Пример №1 . Даны векторы ε1(2;1;3), ε2(3;-2;1), ε3(1;-3;-4), X(7;0;7). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.
Решение. Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить, образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.
Вычислим определитель матрицы:
E = |
|
∆ = 2*((-2)*(-4) — (-3)*1) — 3*(1*(-4) — (-3)*3) + 1*(1*1 — (-2)*3) = 14
Определитель матрицы равен ∆ =14
Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α1α2α3, что имеет место равенство:
X = ⓫ε1 + ⓬ε2 + ⓭ε3
Запишем данное равенство в координатной форме:
(7;0;7) = α(2;1;3) + α(3;-2;1) + α(1;-3;-4)
Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
(7;0;7) = (2α1;1α1;3α1😉 + (3α2;-2α2;1α2😉 + (1α3;-3α3;-4α3😉
(7;0;7) = (2α1 + 3α2 + 1α3;1α1 -2α2 -3α3;3α1 + 1α2 -4α3)
По свойству равенства векторов имеем:
2α1 + 3α2 + 1α3 = 7
1α1 -2α2 -3α3 = 0
3α1 + 1α2 -4α3 = 7
Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса или методом Крамера.
Ответ:
X = |
|
X = 2ε1 + ε2
В системе векторов a1, a2, a3, a4 найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.
Пример №2 . В системе векторов a1, a2, a3, a4 найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.
a1=(1;5;3), a2=(2;1;-1), a3=(4;2;1), a4=(17;13;4).
Видео:Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 1Скачать
Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3
Решение. Матрицей перехода от базиса e1, e2, e3 к базису . является матрица S = 2 -2 -5 . По теореме 4 (раздел 3.3):
Поэтому . Значит, нам нужно найти матрицу обратного перехода S-i. Примеры вычислений обратной матрицы есть в разделе 2.6.
Находим координаты x в базисе e1, e2, e3:
10. Доказать, что элементы u1 = (1,1,1), U2 = (1, 2, 3), U3 = (1, 4, 5) образуют базис в пространстве R 3 . Найти матрицу перехода от этого базиса к базису v1 = (1,1,1), V2 = (0,1,1), V3 = (0, 0,1). Какие координаты имеет вектор x = 2v1 + 3v2 — 2V3 в базисе u1, U2, U3?
Решение. Пространство R 3 трёхмерно, поэтому 3 вектора образуют базис, если они линейно независимы. Проверим линейную независимость u1, U2, U3 — как и в примерах выше. Допустим, что . Рассмотрим матрицу полученной системы уравнений:
Ранг матрицы равен 3, поэтому система имеет только нулевое решение: a1 = a2 = a3 = 0. Значит, u1, U2, U3 линейно независимы.
Для построения матрицы перехода S от базиса u1, u2, u3 к базису vi, V2, V3 разложим векторы v1, V2, V3 по базису
Видео:Координаты в новом базисеСкачать
Координаты вектора в данном базисе.
Дата добавления: 2015-08-06 ; просмотров: 9282 ; Нарушение авторских прав
Базисом векторного пространства называется такая упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов этой системы.
В трехмерном векторном пространстве базис состоит из трех векторов, который обычно обозначается так: <е1, е2, е3 >.
Базис называется ортонормированным, если длины всех базисных векторов равны единицы, и базисные векторы попарно перпендикулярны. Ортонормированный базис обычно обозначается так: <i, j, k>.
Координатами вектора m в базисе <е1, е2, е3 >называются коэффициенты разложения вектора m по векторам базиса, т.е. если m = хе1 + уе2 + zе3, то числа х, у, z — координаты вектора m. В этом случае будем записывать m(х, у, z).
Имеет место теорема о координатах линейной комбинации:
1.24. Даны векторы а(2, 3, -1), b (0,1,4), с(1,0,-3). Найти координаты векторов: а) 2а — b —2с,б)а — b —3с,в)а +2b +3с),г) а — b – с,
д) ( а + b), е) (а — 2 b + с).
ОТВЕТ. а) (2,5,0), б) (-1,2,4), в) (5,5,-2), г) (1,2,-2), д) (1,1,3), е) (1, ,-4)
ПРИМЕР 1.7
Даны векторы а(1,1,2), b (-2, 3 5), с(-4,1,1), d (0, -1, 3) Можно ли вектор dпредставить в виде линейной комбинации векторов а, b, с? Если да, то найти коэффициенты этой линейной комбинации.
Выясним, существуют ли такие числи х, у, z, что
d =ха +уb +z с.(1)
По теореме о координатах линейной комбинации векторов из равенства (1) получаем выражение для первой координаты вектора dчерез первые координаты векторов а, b, с, и аналогичные выражения для вторых и третьих координат
0 = х — 2у — 4 z (2)
Выясним, имеет ли эта система решение. Из (2) следует, что
Затем, подставляя (5) в (3) и (4), получаем:
Система, состоящая из уравнений (2), (3), (4), равносильна системе, состоящей из уравнений (5), (6), (7) . Ясно, что последняя система не имеет решений, следовательно, и данная система не имеет решений,. Поэтому вектор dнельзяпредставить в виде линейной комбинации векторов а, b, с. ■
1.25. Определить, какие из данных троек векторов линейно зависимы:
а) а(-3,0, 2), b (2, 1, -4), с(11, -2, -2); б) а(1, 0, 7), b (-1, 2, 4), с(3, 2, 1);
в) а(5, -1,4),b (3,-5, 2), с(-1,-13, -2).
ОТВЕТ.. а), с) линейно зависимы.
1.26. Представить вектор d как линейную комбинацию векторов а, b, с:
1)а(2,3,1), b (5, 7, 0), с(3, -2, 4), d (4, 12, -3);
2) а(5, -2, 0), b (0, -3, 4), с(-6, 0, 1), d (25, -22, 16);
3)а(3, 5, 6), b (2, -7, 1), с(12, 0, 6), d (0, 20, 18).
ОТВЕТ. 1) d = а + b + с, 2) d = 5а + 4b, 3) d = 4а – с.
1.27. Можно ли вектор d (1,1,1) представить в виде линейной комбинации векторов а(1,-1,0), b (2,2,1), с(0,-4,-1)?
ОТВЕТ.. Нет.
1.28. Даны векторы а(х, 3, 4), b (-1, 5, у).Существуют ли такие числа х и у, для которых система векторов <а, b >линейно зависима ?
ОТВЕТ. Да, х = — , у = .
ПРИМЕР 1.8
В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 К – середина ребра АА1, точка М лежит на ребре ВС и ВМ = ВС, О = А1С1 В1D1. Найти координаты вектора в базисе < , , > .
Так как координаты вектора в данном базисе это коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса, то данную задачу можно сформулировать так: выразить вектор через векторы , , ,поэтому будем действовать так же, как при решении ПРИМЕРА 1.3.
1) = + = + = 2 + , т.е.
=2 + . (1).
2) Выразим вектор через базисные векторы.
= + = — + .(2)
3) Выразим вектор через базисные векторы.
= + = = — – (3)
4) Подставим (2) и (3) в (1), получим
= 2(— + ) + (- – ) = 2– – .
Следовательно, первая координата вектора равна 2, вторая координата равна — , третья координата равна — , т.е. (2, — , — ).
ОТВЕТ. (2, — , — ).
1.29. АВСD – тетраэдр. М и К – точки пересечения медиан граней ВСD и АDС, N – середина АВ, Р ВС и ВР : РС = 1 :2. Найти координаты векторов , в базисе < , , > .
ОТВЕТ. ( , , ), ( , , 0), ( ,0, — ), (- , , ).
1.30. АВСD – тетраэдр. N и К середины ребер ВС и АС. Найти координаты векторов и в базисе < > .
ОТВЕТ. (-1,2,-2), (2,-4,2).
1.31. В тетраэдре АВСD М- середина ВС, а N – точка пересечения медиан грани АDС. Найти координаты векторов и в базисе < , , >.
ОТВЕТ. (-1,-1,2), (- , , ).
1.32. В тетраэдре АВСD N — середина ВС, а М и К – точки пересечения медиан граней ВСD и АВD. Найти координаты векторов и в базисе < , , >.
ОТВЕТ. (- , 1, ), (-1, , ).
🌟 Видео
Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать
Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 3Скачать
Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать
Базис. Разложение вектора по базису.Скачать
Решение, убедиться что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 9Скачать
Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать
Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать
Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 2Скачать
Решение убедиться что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 10Скачать
Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать
Образуют ли данные векторы базисСкачать
Как найти координаты вектора?Скачать
Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать
Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать
Базис и матрица перехода. Координаты вектора в разных базисах.Скачать
Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Матрица переходаСкачать
Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать