Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3

Координаты вектора в базисе

Пример №1 . Даны векторы ε1(2;1;3), ε2(3;-2;1), ε3(1;-3;-4), X(7;0;7). Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора X в этом базисе.
Решение. Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить, образуют ли векторы базис. Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор X нельзя разложить по данному базису.
Вычислим определитель матрицы:

E =
213
3-21
1-3-4

∆ = 2*((-2)*(-4) — (-3)*1) — 3*(1*(-4) — (-3)*3) + 1*(1*1 — (-2)*3) = 14
Определитель матрицы равен ∆ =14
Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор X можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α1α2α3, что имеет место равенство:
X = &#9451ε1 + &#9452ε2 + &#9453ε3
Запишем данное равенство в координатной форме:
(7;0;7) = α(2;1;3) + α(3;-2;1) + α(1;-3;-4)
Используя свойства векторов, получим следующее равенство:
(7;0;7) = (2α1;1α1;3α1😉 + (3α2;-2α2;1α2😉 + (1α3;-3α3;-4α3😉
(7;0;7) = (2α1 + 3α2 + 1α3;1α1 -2α2 -3α3;3α1 + 1α2 -4α3)
По свойству равенства векторов имеем:
1 + 3α2 + 1α3 = 7
1 -2α2 -3α3 = 0
1 + 1α2 -4α3 = 7
Решаем полученную систему уравнений методом Гаусса или методом Крамера.
Ответ:

X =
2
1
0

X = 2ε1 + ε2

В системе векторов a1, a2, a3, a4 найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.

Пример №2 . В системе векторов a1, a2, a3, a4 найти любую подсистему векторов, которые образуют базис, разложить векторы по базису, перейти к другому базису, найти коэффициенты разложения векторов во втором базисе; в обоих случаях определить обратные матрицы, соответствующие векторам базиса. Правильность вычисления в каждом случае проверить с помощью умножения вектора слева на матрицу, обратную матрице вектора базиса.
a1=(1;5;3), a2=(2;1;-1), a3=(4;2;1), a4=(17;13;4).

Видео:Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 1Скачать

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 1

Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3

Решение. Матрицей перехода от базиса e1, e2, e3 к базису . является матрица S = 2 -2 -5 . По теореме 4 (раздел 3.3):

Поэтому . Значит, нам нужно найти матрицу обратного перехода S-i. Примеры вычислений обратной матрицы есть в разделе 2.6.

Находим координаты x в базисе e1, e2, e3:

10. Доказать, что элементы u1 = (1,1,1), U2 = (1, 2, 3), U3 = (1, 4, 5) образуют базис в пространстве R 3 . Найти матрицу перехода от этого базиса к базису v1 = (1,1,1), V2 = (0,1,1), V3 = (0, 0,1). Какие координаты имеет вектор x = 2v1 + 3v2 — 2V3 в базисе u1, U2, U3?

Решение. Пространство R 3 трёхмерно, поэтому 3 вектора образуют базис, если они линейно независимы. Проверим линейную независимость u1, U2, U3 — как и в примерах выше. Допустим, что . Рассмотрим матрицу полученной системы уравнений:

Ранг матрицы равен 3, поэтому система имеет только нулевое решение: a1 = a2 = a3 = 0. Значит, u1, U2, U3 линейно независимы.

Для построения матрицы перехода S от базиса u1, u2, u3 к базису vi, V2, V3 разложим векторы v1, V2, V3 по базису

Видео:Координаты в новом базисеСкачать

Координаты в новом базисе

Координаты вектора в данном базисе.

Дата добавления: 2015-08-06 ; просмотров: 9282 ; Нарушение авторских прав

Базисом векторного пространства называется такая упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов этой системы.

В трехмерном векторном пространстве базис состоит из трех векторов, который обычно обозначается так: <е1, е2, е3 >.

Базис называется ортонормированным, если длины всех базисных векторов равны единицы, и базисные векторы попарно перпендикулярны. Ортонормированный базис обычно обозначается так: <i, j, k>.

Координатами вектора m в базисе <е1, е2, е3 >называются коэффициенты разложения вектора m по векторам базиса, т.е. если m = хе1 + уе2 + zе3, то числа х, у, z — координаты вектора m. В этом случае будем записывать m(х, у, z).

Имеет место теорема о координатах линейной комбинации:

1.24. Даны векторы а(2, 3, -1), b (0,1,4), с(1,0,-3). Найти координаты векторов: а) 2аb —2с,б)а — b —3с,в)а +2b +3с),г) а — b – с,

д) Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3( а + b), е) Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3(а — 2 b + с).

ОТВЕТ. а) (2,5,0), б) (-1,2,4), в) (5,5,-2), г) (1,2,-2), д) (1,1,3), е) (1, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3,-4)

ПРИМЕР 1.7

Даны векторы а(1,1,2), b (-2, 3 5), с(-4,1,1), d (0, -1, 3) Можно ли вектор dпредставить в виде линейной комбинации векторов а, b, с? Если да, то найти коэффициенты этой линейной комбинации.

Выясним, существуют ли такие числи х, у, z, что

d =ха +уb +z с.(1)

По теореме о координатах линейной комбинации векторов из равенства (1) получаем выражение для первой координаты вектора dчерез первые координаты векторов а, b, с, и аналогичные выражения для вторых и третьих координат

0 = х — 2у — 4 z (2)

Выясним, имеет ли эта система решение. Из (2) следует, что

Затем, подставляя (5) в (3) и (4), получаем:

Система, состоящая из уравнений (2), (3), (4), равносильна системе, состоящей из уравнений (5), (6), (7) . Ясно, что последняя система не имеет решений, следовательно, и данная система не имеет решений,. Поэтому вектор dнельзяпредставить в виде линейной комбинации векторов а, b, с.

1.25. Определить, какие из данных троек векторов линейно зависимы:

а) а(-3,0, 2), b (2, 1, -4), с(11, -2, -2); б) а(1, 0, 7), b (-1, 2, 4), с(3, 2, 1);

в) а(5, -1,4),b (3,-5, 2), с(-1,-13, -2).

ОТВЕТ.. а), с) линейно зависимы.

1.26. Представить вектор d как линейную комбинацию векторов а, b, с:

1)а(2,3,1), b (5, 7, 0), с(3, -2, 4), d (4, 12, -3);

2) а(5, -2, 0), b (0, -3, 4), с(-6, 0, 1), d (25, -22, 16);

3)а(3, 5, 6), b (2, -7, 1), с(12, 0, 6), d (0, 20, 18).

ОТВЕТ. 1) d = а + b + с, 2) d = 5а + 4b, 3) d = 4ас.

1.27. Можно ли вектор d (1,1,1) представить в виде линейной комбинации векторов а(1,-1,0), b (2,2,1), с(0,-4,-1)?

ОТВЕТ.. Нет.

1.28. Даны векторы а(х, 3, 4), b (-1, 5, у).Существуют ли такие числа х и у, для которых система векторов <а, b >линейно зависима ?

ОТВЕТ. Да, х = — Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, у = Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3.

ПРИМЕР 1.8

В параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 К – середина ребра АА1, точка М лежит на ребре ВС и ВМ = Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3ВС, О = А1С1 Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3В1D1. Найти координаты вектора Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3в базисе < Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3> .

Так как координаты вектора в данном базисе это коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса, то данную задачу можно сформулировать так: выразить вектор Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3через векторы Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3,поэтому будем действовать так же, как при решении ПРИМЕРА 1.3.

Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3

1) Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3= Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3+ Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3= Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3+ Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3 Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3= 2 Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3+ Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3 Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, т.е.

Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3=2 Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3+ Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3 Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3. (1).

2) Выразим вектор Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3через базисные векторы.

Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3= Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3+ Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3= — Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3+ Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3.(2)

3) Выразим вектор Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3через базисные векторы.

Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3= Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3+ Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3= Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3= — Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3 Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3(3)

4) Подставим (2) и (3) в (1), получим

Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3= 2(Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3+ Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3) + Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3(- Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3 Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3) = 2Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3 Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3.

Следовательно, первая координата вектора Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3равна 2, вторая координата равна — Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, третья координата равна — Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, т.е. Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3(2, — Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, — Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3).

ОТВЕТ. Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3(2, — Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, — Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3).

1.29. АВСD – тетраэдр. М и К – точки пересечения медиан граней ВСD и АDС, N – середина АВ, Р Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3ВС и ВР : РС = 1 :2. Найти координаты векторов Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3в базисе < Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3> .

ОТВЕТ. Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3( Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3), Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3( Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, 0), Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3( Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3,0, — Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3), Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3(- Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3).

1.30. АВСD – тетраэдр. N и К середины ребер ВС и АС. Найти координаты векторов Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3и Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3в базисе < Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3> .

ОТВЕТ. Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3(-1,2,-2), Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3(2,-4,2).

1.31. В тетраэдре АВСD М- середина ВС, а N – точка пересечения медиан грани АDС. Найти координаты векторов Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3и Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3в базисе < Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3>.

ОТВЕТ. Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3(-1,-1,2), Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3(- Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3).

1.32. В тетраэдре АВСD N — середина ВС, а М и К – точки пересечения медиан граней ВСD и АВD. Найти координаты векторов Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3и Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3в базисе < Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3>.

ОТВЕТ. Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3(- Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, 1, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3), Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3(-1, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3, Как найти координаты вектора в базисе e1 e2 e3).

🌟 Видео

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 3Скачать

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 3

Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Базис. Разложение вектора по базису.Скачать

Базис. Разложение вектора по базису.

Решение, убедиться что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 9Скачать

Решение, убедиться что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 9

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 2Скачать

Решение, показать, что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 2

Решение убедиться что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 10Скачать

Решение убедиться что векторы e1, е2, е3 образуют базис и найти в нем координаты вектора а пример 10

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1

Образуют ли данные векторы базисСкачать

Образуют ли данные векторы базис

Как найти координаты вектора?Скачать

Как найти координаты вектора?

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. Базис

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Базис и матрица перехода. Координаты вектора в разных базисах.Скачать

Базис и матрица перехода. Координаты вектора в разных базисах.

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

Матрица переходаСкачать

Матрица перехода

Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.
Поделиться или сохранить к себе: