Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

Радиус вписанной окружности в трапецию, формула

Радиус вписанной окружности в трапецию равен половине высоты трапеции.

Главное чтобы выполнялось условие при котором в данную трапецию возможно вписать окружность. В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. т.е.:

Иначе в данную трапецию нельзя вписать окружность.

бедро трапеции выражается через высоту по теореме Пифагора:

Отсюда — зная все стороны трапеции вычислим такую высоту трапеции, которая удовлетворяет условию вписанной окружности (3).

после небольших преобразований получим

используем формулы Квадрат суммы и Квадрат разности и после раскрытия скобок и упрощения получим

И соответственно радиус вписанной окружности в трапецию

Содержание
  1. Вписанная в трапецию окружность
  2. Радиус вписанной окружности трапеции равен
  3. Радиус вписанной окружности в трапецию, формула
  4. Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции
  5. Основные свойства трапеции
  6. Сторона трапеции
  7. Формулы определения длин сторон трапеции:
  8. Средняя линия трапеции
  9. Формулы определения длины средней линии трапеции:
  10. Высота трапеции
  11. Формулы определения длины высоты трапеции:
  12. Диагонали трапеции
  13. Формулы определения длины диагоналей трапеции:
  14. Площадь трапеции
  15. Формулы определения площади трапеции:
  16. Периметр трапеции
  17. Формула определения периметра трапеции:
  18. Окружность описанная вокруг трапеции
  19. Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
  20. Окружность вписанная в трапецию
  21. Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
  22. Другие отрезки разносторонней трапеции
  23. Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
  24. Трапеция. Свойства трапеции
  25. Свойства трапеции
  26. Свойства и признаки равнобедренной трапеции
  27. Вписанная окружность
  28. Площадь
  29. 📽️ Видео

Видео:Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141Скачать

Задача 6 №27926 ЕГЭ по математике. Урок 141

Вписанная в трапецию окружность

Когда в трапецию можно вписать окружность? Какими свойствами обладает вписанная в трапецию окружность? Где находится центр этой окружности? Чему равен ее радиус?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда когда суммы ее противоположных сторон равны.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции1) В трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

2) Обратно, если AD+BC=AB+CD, то в трапецию ABCD можно вписать окружность.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

2. Центр вписанной в трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

O — точка пересечения

биссектрис трапеции ABCD.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции3. По свойству биссектрис трапеции, прилежащие к её боковой стороне,

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

и точка O лежит на средней линии трапеции.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции4. Точки касания, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины:

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции5.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции6. Диаметр вписанной в трапецию окружности равен высоте трапеции, радиус — половине высоты:

Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

Радиус вписанной окружности трапеции равен

Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Радиус вписанной окружности в трапецию, формула

Радиус вписанной окружности в трапецию равен половине высоты трапеции.

Главное чтобы выполнялось условие при котором в данную трапецию возможно вписать окружность. В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. т.е.:

Иначе в данную трапецию нельзя вписать окружность.

бедро трапеции выражается через высоту по теореме Пифагора:

Отсюда — зная все стороны трапеции вычислим такую высоту трапеции, которая удовлетворяет условию вписанной окружности (3).

после небольших преобразований получим

используем формулы Квадрат суммы и Квадрат разности и после раскрытия скобок и упрощения получим

И соответственно радиус вписанной окружности в трапецию

Видео:✓ Радиус описанной окружности | ЕГЭ. Задание 1. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Радиус описанной окружности | ЕГЭ. Задание 1. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

  • Основы трапеции — параллельные стороны
  • Боковые стороны — две другие стороны
  • Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
  • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапецииРадиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции
Рис.1Рис.2

Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m =a + b
2

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =hd =h
sin αsin β

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m =a + b
2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m =S
h

Видео:Малоизвестные свойства равнобедренной трапеции. Разбор задачи 17 ЕГЭ профиль.Скачать

Малоизвестные свойства равнобедренной трапеции. Разбор задачи 17 ЕГЭ профиль.

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
a + ba + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
2 m2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

h =2S
a + b

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

h =S
m

Видео:Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d 1 = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d 2 = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d 1 =d 2 + ab —a ( d 2 — c 2 )
a — b
d 2 =c 2 + ab —a ( c 2 — d 2 )
a — b

d 1 = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d 2 = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 2 2

d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 1 2

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

S =( a + b )· h
2

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =d 1 d 2· sin γ=d 1 d 2· sin δ
22

4. Формула площади через четыре стороны:

S =a + bc 2 —(( a — b ) 2 + c 2 — d 2)2
22( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =a + b√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
| a — b |
p =a + b + c + d— полупериметр трапеции.
2

Видео:Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)Скачать

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)
p =a + c + d 1
2

a — большее основание

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Задача про трапецию, описанную около окружности

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

r =h
2

Видео:✓ Все сюжеты по планиметрии из ЕГЭ за 50 минут | ЕГЭ. Задание 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Все сюжеты по планиметрии из ЕГЭ за 50 минут | ЕГЭ. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =bKN = ML =aTO = OQ =a · b
22a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

Видео:Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть II)Скачать

Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть II)

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

3. Треугольники Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапециии Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

Отношение площадей этих треугольников есть Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

4. Треугольники Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапециии Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

Видео:Площадь трапеции и радиус описанной. ДАЕШЬ УСТНОЕ РЕШЕНИЕ!?Скачать

Площадь трапеции и радиус описанной. ДАЕШЬ УСТНОЕ РЕШЕНИЕ!?

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапециии она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапециии Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции, то Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Площадь

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапецииили Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапециигде Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции– средняя линия

Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

📽️ Видео

Интересный штрих) параллелограмма ✧ Запомнить за 1 мин!Скачать

Интересный штрих) параллелограмма ✧ Запомнить за 1 мин!
Поделиться или сохранить к себе: