Инструкция
1
Аналитически окружность задается уравнением вида (x-x0)²+(y-y0)²=R², где x0 и y0 − координаты центра окружности, R − ее радиус. Итак, центр окружности (x0;y0) здесь задан в явном виде.
2
Пример. Установите центр фигуры, заданной в декартовой системе координат уравнением (x-2)²+(y-5)²=25.
Решение. Данное уравнение является уравнением окружности. Ее центр имеет координаты (2;5). Радиус такой окружности равен 5.
3
Уравнение x²+y²=R² соответствует окружности с центром в начале координат, то есть, в точке (0;0). Уравнение (x-x0)²+y²=R² означает, что центр окружности имеет координаты (x0;0) и лежит на оси абсцисс. Вид уравнения x²+(y-y0)²=R² говорит о расположении центра с координатами (0;y0) на оси ординат.
4
Общее уравнение окружности в аналитической геометрии запишется как: x²+y²+Ax+By+C=0. Чтобы привести такое уравнение к выше обозначенному виду, надо сгруппировать члены и выделить полные квадраты: [x²+2(A/2)x+(A/2)²]+[y²+2(B/2)y+(B/2)²]+C-(A/2)²-(B/2)²=0. Для выделения полных квадратов, как можно заметить, требуется добавлять дополнительные величины: (A/2)² и (B/2)². Чтобы знак равенства сохранялся, эти же величины надо вычесть. Прибавление и вычитание одного и того же числа не меняет уравнения.
5
Таким образом, получается: [x+(A/2)]²+[y+(B/2)]²=(A/2)²+(B/2)²-C. Из этого уравнения уже видно, что x0=-A/2, y0=-B/2, R=√[(A/2)²+(B/2)²-C]. Кстати, выражение для радиуса можно упростить. Домножьте обе части равенства R=√[(A/2)²+(B/2)²-C] на 2. Тогда: 2R=√[A²+B²-4C]. Отсюда R=1/2·√[A²+B²-4C].
6
Окружность не может быть графиком функции в декартовой системе координат, так как, по определению, в функции каждому x соответствует единственное значение y, а для окружности таких «игреков» будет два. Чтобы убедиться в этом, проведите перпендикуляр к оси Ox, пересекающий окружность. Вы увидите, что точек пересечения две.
7
Но окружность можно представить как объединение двух функций: y=y0±√[R²-(x-x0)²]. Здесь x0 и y0, соответственно, представляют собой искомые координаты центра окружности. При совпадении центра окружности с началом координат объединение функций принимает вид: y=√[R²-x²].
- Формула окружности в системе координат
- Числовая ось
- Прямоугольная декартова система координат на плоскости
- Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
- Уравнение окружности на координатной плоскости
- Окружность на координатной плоскости
- Окружность радиуса R с центром в начале координат представляется уравнением:
- Как найти радиус и центр окружности
- 📽️ Видео
Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать
Формула окружности в системе координат
Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.
Если точка С — центр окружности, R — ее радиус, а М — произвольная точка окружности, то по определению окружности
Равенство (1) есть уравнение окружности радиуса R с центром в точке С.
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат (рис. 104) и точка С(а; b) — центр окружности радиуса R. Пусть М(х; у) — произвольная точка этой окружности.
Так как |СМ| = ( sqrt ), то уравнение (1) можно записать так:
(x — a) 2 + (у — b) 2 = R 2 (2)
Уравнение (2) называют общим уравнением окружности или уравнением окружности радиуса R с центром в точке (а; b). Например, уравнение
есть уравнение окружности радиуса R = 5 с центром в точке (1; —3).
Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (2) принимает вид
Уравнение (3) называют каноническим уравнением окружности.
Задача 1. Написать уравнение окружности радиуса R = 7 с центром в начале координат.
Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение (3) получим
Задача 2. Написать уравнение окружности радиуса R = 9 с центром в точке С(3; —6).
Подставив значение координат точки С и значение радиуса в формулу (2), получим
(х — 3) 2 + (у — (—6)) 2 = 81 или (х — 3) 2 + (у + 6) 2 = 81.
Задача 3. Найти центр и радиус окружности
Сравнивая данное уравнение с общим уравнением окружности (2), видим, что а = —3, b = 5, R = 10. Следовательно, С(—3; 5), R = 10.
Задача 4. Доказать, что уравнение
является уравнением окружности. Найти ее центр и радиус.
Преобразуем левую часть данного уравнения:
Это уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке (—2; 1); радиус окружности равен 3.
Задача 5. Написать уравнение окружности с центром в точке С(—1; —1), касающейся прямой АВ, если A (2; —1), B(— 1; 3).
Напишем уравнение прямой АВ:
или 4х + 3y —5 = 0.
Так как окружность касается данной прямой, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой. Для отыскания радиуса необходимо найти расстояние от точки С(—1; —1) — центра окружности до прямой 4х + 3y —5 = 0:
Напишем уравнение искомой окружности
Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность x 2 + у 2 = R 2 . Рассмотрим ее произвольную точку М(х; у) (рис. 105).
Пусть радиус-вектор OM > точки М образует угол величины t с положительным направлением оси Ох, тогда абсцисса и ордината точки М изменяются в зависимости от t
(0 2 = 3 cos 2 t, у 2 = 3 sin 2 t. Складывая эти равенства почленно, получаем
Числовая ось |
Прямоугольная декартова система координат на плоскости |
Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости |
Уравнение окружности на координатной плоскости |
Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать
Числовая ось
Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление
указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.
Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .
Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .
Видео:Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).
Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.
Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA1 и AA2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).
Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A2 на числовой оси Oy .
Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).
Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .
Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).
Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.
Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .
Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.
Видео:начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать
Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости
вычисляется по формуле
Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.
| A1A2| 2 = = ( x2 – x1) 2 + ( y2 – y1) 2 . | (1) |
что и требовалось доказать.
Видео:9 класс, 11 урок, Формулы для вычисления координат точкиСкачать
Уравнение окружности на координатной плоскости
Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:
Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A (x ; y ) .
Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид
Определение: замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра О), лежащей в той же плоскости, что и кривая.
Определения связанные с окружностью
Хорда: отрезок, соединяющий две точки окружности.
Диаметр: хорда, проходящая через центр окружности. Диаметром окружности также называют длину этой хорды.
Пи ( ): Число 3, 141 592 653 589 793 . , равное отношению длины окружности к диаметру.
Радиус: отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо ее точкой (а так же длина этого отрезка).
Сектор круга: фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую они опираются.
Касательная к окружности: прямая, перпендикулярная радиусу окружности, проведенная в точку касания.
Диаметр = 2 x радиус окружности
Длина окружности = x диаметр = 2 x радиус
Площадь круга :
площадь = r 2
Длина дуги окружности: (с центральным углом )
если выражен в градусах, то длина = x ( /180) x r
если выражен в радианах, то длина = r x
Площадь сектора окружности: (с центральным углом q )
если выражен в градусах, то площадь = ( /360) x r 2
если выражен в радианах, то площадь = ( /2) x r 2
Уравнение окружности: (в декартовых координатах)
для окружности с центром в точке (x , y ) и радиусом ( r ):
Уравнение окружности: (в полярных координатах)
для окружности с центром в точке (0, 0): r ( ) = радиус
для окружности с центром с полярными координатами: ( c , a ) и радиусом a :
r 2 – 2 cr cos ( – a ) + c 2 = a 2
Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать
Окружность на координатной плоскости
Окружность на плоскости — это множество точек на плоскости равноудаленных от точки центра. На рисунке данная точка обозначена C.
Видео:Алгебра 10 класс. 20 сентября. Числовая окружность #6 координаты точекСкачать
Окружность радиуса R с центром в начале координат представляется уравнением:
Окружность радиуса R с центром в точке C(a;b) представляется уравнением:
Расстояние от центра окружности С(a;b) до точки M(x;y) называется радиусом окружности R (на рисунке красная линия ).
Это уравнение можно записать в виде:
Если уравнение помножить на любое число A, то получим
Примечание
Окружность относится к линии второго порядка, так как представляется уравнением второй степени.
Необходимые условия для этого:
1. Отсутствие в уравнение второй степени члена с произведением xy;
2. Коэффициенты при x 2 и y 2 были равны в уравнение вида:
3. Если выполняется неравенство
Видео:Уравнение окружности (1)Скачать
Как найти радиус и центр окружности
Уравнение Ax 2 +Bx+Ay 2 +Cy+D=0 если оно удовлетворяет примечаниям (1, 2 и 3), то тогда (a;b) и радиус R окружности можно найти по формулам:
Пример 1
Уравнение 5x 2 -10x+5y 2 +20y-20=0
Здесь
A=5, B=-10, C=20, D=-20
Оно удовлетворяет примечаниям 1, 2 и выполняется неравенство
Решая, получаем что центр есть (1;-2), а радиус R=3
Анимационный график окружности
Пример 2
Уравнение второй степени x 2 +4xy+y 2 =1 не является окружностью, так как в нём есть член 4xy.
Пример 3
Уравнение второй степени 4x 2 +9y 2 =36 не представляет окружность, так как в нём коэффициенты при x 2 и y 2 не равны.
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 4.3 / 5. Количество оценок: 4
📽️ Видео
9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать
Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать
Coordinates on Circle - Координаты точек окружностиСкачать
Найти координаты точки единичной окружности полученной при повороте точки Ро(1;0) на угол π, 450°...Скачать
Уравнение окружности и формула расстояния между точками на плоскостиСкачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Точки на числовой окружностиСкачать
Найти центр и радиус окружностиСкачать
Математика это не ИсламСкачать