Как найти диаметр вписанной окружности

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Как найти диаметр вписанной окружности
    • Четырехугольник
      Как найти диаметр вписанной окружности
    • Многоугольник
      Как найти диаметр вписанной окружности

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

    Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

    Все формулы для радиуса вписанной окружности

    Видео:Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

    Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

    Радиус вписанной окружности в треугольник

    Как найти диаметр вписанной окружности

    a , b , c — стороны треугольника

    p — полупериметр, p=( a + b + c )/2

    Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

    Как найти диаметр вписанной окружности

    a — сторона треугольника

    r — радиус вписанной окружности

    Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

    1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

    Как найти диаметр вписанной окружности

    a — равные стороны равнобедренного треугольника

    b — сторона ( основание)

    α — угол при основании

    О — центр вписанной окружности

    r — радиус вписанной окружности

    Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

    Как найти диаметр вписанной окружности

    a — равные стороны равнобедренного треугольника

    b — сторона ( основание)

    h — высота

    О — центр вписанной окружности

    r — радиус вписанной окружности

    Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

    Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

    Как найти диаметр вписанной окружностиСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
    Как найти диаметр вписанной окружностиФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
    Как найти диаметр вписанной окружностиВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

    Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

    Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

    Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

    Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

    что и требовалось доказать.

    Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

    Как найти диаметр вписанной окружности

    что и требовалось доказать.

    Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

    Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

    Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

    что и требовалось доказать.

    Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

    Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

    Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

    Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    Следовательно, справедливо равенство:

    откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

    Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

    Видео:Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметрСкачать

    Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметр

    Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

    Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

    Как найти диаметр вписанной окружности

    a, b, c – стороны треугольника,
    S – площадь,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр

    Как найти диаметр вписанной окружности.

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    a – сторона равностороннего треугольника,
    r – радиус вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    ФигураРисунокФормулаОбозначения
    Произвольный треугольникКак найти диаметр вписанной окружности
    Равнобедренный треугольникКак найти диаметр вписанной окружности
    Равносторонний треугольникКак найти диаметр вписанной окружности
    Прямоугольный треугольникКак найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    где
    a, b, c – стороны треугольника,
    S –площадь,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр
    Как найти диаметр вписанной окружности.

    Как найти диаметр вписанной окружности

    где
    a, b, c – стороны треугольника,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр
    Как найти диаметр вписанной окружности.

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    где
    a – сторона равностороннего треугольника,
    r – радиус вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Произвольный треугольник
    Как найти диаметр вписанной окружности
    Равнобедренный треугольник
    Как найти диаметр вписанной окружности
    Равносторонний треугольник
    Как найти диаметр вписанной окружности
    Прямоугольный треугольник
    Как найти диаметр вписанной окружности
    Произвольный треугольник
    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    где
    a, b, c – стороны треугольника,
    S –площадь,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр
    Как найти диаметр вписанной окружности.

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    где
    a, b, c – стороны треугольника,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр
    Как найти диаметр вписанной окружности.

    Равнобедренный треугольникКак найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Равносторонний треугольникКак найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    где
    a – сторона равностороннего треугольника,
    r – радиус вписанной окружности

    Прямоугольный треугольникКак найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

    найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

    Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

    Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

    Как найти диаметр вписанной окружности

    где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Как найти диаметр вписанной окружности– полупериметр (рис. 6).

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    с помощью формулы Герона получаем:

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    что и требовалось.

    Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

    Как найти диаметр вписанной окружности

    где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    то, в случае равнобедренного треугольника, когда

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    что и требовалось.

    Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

    Как найти диаметр вписанной окружности

    где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    то, в случае равностороннего треугольника, когда

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    что и требовалось.

    Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

    Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

    В силу теоремы 3 справедливы равенства

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

    Как найти диаметр вписанной окружности

    Как найти диаметр вписанной окружности

    что и требовалось.

    Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

    🔍 Видео

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Сможешь найти радиус вписанной окружности?Скачать

    Сможешь найти радиус вписанной окружности?

    Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

    Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

    Как найти диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

    Как найти диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника

    Треугольник и окружность #shortsСкачать

    Треугольник и окружность #shorts

    Радиус вписанной окружности #математика #егэ #математикапрофиль2023 #fyp #школаСкачать

    Радиус вписанной окружности #математика #егэ #математикапрофиль2023 #fyp #школа

    Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

    Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131

    Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

    Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

    Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

    Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данирСкачать

    РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данир
    Поделиться или сохранить к себе: