов

    А что, если в задаче нет векторов — есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Все просто: зная координаты точек — начала и конца вектора — можно вычислить координаты самого вектора.

    Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала.

    Эта теорема одинаково работает и на плоскости, и в пространстве. Выражение «вычесть координаты» означает, что из координаты x одной точки вычитается координата x другой, затем то же самое надо сделать с координатами y и z. Вот несколько примеров:

    Задача. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.

    Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
    AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

    Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем:
    AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

    Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:
    BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

    Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

    Обратите внимание на вычисление координат последнего вектора BC: очень многие ошибаются, когда работают с отрицательными числами. Это касается переменной y: у точки B координата y = − 1, а у точки C y = 3. Получаем именно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, как многие считают. Не допускайте таких глупых ошибок!

    Видео:Геометрия 11 класс (Урок№1 - Координаты в пространстве. Система координат.)Скачать

    Геометрия 11 класс (Урок№1 - Координаты в пространстве. Система координат.)

    Вычисление направляющих векторов для прямых

    Если вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Там только прямые да плоскости.

    Для начала разберемся с прямыми. Здесь все просто: на любой прямой найдутся хотя бы две различные точки и, наоборот, любые две различные точки задают единственную прямую.

    Кто-нибудь понял, что написано в предыдущем абзаце? Я и сам не понял, поэтому объясню проще: в задаче C2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый для прямой:

    Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

    Зачем нужен этот вектор? Дело в том, что — это угол между их направляющими векторами. Таким образом, мы переходим от непонятных прямых к конкретным векторам, координаты которых легко считаются. Насколько легко? Взгляните на примеры:

    Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведены прямые AC и BD1. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

    Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

    Поскольку длина ребер куба в условии не указана, положим AB = 1. Введем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными вдоль прямых AB, AD и AA1 соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1.

    Теперь найдем координаты направляющего вектора для прямой AC. Нам потребуются две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). Отсюда получаем координаты вектора AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) — это и есть направляющий вектор.

    Теперь разберемся с прямой BD1. На ней также есть две точки: B = (1; 0; 0) и D1 = (0; 1; 1). Получаем направляющий вектор BD1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

    Ответ: AC = (1; 1; 0); BD1 = (− 1; 1; 1)

    Задача. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проведены прямые AB1 и AC1. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

    Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

    Введем систему координат: начало в точке A, ось x совпадает с AB, ось z совпадает с AA1, ось y образует с осью x плоскость OXY, которая совпадает с плоскостью ABC.

    Для начала разберемся с прямой AB1. Тут все просто: у нас есть точки A = (0; 0; 0) и B1 = (1; 0; 1). Получаем направляющий вектор AB1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

    Теперь найдем направляющий вектор для AC1. Все то же самое — единственное отличие в том, что у точки C1 иррациональные координаты. Итак, A = (0; 0; 0), поэтому имеем:

    Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

    Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

    Небольшое, но очень важное замечание насчет последнего примера. Если начало вектора совпадает с началом координат, вычисления резко упрощаются: координаты вектора просто равны координатам конца. К сожалению, это верно лишь для векторов. Например, при работе с плоскостями присутствие на них начала координат только усложняет выкладки.

    Видео:Как найти координаты вектора?Скачать

    Как найти координаты вектора?

    Вычисление нормальных векторов для плоскостей

    Нормальные векторы — это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. По определению, нормальный вектор (нормаль) к плоскости — это вектор, перпендикулярный данной плоскости.

    Другими словами, — это вектор, перпендикулярный любому вектору в данной плоскости. Наверняка вы встречали такое определение — правда, вместо векторов речь шла о прямых. Однако чуть выше было показано, что в задаче C2 можно оперировать любым удобным объектом — хоть прямой, хоть вектором.

    Еще раз напомню, что всякая плоскость задается в пространстве уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — некоторые коэффициенты. Не умаляя общности решения, можно полагать D = 1, если плоскость не проходит через начало координат, или D = 0, если все-таки проходит. В любом случае, координаты нормального вектора к этой плоскости равны n = (A; B; C).

    Итак, плоскость тоже можно успешно заменить вектором — той самой нормалью. Всякая плоскость задается в пространстве тремя точками. Как найти уравнение плоскости (а следовательно — и нормали), мы уже обсуждали в самом начале статьи. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров:

    Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведено сечение A1BC1. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA1 соответственно.

    Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

    Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коэффициент D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки A1, B и C1, то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

    Подставим вместо x, y и z координаты точки A1 = (0; 0; 1). Имеем:
    A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

    Аналогично, для точек B = (1; 0; 0) и C1 = (1; 1; 1) получим уравнения:
    A · 1 + B · 0 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
    A · 1 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

    Но коэффициенты A = − 1 и C = − 1 нам уже известны, поэтому остается найти коэффициент B:
    B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

    Получаем уравнение плоскости: − A + B − C + 1 = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; − 1).

    Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведено сечение AA1C1C. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA1 соответственно.

    Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

    В данном случае плоскость проходит через начало координат, поэтому коэффициент D = 0, а уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz = 0. Поскольку плоскость проходит через точки A1 и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

    Подставим вместо x, y и z координаты точки A1 = (0; 0; 1). Имеем:
    A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;

    Аналогично, для точки C = (1; 1; 0) получим уравнение:
    A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

    Положим B = 1. Тогда A = − B = − 1, и уравнение всей плоскости имеет вид: − A + B = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; 0).

    Вообще говоря, в приведенных задачах надо составлять систему уравнений и решать ее. Получится три уравнения и три переменных, но во втором случае одна из них будет свободной, т.е. принимать произвольные значения. Именно поэтому мы вправе положить B = 1 — без ущерба для общности решения и правильности ответа.

    Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

    Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

    Координаты середины отрезка

    Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.

    Итак, пусть отрезок задан своими концами — точками A = (xa; ya; za) и B = (xb; yb; zb). Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:

    Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

    Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов.

    Задача. Единичный куб ABCDA1B1C1D1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A1B1. Найдите координаты этой точки.

    Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

    Поскольку точка K — середина отрезка A1B1, ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A1 = (0; 0; 1) и B1 = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

    Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

    Задача. Единичный куб ABCDA1B1C1D1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A1B1C1D1.

    Как найти координаты векторов в трехмерной системе координат

    Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A1L = C1L, т.е. точка L — это середина отрезка A1C1. Но A1 = (0; 0; 1), C1 = (1; 1; 1), поэтому имеем:

    🌟 Видео

    Прямоугольная система координат в пространстве. Практическая часть. 11 класс.Скачать

    Прямоугольная система координат в пространстве. Практическая часть.  11 класс.

    Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора. Видеоурок по геометрии 11 классСкачать

    Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора. Видеоурок по геометрии 11 класс
    Поделиться или сохранить к себе: