Теорема 1. Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на две отрезки, пропорциональные сторонам, прилежащим к данной вершине. То есть если биссектриса при вершине A делит в точке D сторону BC на отрезки BD и CD (Рис.1), то имеет место следующее соотношение:
 | (1) |
 |
Доказательство (метод площадей 1). Из вершины A опущена биссектриса AD. Построим вершину треугольника AH. Найдем площади треугольников ABD и ACD:
 , | (3) |
 . | (4) |
Построим следующее соотношение
 . | (5) |
С другой стороны, площадь треугольников ABD и ACD можно найти используя следующие формулы:
 . | (6) |
 . | (7) |
Построим следующее соотношение используя формулы (6) и (7):
 . | (8) |
Из формул (5) и (8) получим соотношение (1).
Доказательство (метод площадей 2). С одной стороны, аналогично вышеизложенному имеем соотношение (5). Далее из точки D проведем вершины L и M для треугольников ABD и ACD (Рис.2).
 |
Тогда площади треугольников ABD и ACD можно найти из формул:
 , | (9) |
 . | (10) |
Построим следующее соотношение
 . | (11) |
Из формул (5) и (11) получим соотношение (1).
Доказательство (через теорему синусов). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.3):
 |
Применяя теорему синусов для треугольников ABD и ACD можем записать:
 , | (12) |
 . | (13) |
Поделив (12) на (13) и учитывая, что ( small sin(180°-delta)=sin delta , ) (см. статью Формулы приведения тригонометрических функций онлайн) получим равенство (1).
Доказательство (через подобие треугольников). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.4). Проведем перпендикуляры из вершин B и C на луч AD и обозначим точки пересечения через L и K.
 |
Рассмотрим треугольники ABL и ACK. Эти треугольники подобны по двум углам (( small ∠ ALB= ∠ AKC ,;; ∠ BAL= ∠ CAK ) ). Тогда имеем:
 | (14) |
Рассмотрим, далее, треугольники BLD и CKD. Они также подобны поскольку ( small ∠ BLD= ∠ CKD ,) а углы BDL и CDK равны так как они вертикальные. Тогда имеет место следующее соотношение:
 | (15) |
Из равенств (14) и (15) получаем:
 . |
Пример. Даны стороны треугольника ABC: AB=18, AC=6, BC=20. Найти отрезки, полученные делением биссектрисей большой стороны треугольника.
Решение. Поскольку напротив самой большой стороны треугольника находится вершина A, то бисскетриса AD делит сторону BC на отрезки BD и CD. Тогда имеем:
 . | (16) |
Обозначим BD=x. Тогда CD=BC−x=20−x. Подставляя данные в уравнение (16), получим:
 |
 . | (17) |
Методом перекресного умножения упростим (17) и решим:
Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать
Свойство биссектрисы треугольника
Рассмотрим свойство биссектрисы треугольника с доказательством и задачу на применение свойства.
Теорема (Свойство биссектрисы треугольника)
Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:
Дано: ∆АВС, АР — биссектриса.
I. Если АС=АВ, то биссектриса АР является также медианой, СР=ВР, и
1) Опустим перпендикуляры BN и CF на луч AP.
2) Прямоугольные треугольники ABN и ACF подобны по острому углу (∠BAP=∠CAP, так как AP — биссектриса ∠BAC (по условию)), следовательно,
3) Прямоугольные треугольники BNP и CFP подобны по острому углу (∠BPN=∠CPF (как вертикальные)), следовательно,
Если средние члены пропорции поменять местами, пропорция останется верной, поэтому
Что и требовалось доказать.
Стороны треугольника равны 10 см, 11 см и 12 см. Найти отрезки, на которые делит биссектриса треугольника среднюю сторону.
Дано: AC=10 см, BC=11 см, AB=12 см, AP = биссектриса.
По свойству биссектрисы треугольника:
Пусть CP=x см, тогда BP=11-x см:
откуда по основному свойству пропорции
Ответ: 5 см, 6 см.
Видео:№535. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки,Скачать
4 Comments
Интересный сайт. Очень полезный материал по геометрии. Вот только чертежи мелковаты, нужно бы сделать по-крупнее или сделать возможность увеличения. Автору спасибо за грандиозный труд.
Спасибо, Сергей! Чертежи делались не очень крупными, чтобы не увеличивать время загрузки. Планов еще много. Жаль, что в сутках только 24 часа)).
Вопрос: я кое-где прочитал, что это соотношение меньше еденицы, это так? Если да, то почему?
Извините за беспокойство, я уже понял, почему, а, вернее, то был частный случай.
Видео:8 класс, 19 урок, Пропорциональные отрезкиСкачать
Определение и свойства биссектрисы угла треугольника
В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.
Видео:11 класс, 46 урок, Теорема о биссектрисе треугольникаСкачать
Определение биссектрисы угла треугольника
Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.
Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.
Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.
Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.
Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать
Свойства биссектрисы треугольника
Свойство 1 (теорема о биссектрисе)
Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):
Свойство 2
Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.
Свойство 3
Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).
Свойство 4
Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):
BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC
Свойство 5
Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.
- CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
- CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
- ∠DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать
Пример задачи
Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.
Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.
Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.
Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):
Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29
Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.
Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.
💡 Видео
Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
ТЕОРЕМА О БИССЕКТРИСЕ, пропорциональные отрезки, геометрия 8 классСкачать
Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Свойства биссектрисы треугольникаСкачать
Свойство биссектрисы треугольникаСкачать
Теорема о биссектрисе треугольника. Урок 26. Геометрия 11 классСкачать
про биссектрису #SHORTSСкачать
Секретная формула биссектрисы треугольника плюс Задача из экзамена 9 классСкачать
Пересечение биссектрис треугольника в одной точке, Геометрия 7 классСкачать
3 свойства биссектрисы #shortsСкачать
Геометрия 11 класс. Теорема о биссектрисе треугольникаСкачать
8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы углаСкачать
