Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3

Пример №1 . Даны векторы ε₁(2;1;3), ε₂(3;-2;1), ε₃(1;-3;-4), X(7;0;7). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.
Решение. Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить, образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.
Вычислим определитель матрицы:

∆ = 2*((-2)*(-4) — (-3)*1) — 3*(1*(-4) — (-3)*3) + 1*(1*1 — (-2)*3) = 14
Определитель матрицы равен ∆ =14
Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α₁α₂α₃, что имеет место равенство:
X = &#945₁ε₁ + &#945₂ε₂ + &#945₃ε₃
Запишем данное равенство в координатной форме:
(7;0;7) = α(2;1;3) + α(3;-2;1) + α(1;-3;-4)
Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
(7;0;7) = (2α₁;1α₁;3α₁😉 + (3α₂;-2α₂;1α₂😉 + (1α₃;-3α₃;-4α₃😉
(7;0;7) = (2α₁ + 3α₂ + 1α₃;1α₁ -2α₂ -3α₃;3α₁ + 1α₂ -4α₃)
По свойству равенства векторов имеем:
2α₁ + 3α₂ + 1α₃ = 7
1α₁ -2α₂ -3α₃ = 0
3α₁ + 1α₂ -4α₃ = 7
Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса или методом Крамера.
Ответ:

X = 2ε₁ + ε₂

В системе векторов a₁, a₂, a₃, a₄ найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.

Пример №2 . В системе векторов a₁, a₂, a₃, a₄ найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.
a₁=(1;5;3), a₂=(2;1;-1), a₃=(4;2;1), a₄=(17;13;4).

Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3

Решение. Матрицей перехода от базиса e1, e2, e3 к базису . является матрица S = 2 -2 -5 . По теореме 4 (раздел 3.3):

Поэтому . Значит, нам нужно найти матрицу обратного перехода S-i. Примеры вычислений обратной матрицы есть в разделе 2.6.

Находим координаты x в базисе e1, e2, e3:

10. Доказать, что элементы u1 = (1,1,1), U2 = (1, 2, 3), U3 = (1, 4, 5) образуют базис в пространстве R 3 . Найти матрицу перехода от этого базиса к базису v1 = (1,1,1), V2 = (0,1,1), V3 = (0, 0,1). Какие координаты имеет вектор x = 2v1 + 3v2 — 2V3 в базисе u1, U2, U3?

Решение. Пространство R 3 трёхмерно, поэтому 3 вектора образуют базис, если они линейно независимы. Проверим линейную независимость u1, U2, U3 — как и в примерах выше. Допустим, что . Рассмотрим матрицу полученной системы уравнений:

Ранг матрицы равен 3, поэтому система имеет только нулевое решение: a1 = a2 = a3 = 0. Значит, u1, U2, U3 линейно независимы.

Для построения матрицы перехода S от базиса u1, u2, u3 к базису vi, V2, V3 разложим векторы v1, V2, V3 по базису

Координаты вектора в данном базисе.

Дата добавления: 2015-08-06 ; просмотров: 9282 ; Нарушение авторских прав

Базисом векторного пространства называется такая упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов этой системы.

В трехмерном векторном пространстве базис состоит из трех векторов, который обычно обозначается так: <е₁, е₂, е₃ >.

Базис называется ортонормированным, если длины всех базисных векторов равны единицы, и базисные векторы попарно перпендикулярны. Ортонормированный базис обычно обозначается так: <i, j, k>.

Координатами вектора m в базисе <е₁, е₂, е₃ >называются коэффициенты разложения вектора m по векторам базиса, т.е. если m = хе₁ + уе₂ + zе₃, то числа х, у, z — координаты вектора m. В этом случае будем записывать m(х, у, z).

Имеет место теорема о координатах линейной комбинации:

1.24. Даны векторы а(2, 3, -1), b (0,1,4), с(1,0,-3). Найти координаты векторов: а) 2а — b —2с,б)а — b —3с,в)а +2b +3с),г) а — b – с,

д) ( а + b), е) (а — 2 b + с).

ОТВЕТ. а) (2,5,0), б) (-1,2,4), в) (5,5,-2), г) (1,2,-2), д) (1,1,3), е) (1, ,-4)

ПРИМЕР 1.7

Даны векторы а(1,1,2), b (-2, 3 5), с(-4,1,1), d (0, -1, 3) Можно ли вектор dпредставить в виде линейной комбинации векторов а, b, с? Если да, то найти коэффициенты этой линейной комбинации.

Выясним, существуют ли такие числи х, у, z, что

d =ха +уb +z с.(1)

По теореме о координатах линейной комбинации векторов из равенства (1) получаем выражение для первой координаты вектора dчерез первые координаты векторов а, b, с, и аналогичные выражения для вторых и третьих координат

0 = х — 2у — 4 z (2)

Выясним, имеет ли эта система решение. Из (2) следует, что

Затем, подставляя (5) в (3) и (4), получаем:

Система, состоящая из уравнений (2), (3), (4), равносильна системе, состоящей из уравнений (5), (6), (7) . Ясно, что последняя система не имеет решений, следовательно, и данная система не имеет решений,. Поэтому вектор dнельзяпредставить в виде линейной комбинации векторов а, b, с. ■

1.25. Определить, какие из данных троек векторов линейно зависимы:

а) а(-3,0, 2), b (2, 1, -4), с(11, -2, -2); б) а(1, 0, 7), b (-1, 2, 4), с(3, 2, 1);

в) а(5, -1,4),b (3,-5, 2), с(-1,-13, -2).

ОТВЕТ.. а), с) линейно зависимы.

1.26. Представить вектор d как линейную комбинацию векторов а, b, с:

1)а(2,3,1), b (5, 7, 0), с(3, -2, 4), d (4, 12, -3);

2) а(5, -2, 0), b (0, -3, 4), с(-6, 0, 1), d (25, -22, 16);

3)а(3, 5, 6), b (2, -7, 1), с(12, 0, 6), d (0, 20, 18).

ОТВЕТ. 1) d = а + b + с, 2) d = 5а + 4b, 3) d = 4а – с.

1.27. Можно ли вектор d (1,1,1) представить в виде линейной комбинации векторов а(1,-1,0), b (2,2,1), с(0,-4,-1)?

ОТВЕТ.. Нет.

1.28. Даны векторы а(х, 3, 4), b (-1, 5, у).Существуют ли такие числа х и у, для которых система векторов <а, b >линейно зависима ?

ОТВЕТ. Да, х = — , у = .

ПРИМЕР 1.8

В параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ К – середина ребра АА₁, точка М лежит на ребре ВС и ВМ = ВС, О = А₁С₁ В₁D₁. Найти координаты вектора в базисе < , , > .

Так как координаты вектора в данном базисе это коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса, то данную задачу можно сформулировать так: выразить вектор через векторы , , ,поэтому будем действовать так же, как при решении ПРИМЕРА 1.3.

1) = + = + = 2 + , т.е.

=2 + . (1).

2) Выразим вектор через базисные векторы.

= + = — + .(2)

3) Выразим вектор через базисные векторы.

= + = = — – (3)

4) Подставим (2) и (3) в (1), получим

= 2(— + ) + (- – ) = 2– – .

Следовательно, первая координата вектора равна 2, вторая координата равна — , третья координата равна — , т.е. (2, — , — ).

ОТВЕТ. (2, — , — ).

1.29. АВСD – тетраэдр. М и К – точки пересечения медиан граней ВСD и АDС, N – середина АВ, Р ВС и ВР : РС = 1 :2. Найти координаты векторов , в базисе < , , > .

ОТВЕТ. ( , , ), ( , , 0), ( ,0, — ), (- , , ).

1.30. АВСD – тетраэдр. N и К середины ребер ВС и АС. Найти координаты векторов и в базисе < > .

ОТВЕТ. (-1,2,-2), (2,-4,2).

1.31. В тетраэдре АВСD М- середина ВС, а N – точка пересечения медиан грани АDС. Найти координаты векторов и в базисе < , , >.

ОТВЕТ. (-1,-1,2), (- , , ).

1.32. В тетраэдре АВСD N — середина ВС, а М и К – точки пересечения медиан граней ВСD и АВD. Найти координаты векторов и в базисе < , , >.

ОТВЕТ. (- , 1, ), (-1, , ).