Как найти катет если известен радиус описанной окружности

Теорема синусов

Как найти катет если известен радиус описанной окружности

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Содержание
  1. Доказательство теоремы синусов
  2. Доказательство следствия из теоремы синусов
  3. Теорема о вписанном в окружность угле
  4. Примеры решения задач
  5. Запоминаем
  6. Как найти катет зная радиус окружности
  7. Как найти катеты треугольника в окружности
  8. Как найти стороны прямоугольного треугольника
  9. Онлайн калькулятор
  10. Найти гипотенузу (c)
  11. Найти гипотенузу по двум катетам
  12. Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу
  13. Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу
  14. Найти гипотенузу по двум углам
  15. Найти катет
  16. Найти катет по гипотенузе и катету
  17. Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу
  18. Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу
  19. Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу
  20. Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу
  21. Теорема синусов
  22. Доказательство теоремы синусов
  23. Доказательство следствия из теоремы синусов
  24. Теорема о вписанном в окружность угле
  25. Примеры решения задач
  26. Запоминаем
  27. Треугольник вписанный в окружность
  28. Определение
  29. Формулы
  30. Радиус вписанной окружности в треугольник
  31. Радиус описанной окружности около треугольника
  32. Площадь треугольника
  33. Периметр треугольника
  34. Сторона треугольника
  35. Средняя линия треугольника
  36. Высота треугольника
  37. Свойства
  38. Доказательство
  39. Теорема синусов
  40. Доказательство теоремы синусов
  41. Доказательство следствия из теоремы синусов
  42. Теорема о вписанном в окружность угле
  43. Примеры решения задач
  44. Запоминаем
  45. Калькулятор расчета стороны правильного многоугольника через радиусы окружностей
  46. Расчет длины стороны
  47. Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус описанной окружности?
  48. Отношение радиусов описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольнике равно 13 / 4, один из катетов равен а?
  49. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4 см?
  50. Вокруг прямоугольного треугольника с катетами 8 и 6 описана окружность?
  51. Катеты прямоугольного треугольника равны 3см и 4см?
  52. Как найти радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности учитывая что катет равен 11 и 60?
  53. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 8 см?
  54. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника равна 10 см а катет 16 см найти площадь описанной окружности?
  55. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 2 и 15?
  56. В прямоугольном треугольнике катеты 5 и 12 см найти радиус описанной окружности?
  57. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 3 и 5 см?

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Как найти катет если известен радиус описанной окружности

Формула теоремы синусов:

Как найти катет если известен радиус описанной окружности

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Как найти катет если известен радиус описанной окружности

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

Как найти катет если известен радиус описанной окружности
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Как найти катет если известен радиус описанной окружности

  • Как найти катет если известен радиус описанной окружности
    bc sinα = ca sinβ
    Как найти катет если известен радиус описанной окружности
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Как найти катет если известен радиус описанной окружности
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

    Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:Как найти радиус описанной окружности?Скачать

    Как найти радиус описанной окружности?

    Как найти катет зная радиус окружности

    Видео:Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

    Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

    Как найти катеты треугольника в окружности

    Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

    найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

    Как найти стороны прямоугольного треугольника

    Видео:Задание 24 Площадь описанного треугольникаСкачать

    Задание 24 Площадь описанного треугольника

    Онлайн калькулятор

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

    • для гипотенузы (с):
      • длины катетов a и b
      • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
      • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
    • для катета:
      • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
      • длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
      • длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
      • длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
      • длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

    Введите их в соответствующие поля и получите результат.

    Найти гипотенузу (c)

    Найти гипотенузу по двум катетам

    Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

    Формула

    следовательно: c = √ a² + b²

    Пример

    Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

    c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см

    Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

    Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

    Формула
    Пример

    Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

    c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

    Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

    Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

    Формула
    Пример

    Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

    c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

    Найти гипотенузу по двум углам

    Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

    Найти катет

    Найти катет по гипотенузе и катету

    Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

    Формула
    Пример

    Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

    a = √ 5² — 4² = √ 25 — 16 = √ 9 = 3 см

    Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

    Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

    Формула
    Пример

    Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

    b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

    Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

    Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

    Формула
    Пример

    Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

    a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

    Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

    Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

    Формула
    Пример

    Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

    b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

    Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

    Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

    Формула
    Пример

    Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

    Видео:СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностейСкачать

    СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностей

    Теорема синусов

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    О чем эта статья:

    Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
    Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
    (в правом нижнем углу экрана).

    Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Доказательство теоремы синусов

    Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Формула теоремы синусов:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Из этой формулы мы получаем два соотношения:


      Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности
    На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

  • Как найти катет если известен радиус описанной окружности
    bc sinα = ca sinβ
    Как найти катет если известен радиус описанной окружности
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

    Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

    Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

    Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Как найти катет если известен радиус описанной окружности
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

    Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:Как найти радиус описанной окружности? / ПРОФИЛЬ /#541815Скачать

    Как найти радиус описанной окружности? / ПРОФИЛЬ /#541815

    Треугольник вписанный в окружность

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Определение

    Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
    находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

    На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
    треугольника
    и окружность, вписанная в треугольник.

    ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

    O — центр вписанной в треугольник окружности.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

    ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

    Формулы

    Радиус вписанной окружности в треугольник

    r — радиус вписанной окружности.

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
      если известна площадь и все стороны:

    Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известны площадь и периметр:

    Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известны полупериметр и все стороны:

    Радиус описанной окружности около треугольника

    R — радиус описанной окружности.

    1. Радиус описанной окружности около треугольника,
      если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

    Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известны все стороны и площадь:

    Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известны все стороны и полупериметр:

    Площадь треугольника

    S — площадь треугольника.

    1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
      если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

    Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр:

    Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен высота и основание:

    Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

    Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и синус угла между ними:

    [ S = frac ab cdot sin angle C ]

    Периметр треугольника

    P — периметр треугольника.

    1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
      если известны все стороны:

    Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и радиус вписанной окружности:

    Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и угол между ними:

    Сторона треугольника

    a — сторона треугольника.

    1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
      если известны две стороны и косинус угла между ними:

    Сторона треугольника вписанного в
    окружность, если известна сторона и два угла:

    Средняя линия треугольника

    l — средняя линия треугольника.

    1. Средняя линия треугольника вписанного
      в окружность, если известно основание:

    Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
    если известныдве стороны, ни одна из них не является
    основанием, и косинус угламежду ними:

    Высота треугольника

    h — высота треугольника.

    1. Высота треугольника вписанного в окружность,
      если известна площадь и основание:

    Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известен сторона и синус угла прилежащего
    к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

    [ h = b cdot sin alpha ]

    Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известен радиус описанной окружности и
    две стороны, ни одна из которых не является основанием:

    Видео:Найти радиус описанной окружности. Задача ОГЭ-ЕГЭСкачать

    Найти радиус описанной окружности. Задача ОГЭ-ЕГЭ

    Свойства

    • Центр вписанной в треугольник окружности
      находится на пересечении биссектрис.
    • В треугольник, вписанный в окружность,
      можно вписать окружность, причем только одну.
    • Для треугольника, вписанного в окружность,
      справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
      и Теорема Пифагора.
    • Центр описанной около треугольника окружности
      находится на пересечении серединных перпендикуляров.
    • Все вершины треугольника, вписанного
      в окружность, лежат на окружности.
    • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
    • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
      треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
      формуле Герона.

    Видео:Найти площадь квадрата описанного около окружности радиуса 19Скачать

    Найти площадь квадрата описанного около окружности радиуса 19

    Доказательство

    Около любого треугольника, можно
    описать окружность притом только одну.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    окружность и треугольник,
    которые изображены на рисунке 2.

    окружность описана
    около треугольника.

    1. Проведем серединные
      перпендикуляры — HO, FO, EO.
    2. O — точка пересечения серединных
      перпендикуляров равноудалена от
      всех вершин треугольника.
    3. Центр окружности — точка пересечения
      серединных перпендикуляров — около
      треугольника описана окружность — O,
      от центра окружности к вершинам можно
      провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

    окружность описана около треугольника,
    что и требовалось доказать.

    Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
    вписанный в окружность
    — это треугольник,
    в котором все серединные перпендикуляры
    пересекаются в одной точке, и эта точка
    равноудалена от всех вершин треугольника.

    Теорема синусов

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    О чем эта статья:

    Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
    Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
    (в правом нижнем углу экрана).

    Доказательство теоремы синусов

    Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Формула теоремы синусов:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Из этой формулы мы получаем два соотношения:


      Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности
    На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

  • Как найти катет если известен радиус описанной окружности
    bc sinα = ca sinβ
    Как найти катет если известен радиус описанной окружности
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Как найти катет если известен радиус описанной окружности
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Калькулятор расчета стороны правильного многоугольника через радиусы окружностей

    В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для расчета длины стороны правильного многоугольника через радиус вписанной или описанной окружности.

    Расчет длины стороны

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Инструкция по использованию: введите радиус вписанной (r) или описанной (R) окружности, укажите количество вершин правильного многоугольника (n), затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислена длина стороны фигуры (a).

    Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус описанной окружности?

    Геометрия | 5 — 9 классы

    Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус описанной окружности.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Эм. вопрос несколько не понятен.

    Вписанные в окружность прямоугольные треугольники опираются на гипотенузу, т.

    Е. гипотенуза(с) = d = 2r, отсюда следует :

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Отношение радиусов описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольнике равно 13 / 4, один из катетов равен а?

    Отношение радиусов описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольнике равно 13 / 4, один из катетов равен а.

    Найти другой катет и площадь треугольника.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4 см?

    Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4 см.

    Найти радиус описанной окружности.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Вокруг прямоугольного треугольника с катетами 8 и 6 описана окружность?

    Вокруг прямоугольного треугольника с катетами 8 и 6 описана окружность.

    Найти радиус окружности.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Катеты прямоугольного треугольника равны 3см и 4см?

    Катеты прямоугольного треугольника равны 3см и 4см.

    Найти радиус описанной окружности этого треугольника.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Как найти радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности учитывая что катет равен 11 и 60?

    Как найти радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности учитывая что катет равен 11 и 60.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 8 см?

    Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 8 см.

    Найти периметр треугольника и радиус описанной окружности,.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника равна 10 см а катет 16 см найти площадь описанной окружности?

    Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника равна 10 см а катет 16 см найти площадь описанной окружности.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 2 и 15?

    Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 2 и 15.

    Найти длины катетов этого треугольника.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    В прямоугольном треугольнике катеты 5 и 12 см найти радиус описанной окружности?

    В прямоугольном треугольнике катеты 5 и 12 см найти радиус описанной окружности.

    Как найти катет если известен радиус описанной окружности

    Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 3 и 5 см?

    Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 3 и 5 см.

    Найти катеты треугольника.

    Вы открыли страницу вопроса Как найти катет прямоугольного треугольника через радиус описанной окружности?. Он относится к категории Геометрия. Уровень сложности вопроса – для учащихся 5 — 9 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Геометрия, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

    Поделиться или сохранить к себе: