Как найти координаты образа вектора

Как найти координаты вектора в базисе

Решение:
Записываем матрицу перехода А:

и находим ее определитель
0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f1 , f2 , f3 линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R 3 .
Находим обратную матрицу А -1 .
Транспонированная матрица:

Обратная матрица А -1

Находим координаты вектора х относительно нового базиса.

Пример №1 . Даны векторы a, b, c и d . Установить, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 — β*2 — γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c :
d = 1/2a + 1/2b — 3/2c

Пример №2 . Даны векторы Как найти координаты образа вектора. Показать, что векторы Как найти координаты образа вектораобразуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора Как найти координаты образа векторав этом базисе:

Как найти координаты образа вектора

Как найти координаты образа вектора

Как найти координаты образа вектора

Пример №3 . Даны два линейных преобразования:
х’1 = a11x1 + a12x2 + a13x3, х»1 = b11x’1 + b12x’2 + b13x’3,
х’2 = a21x1 + a22x2 + a23x3, х»2 = b21x’1 + b22x’2 + b23x’3,
х’3 = a31x1 + a32x2 + a33x3, х»3 = b31x’1 + b32x’2 + b33x’3,
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х»1, x»2, x»3 через х1, х2, х3.
х’1 = 4x1 + 3x2 + 5x3, х»1 = — x’1 + 3x’2 — 2x’3,
х’2 = 6x1 + 7x2 + x3, х»2 = — 4x’1 + x’2 + 2x’3,
х’3 = 9x1 + x2 + 8x3, х»3 = 3x’1 — 4x’2 + 5x’3,
Решение. Используя калькулятор, получаем:
Обозначим:

A =
435
671
918

B =
-13-2
-412
3-45

Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 4*(7*8 — 1*1) — 6*(3*8 — 1*5) + 9*(3*1 — 7*5) = -182
Определитель матрицы А равен detA=-182
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1 : A -1 ·A·X = A -1 ·B, тогда получим E·X = A -1 ·B, или X = A -1 ·B.
Найдем обратную матрицу A -1 .

A -1 = -1/182
55-19-32
-39-1326
-572310

Матрицу Х ищем по формуле:

X = A -1 ·B = -1/182
55-19-32
-39-1326
-572310
*
-13-2
-412
3-45
=
75 /182-1 46 /911 9 /13
-13 /141 2 /7-1
5 /1821 3 /91-1 2 /13

Пример №4 . В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e 1= AB , e 2= AC , e 3= AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e 1, e 2, e 3)

Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.

Задание 1 . Разложить вектор d =(8;-5) по векторам a =(1;-2) и b =(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (Как найти координаты образа вектора, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = α a +β b , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид Как найти координаты образа вектора Как найти координаты образа вектора
Решим полученную систему уравнений.

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Выражение координат вектора-образа через координаты вектора-прообраза

Теорема 5.3. Если р — линейный оператор, действующий из линейного пространства X в линейное пространство Y, который в паре базисов е = (ei, б2,. еп) в X и q = ( По условию линейный оператор р в паре базисов ей q имеет матрицу Aqe. Поэтому ре = qAqe. Произвольный вектор хX может быть представлен в виде х = е[х]е, где [х]е — координатный столбец этого вектора. Поэтому

Как найти координаты образа вектора

Тем самым мы пришли к соотношению х’ = Пример 5.1. Пусть линейный оператор, действующий из линейного пространства X в линейное пространство У, в паре базисов е = (ei, в2, ез, е4) в X и q = (щ, q^, дз) в У задан матрицей

Как найти координаты образа вектора

Найти столбец координат в базисе q образа вектора х, имеющего в базисе е столбец координат (1,1,1,1) т ,и столбец координат в базисе е прообраза вектора у, имеющего в базисе q столбец координат (3, 2,1) т .

Решение. Столбец координат образа вектора х в базисе q находим непосредственно по формуле (5.5):

Как найти координаты образа вектора

Для отыскания прообраза вектора у воспользуемся той же формулой (5.5). Если [х]е = (xi, .Т2, .хз, х^) т — столбец координат искомого вектора, то

Как найти координаты образа вектора

Мы имеем систему линейных уравнений относительно неизвестных Xi, Х2, Х3, х4. Решив эту систему, находим все прообразы вектора у.

Как найти координаты образа вектора

Здесь х4 — свободное неизвестное, которое может принимать любые значения. ?

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Матрица линейного оператора примеры

Видео:Координаты в новом базисеСкачать

Координаты в новом базисе

Построение матрицы по заданной формуле отображения.

Пусть отображение задано с помощью формулы:

Как найти координаты образа вектора

то есть для координат произвольного исходного вектора определены координаты его образа. Тогда, рассматривая вместо произвольного вектора x вектор Как найти координаты образа вектора, найдём его образ, это будет вектор Как найти координаты образа вектора. Для этого в формуле, задающей образ вектора, полагаем Как найти координаты образа вектора, Как найти координаты образа вектора,…, Как найти координаты образа вектора. Аналогично находим образы для Как найти координаты образа вектора,…, Как найти координаты образа вектора. Из координат образа вектора Как найти координаты образа векторасоставляем 1-й столбец матрицы линейного оператора, аналогично из координат последующих векторов – остальные столбцы. Рассмотрим на примере.

Пример 1. Пусть оператор задан с помощью формулы:

Как найти координаты образа вектора.

Прежде всего, докажем, что это отображение – действительно линейный оператор.

Отобразим сумму векторов:

Как найти координаты образа вектораТеперь каждую координату получившегося вектора можем преобразовать:

Как найти координаты образа вектораКак найти координаты образа вектора

Как найти координаты образа вектораКак найти координаты образа вектора.

Аналогично для умножения на константу:

Как найти координаты образа вектора

Как найти координаты образа вектора

Для того чтобы найти матрицу этого линейного оператора, нужно, как было сказано выше, подставить значения x1 = 1, x2 = 0, а затем x1 = 0, x2 = 1. В этом примере образы базисных векторов – соответственно (3, 1) и (2, -1).

Поэтому матрица линейного оператора будет иметь вид:

Как найти координаты образа вектора.

Аналогичным способом решается задача и для 3 и большего количества переменных.

Пример 2. Как найти координаты образа вектора.

Построим матрицу оператора. Отображая вектор (1,0,0), получаем (1,4,-1), соответственно (0,1,0) переходит в (2,1,-2), а вектор (0,0,1) – в (-1,1,3).

Матрица линейного оператора:

Как найти координаты образа вектора.

2.2. Построение матрицы оператора в случае, когда известен исходный базис и система векторов, в которую он отображается.

Если задана система Как найти координаты образа вектораиз n векторов, образующих базис, и какая-нибудь произвольная система n векторов Как найти координаты образа вектора(возможно, линейно-зависимая), то однозначно определён линейный оператор, отображающий каждый вектор первой системы в соответствующий вектор второй системы.

Матрицу этого оператора можно найти двумя способами: с помощью обратной матрицы и с помощью системы уравнений.

Пусть Как найти координаты образа вектора– матрица оператора в базисе Как найти координаты образа вектора. По условию, Как найти координаты образа векторадля всех индексов Как найти координаты образа вектора. Данные n равенств можно записать в виде одного матричного равенства: Как найти координаты образа вектора, при этом столбцы матрицы Как найти координаты образа вектора– это векторы Как найти координаты образа вектора, а столбцы матрицы Как найти координаты образа вектора– векторы Как найти координаты образа вектора. Тогда матрица Как найти координаты образа вектораможет быть найдена в виде Как найти координаты образа вектора.

Пример. Найти матрицу линейного оператора, отображающего базис

Как найти координаты образа векторав систему векторов Как найти координаты образа вектора.

Здесь Как найти координаты образа вектора, Как найти координаты образа вектора, Как найти координаты образа вектора, и получаем:

Как найти координаты образа вектора.

Проверка осуществляется умножением получившейся матрицы на каждый вектор: Как найти координаты образа вектора.

Аналогично решаются подобные задачи и для трёхмерного пространства. В приложении (§5) есть несколько вариантов таких задач.

2.3. Прочие способы нахождения матрицы оператора.

Существуют также примеры, где линейный оператор задаётся другими способами, отличными от рассмотренных в п. 2.1 и 2.2.

Пример. Линейными операторами являются как правое, так и левое векторное умножение на фиксированный вектор в трёхмерном пространстве, то есть отображения вида Как найти координаты образа вектораи Как найти координаты образа вектора. Построим матрицу одного из этих операторов, Как найти координаты образа вектора. Для этого найдём образы всех трёх базисных векторов линейного пространства.

Как найти координаты образа вектора.

Аналогично, Как найти координаты образа вектора,

Как найти координаты образа вектора.

Координаты полученных векторов запишем в виде столбцов матрицы оператора.

Матрица оператора: Как найти координаты образа вектора.

Аналогично можно построить матрицу линейного оператора Как найти координаты образа вектора:

Как найти координаты образа вектора.

Пример. Линейный оператор дифференцирования в пространстве всех многочленов степени не более n. Это пространство размерности n + 1. Возьмём в качестве базиса элементы Как найти координаты образа вектора, Как найти координаты образа вектора, Как найти координаты образа вектора,…, Как найти координаты образа вектора.

Как найти координаты образа вектора, Как найти координаты образа вектора, Как найти координаты образа вектора, аналогично получим Как найти координаты образа вектора,…, Как найти координаты образа вектора.

Матрица этого линейного оператора:

Как найти координаты образа вектора

Линейные операторы могут отображать не только пространства конечной размерности, но и бесконечномерные пространства. Так, оператор дифференцирования может рассматриваться также в пространстве всех непрерывных функций. (В этом пространстве нет конечного базиса). В этом случае, очевидно, оператор не может быть задан матрицей конечного порядка.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10219 – Как найти координаты образа вектора| 7588 – Как найти координаты образа вектораили читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Матрица линейного оператора

Определение 1. Если задан закон, который каждому вектору x?? ставит в соот ветствие вектор y . то говорят, что в линейном пространстве ? задан оператор A , при этом пишут:

Определение 2. Оператор A называется линейным, если для любых x 1 ?? и x 2 ?? и произвольного числа ? выполняются условия:

Как найти координаты образа вектора

Рассмотрим теперь в евклидовом пространстве E n базис e 1 ,e 2 . e n и пусть в этом пространстве определён линейный оператор A : y = A x .

Разложим векторы x и y по базису e 1 ,e 2 . e n :

Как найти координаты образа вектора

В силу линейности оператора A можно написать

Заметим, что каждый вектор Как найти координаты образа вектора, следовательно, его также можно разложить по базису e 1 ,e 2 . e n , т.е.

Как найти координаты образа вектора

Как найти координаты образа вектора

В силу единственности разложения по данному базису мы можем при равнять коэффициенты при базисных векторах в правых частях формул (1) и (2); тогда получим:

Как найти координаты образа вектора

Получили, что линейному оператору A в данном базисе соответствует квадратная матрица

Как найти координаты образа вектора

которая называется матрицей линейного оператора A , i -й столбец которой состоит из координат вектора Ae i (i = 1,2. n ) относительно данного базиса. Отметим, что матрица A оператора A зависит от выбора базиса e 1 ,e 2 . e n .

Итак, мы показали, что всякому линейному оператору A в евклидовом пространстве E n соответствует матрица A ; можно доказать и обратное утверждение: всякую квадратную матрицу A можно рассматривать как матрицу некоторого линейного оператора A в данном базисе e 1 ,e 2 . e n .

Представляют интерес невырожденные линейные операторы, т.е. такие операторы, матрицы которых имеют обратную A -1 , т.е. также являются невырожденными. В этом случае каждому вектору y (образу), определённому соотношением, отвечает единственный вектор x (прообраз) и при этом имеет место матричное равенство: X = A -1 ? Y .

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Примеры линейных операторов

1. В пространстве 2-мерных векторов линейным оператором является правило

Как найти координаты образа вектора

связывающее вектор-прообраз Как найти координаты образа векторас вектором-образом Как найти координаты образа вектора

2. В пространстве бесконечно дифференцируемых функций линейным оператором является операция дифференцирования, ставящая в соответствие каждому элементу этого простран ства его производную функцию.

3. В пространстве многочленов P n (t) линейным оператором является операция умножения многочлена на независимую переменную t .

Пример: Известны образы базисных векторов E 3 под действием оператора A :

Как найти координаты образа вектора

Найти матрицу этого оператора в исходном базисе.

Решение: По определению y = A x, значит в матричном виде можно записать, что A = X -1 Y . Для нашего примера получаем

Как найти координаты образа вектора

Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

Действия над операторами

Сложение линейных операторов. Пусть x?E n , A и B – два линейных оператора в этом пространстве.

Определение 1. Суммой линейных операторов A и B в E n называется оператор C, определяемый равенством Cx = A x + Bx , где x – любой вектор из E n .

Сумма линейных операторов является линейным оператором, причём его матрица C = A + B, где A и B – матрицы линейных операторов A и B .

Умножение линейного оператора на число. Пусть x?E n , линейный оператор A определён в E n , ? – некоторое число.

Определение 2. Произведением линейного оператора A на число ? называется оператор ?A , определяемый равенством Как найти координаты образа вектора.

?A является линейным оператором, а матрица этого линейного оператора получается из матрицы A умножением её на число ? , т.е. она равна ? ? A.

Умножение линейных операторов. Пусть x? E n , y ? E n , z ? E n и кроме того в E n определены линейные операторы A и B таким образом, что y = Bx, z = A y .

Определение 3. Произведением A ? B линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый соотношением Cx = A (Bx) .

Таким образом, перемножение линейных операторов состоит в последовательном их применении по отношению к вектору x .

Рассмотрим матрицы – столбцы:

Как найти координаты образа вектора

и обозначим через A, B и C – соответственно матрицы линейных операторов A, B и C. Тогда Z = A ? (B ? X) = (A ? B) ? X = C ? X , таким образом, C = A ? B, т.е. матрица произведения линей ных операторов также является линейным оператором.

a) (A ? B)(x + y) = A (B(x + y)) = A (Bx + By) = A (Bx) + A (By) = = (A ? B) ? x + (A ? B) ? y

б) (A ? B)(? x) = A (B(? x)) = A (?Bx) =?A (Bx) =? (A ? B)x

Свойства умножения линейных операторов вытекают из свойств умножения матриц.

Определение 4. Линейные операторы A и В называются равными, если Как найти координаты образа вектораКак найти координаты образа вектора. Равенство операторов обозначается как A = B .

Определение 5. Оператор E называется единичным (или тождественным) оператором, если каждому элементу x линейного пространства Как найти координаты образа вектораон ставит в соответствие тот же самый элемент, то есть Как найти координаты образа вектора

Видео:Как найти координаты вектора?Скачать

Как найти координаты вектора?

1. Понятие линейного оператора

Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида Как найти координаты образа вектора, сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S. Для этого отображения будем использовать обозначение y= A(x) или y= Ax.

Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x1 и x2 пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения

Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R.

Пусть заданы два векторных пространства n-мерный R и m-мерный S, и пусть в этих пространствах заданы базисы Как найти координаты образа вектораи Как найти координаты образа векторасоответственно. Пусть задано отображение

y=Ax,(1)

где Am×n -матрица с коэффициентами из поля K. Тогда каждому элементу из R соответствует элемент y=Ax из S. Отображение (1) определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, можно записать:

Как найти координаты образа вектора,(2)
Как найти координаты образа вектора.

Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольных базисов Как найти координаты образа вектораи Как найти координаты образа векторав R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K, что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.

Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда

Как найти координаты образа вектора(3)

является разложением x в по базису Как найти координаты образа вектора.

Применим оператор A к базисным векторам Как найти координаты образа вектора:

Как найти координаты образа вектора(4)

где aij − координаты полученного вектора в базисе Как найти координаты образа вектора.

Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем

Как найти координаты образа вектораКак найти координаты образа вектора

Сделаем следующее обозначение:

Как найти координаты образа вектора(6)

Тогда равенство (5) примет следующий вид:

Как найти координаты образа вектора(7)

Из равенства (7) следует, что любой элемент из пространства R при отображении оператором A, в пространстве S и в базисе Как найти координаты образа вектораимеет координаты yi, i=1,2. m. В свою очередь, из (6) следует, что этим координатам соответствуют линейные комбинации координатов элемента xj, j=1,2. n с коэффициентами aij i=1,2. m; j=1,2. n.

Построим матрицу A с элементами aij:

Как найти координаты образа вектора(8)

Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:

y=Ax.(9)

Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах Как найти координаты образа вектораи Как найти координаты образа вектора.

Видео:90. Координаты вектораСкачать

90. Координаты вектора

2. Сложение линейных операторов

Пусть A и B два линейных оператора действующих из R в S и пусть A и Bmxn − матрицы соответствующие этим операторам.

Определение 2. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством

Cx= Ax+ Bx, x∈R,(10)

где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R.

Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B. Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Применим оператор C к базисному вектору ej, тогда:

Cej= Aej+ Bej=n(aij+bij) ej
j= 1

Следовательно оператору C отвечает матрица Как найти координаты образа вектора,где i=1,2. m, j=1,2. n, т.е.

C=A+B.(11)

Видео:Базис и матрица перехода. Координаты вектора в разных базисах.Скачать

Базис и матрица перехода. Координаты вектора в разных базисах.

3. Умножение линейных операторов

Пусть заданы три линейных пространства R, S и T. Пусть линейный оператор B отображает R в S, а линейный оператор A отображает S в T.

Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Cx= A( Bx), x ∈ R.(12)

Произведение линейных операторов обозначается C=AB. Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.

Таким образом оператор C отображает пространство R в T. Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A, B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A, B, C

y=Bx, z=Ay, z=Cx

можно записать в виде матричных равенств

y=Bx, z=Ay, z=Cx

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Cx=A(Bx)=(AB)x.

Учитывая произвольность х, получим

C=AB.(13)

Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB.

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

4. Умножение линейного оператора на число

Пусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K.

Определение 4. Произведением оператора A на число λ называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Cx=λ ( Ax)(14)

Таким образом оператор C отображает пространство R в S. Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства

y=Ax, z=λy, z=Cx

можно записать в виде матричных равенств

y=Ax, z=λy, z=Cx

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Cx=λ(Ax)=(λA)x.

Учитывая произвольность х, получим

C=λA.(15)

Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ.

Видео:Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

5. Нулевой оператор

Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O. Действие нулевого оператора можно записать так:

Видео:11 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

11 класс, 2 урок, Координаты вектора

6. Противоположный оператор

Противоположным оператору A называется оператор −A удовлетворяющий равенству:

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

7. Ядро линейного оператора

Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R, для которых выполняется следующее равенство: Ax=0.

Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A.

Видео:Орт вектора. Нормировать вектор. Найти единичный векторСкачать

Орт вектора.  Нормировать вектор.  Найти единичный вектор

8. Образ линейного оператора

Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R, для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R.

Образ линейного оператора обозначается символом im A.

Видео:Длина вектора через координаты. 9 класс.Скачать

Длина вектора через координаты. 9 класс.

9. Ранг линейного оператора

Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A, т.е.: rang A=dim(im A).

🎬 Видео

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Ядро и образ линейного оператораСкачать

Ядро и образ линейного оператора

Координаты вектора.Скачать

Координаты вектора.

Координаты середины отрезкаСкачать

Координаты середины отрезка

5 4 Координаты Преобразование координат при замене базисаСкачать

5 4  Координаты  Преобразование координат при замене базиса
Поделиться или сохранить к себе: