- Длина окружности
- Задачи на длину окружности
- Задачи на площадь круга
- Длина окружности
- Как найти длину окружности через диаметр
- Как найти длину окружности через радиус
- Как вычислить длину окружности через площадь круга
- Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника
- Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата
- Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника
- Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника
- Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника
- Задачи для решения
- «Окружность. Длина окружности», 5-й класс
- Ход урока
- 1. Анализ заданий
- 2. Постановка проблемы
- 3. Выход из проблемной ситуации
- 4. Закрепление пройденного
- 5. Итог урока
Длина окружности
Длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз, а именно, приблизительно в 3,14 раза. Для обозначения этой величины используется маленькая (строчная) греческая буква π (пи):
| C | = π. |
| D |
Таким образом, длину окружности (C) можно вычислить, умножив константу π на диаметр (D), или умножив π на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так:
где C — длина окружности, π — константа, D — диаметр окружности, R — радиус окружности.
Так как окружность является границей круга, то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.
Задачи на длину окружности
Задача 1. Найти длину окружности, если её диаметр равен 5 см.
Решение: Так как длина окружности равна π умноженное на диаметр, то длина окружности с диаметром 5 см будет равна:
C ≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см).
Задача 2. Найти длину окружности, радиус которой равен 3,5 м.
Решение: Сначала найдём диаметр окружности, умножив длину радиуса на 2:
теперь найдём длину окружности, умножив π на диаметр:
C ≈ 3,14 · 7 = 21,98 (м).
Задача 3. Найти радиус окружности, длина которой равна 7,85 м.
Решение: Чтобы найти радиус окружности по её длине, надо длину окружности разделить на 2π:
| R | = | C | , |
| 2π |
следовательно, радиус будет равен:
| R | ≈ | 7,85 | = | 7,85 | = 1,25 (м). |
| 2 · 3,14 | 6,28 |
Задачи на площадь круга
Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен 2 см.
Решение: Так как площадь круга равна π умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом 2 см будет равна:
S ≈ 3,14 · 2 2 = 3,14 · 4 = 12,56 (см 2 ).
Ответ: 12,56 см 2 .
Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 7 см.
Решение: Сначала найдём радиус круга, разделив его диаметр на 2:
теперь вычислим площадь круга по формуле:
S = πr 2 ≈ 3,14 · 3,5 2 = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см 2 ).
Данную задачу можно решить и другим способом. Вместо того чтобы сначала находить радиус, можно воспользоваться формулой нахождения площади круга через диаметр:
| S = π | D 2 | ≈ 3,14 · | 7 2 | = 3,14 · | 49 | = |
| 4 | 4 | 4 |
| = | 153,86 | = 38,465 (см 2 ). |
| 4 |
Ответ: 38,465 см 2 .
Задача 3. Найти радиус круга, если его площадь равна 12,56 м 2 .
Решение: Чтобы найти радиус круга по его площади, надо площадь круга разделить π, а затем из полученного результата извлечь квадратный корень:
Длина окружности
О чем эта статья:
6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Если вы не знаете, как обозначается длина окружности, то знак окружности выглядит вот так — l
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Как найти длину окружности через диаметр
Хорда — это отрезок, который соединяет две точки окружности.
Диаметр — хорда, которая проходит через центр окружности. Формула длины окружности через диаметр:
π— число пи — математическая константа, примерно равная 3,14
d — диаметр окружности
Как найти длину окружности через радиус
Радиус окружности — отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Формула длины окружности через радиус:
π — число пи, примерно равное 3,14
r — радиус окружности
Это две основные формулы для вычисления длины окружности. Ниже мы покажем еще несколько формул, которые вы сможете доказать самостоятельно, пользуясь основными формулами и свойствами геометрических фигур.
Как вычислить длину окружности через площадь круга
Если вам известна площадь круга, вы также можете узнать длину окружности:
π — число пи, примерно равное 3,14
S — площадь круга
Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника
Как измерить окружность, если в нее вписан прямоугольник:
π — число пи, примерно равное 3,14
d — диагональ прямоугольника
Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата
Давайте рассмотрим, как найти длину окружности, если она вписана в квадрат и нам известна сторона квадрата:
π — математическая константа, примерно равная 3,14
a — сторона квадрата
Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника
Можно найти, чему равна длина окружности, если в нее вписан треугольник и известны все три его стороны, а также известна его площадь:
π — математическая константа, она примерно равна 3,14
a — первая сторона треугольника
b — вторая сторона треугольника
c — третья сторона треугольника
S — площадь треугольника
Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника
Можно определить, чему равна длина окружности, если круг вписан в треугольник, и известны следующие параметры: площадь треугольника и его полупериметр.
Периметр — это сумма всех сторон треугольника. Полупериметр равен половине этой суммы, то есть чтобы его найти, вам нужно рассчитать периметр и поделить его на два.
π — математическая константа, примерно равная 3,14
S — площадь треугольника
p — полупериметр треугольника
Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника
Разбираемся, как в этом случае измерить окружность. Для этого необходимо посчитать, сколько сторон у многоугольника, а также знать длину стороны многоугольника. Напомним, что у правильного многоугольника все стороны равны, как у квадрата.
Формула вычисления длины окружности: 
π — математическая константа, примерно равная 3,14
a — сторона многоугольника
N — количество сторон многоугольника
Задачи для решения
Давайте тренироваться! Двигаемся от простого к сложному:
Задача 1. Найти длину окружности, диаметр которой равен 5 см.
Решение. Итак, нам известен диаметр окружности, значит для вычисления длины заданной окружности берем формулу:
Подставляем туда известные переменные и получается, что длина окружности равна
Задача 2. Чему равна длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороною a = 4√3 дм
Решение. Радиус окружности равен 
Подставим туда наши переменные и получим 
Теперь, когда нам известен радиус окружности и есть формула длины окружности через радиус l=2πr, мы можем подставить наши данные и получить решение задачи.
Обучение на курсах по математике поможет закрепить полученные знания на практике.
«Окружность. Длина окружности», 5-й класс
Разделы: Математика
Класс: 5
Оборудование:
- Игрушечные автомобили с различным диаметром колеса;
- мерки – тесьма или нить.
- линейки.
- листы бумаги с таблицей вида:
Группа С S d C/d
Все перечисленное раздать по количеству подгрупп.
План оформления доски:
| Задача 1. | Окружность
| Таблица | Задача 2. |
Таблица:
| Группа № | С (длина окружности) | S (путь) | d (диаметр колеса) |
| 1 | |||
| 2 | |||
| 3 | |||
| 4 | |||
| Т.Н. |
Цель: повторить понятие окружности, ее диаметра; получить формулу длины окружности и научить применять ее при решении задач, число π.
Ход урока
1. Анализ заданий
| Учитель | Дети |
| – На доске изображена геометрическая фигура. Как она называется? | – Окружность. |
| – Дайте определение окружности. | Окружность – это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от одной, называемой центром окружности. |
| – Что мы называем ее радиусом? | – Радиус – это расстояние от центра до любой точки окружности. |
| – Что мы называем ее диаметром? | – Диаметр – это отрезок, соединяющий 2 точки окружности и проходящий через центр. |
| – Каким соотношением связаны между собой диаметр и радиус? | – d=2r |
| – Что мы знаем о размере всех d, всех r одной окружности? | – Они равны между собой. |
| –Нам трудно представить свою жизнь без окружности, ведь она является математической моделью многих окружающих нас предметов. Приведите примеры. | – Баранка, обруч, колесо и тд. |
2. Постановка проблемы
| Учитель | Дети |
| –На каждом столе автомашины, моделью каких их частей является окружность? | – Руль, колесо, обода фар и тд. |
| Вашему вниманию предлагается следующая задача (задача 1): Какой путь пройдет ваш автомобиль, если его правое колесо сделает 200 оборотов?Какие варианты решения? | – Измерить длину окружности, проходящей по поверхности колеса и умножить ее на 200. |
| – Молодцы, но для того, чтобы не забыть измеренные величины, я прошу вас записать их в таблицу, лежащую перед вами. А чтобы иметь возможность обобщить эти результаты, я буду заполнять сводную таблицу на доске. | (проводятся измерения, вычисления, заполняются таблицы и сводная таблица на доске (графы С и S)). |
| – Почему получили различные длины окружностей? | – Различные размеры колес. |
| – От чего зависит размер? | – От диаметра. |
| – Молодцы. В Республике Беларусь есть город Жодино. Он известен тем, что там расположен завод, выпускающий карьерные самосвалы марки «БелАз», грузоподъемностью 720 тонн (грузоподъемность Жигулей 440 кг). Внимание вопрос: какой путь пройдет такой самосвал, если правое переднее колесо делает 200 оборотов (диаметр колеса 3,7 метров)? (Задача 2 на доске была закрыта) | – Не знаем как найти длину окружности, чтобы умножить ее на количество оборотов. |
| – Но нам дан диаметр. | – Но неизвестна формула, связывающая диаметр и длину окружности. |
| – Значит, для решения задачи нам нужно установить связь между диаметром и длиной окружности.Значит, тема сегодняшнего урока… | – Нахождение длины окружности, если известен ее диаметр. |
3. Выход из проблемной ситуации
| Учитель | Дети |
| – Измерьте диаметр колес вашего автомобиля. Занесите его в таблицу. | |
| – У каждого автомобиля самая большая длина окружности колеса? | – У того, у кого диаметр больше |
| – Какой вывод можно сделать? | – Чем больше диаметр, тем больше длина окружности. |
| – Посчитайте чему равно отношение С к d? | – Во всех случаях С/d=3 |
| – Оказывается, что если посчитать точнее, то С/d=3, 1/7=3,14159265 C/d=π, C=πd D=2r, C=2 πr | – π=C/d=3,14 |
| – Как связаны между собой d и с? | – Прямопропорционально. |
| – Мы получили формулы, которые связывают длину окружности с диаметром, теперь мы можем вернуться к нашей задаче. S=C*n C=π*d=3,14*3,7=11,618 метров S=2323,6 метров. Значит, чтобы найти длину любой окружности надо знать радиус и знать формулу: C=2πr | – Каждая группа считает самостоятельно |
4. Закрепление пройденного
Найти длину окружности, изображенной на рисунке 12, №№ 850, 851, 852.
Домашнее задание: №№ 868, 869, 873(а,б), 866.
5. Итог урока
чему научились сегодня на уроке? (Находить длину любой окружности, зная ее диаметр по формуле: С=π*d.